ผลหารเชิงผลต่าง

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ (อังกฤษ: derivatives) ของ เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

กราฟของฟังก์ชันแสดงด้วยเส้นสีดำ และแสดงด้วยเส้นสีแดง ความชันของเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดสีแดง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของ (tangent) ที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือของฟังก์ชันที่ใกล้เคียงที่สุด (best linear approximation) กับค่าตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์ (concept) หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือของอนุพันธ์)

นิยาม

โดยใช้ลิมิต

ให้ ${\displaystyle f(x)}$ เป็นที่ ที่จุด ${\displaystyle a}$ ในโดเมนของฟังก์ชัน ถ้าช่วงเปิดที่เป็นสับเซตที่มี ${\displaystyle a}$ เป็นสมาชิก และลิมิต

${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

หาค่าได้ หมายความว่า ทุกจำนวนจริงบวก ${\displaystyle \varepsilon }$ จะมีจำนวนจริงบวก ${\displaystyle \delta }$ ที่ทำให้ ทุก ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |h|<\delta }$ และ ${\displaystyle h\neq 0}$ แล้ว ${\displaystyle f(a+h)}$ หาค่าได้ และ

${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon }$

เมื่อเส้นตั้งแสดงถึงค่าสัมบูรณ์ นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างของนิยาม (ε, δ) ของลิมิต

ถ้าฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ หาอนุพันธ์ได้ที่ ${\displaystyle a}$ นั่นคือถ้าลิมิต ${\displaystyle L}$ หาค่าได้ แล้วลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของ ${\displaystyle f}$ ที่ ${\displaystyle a}$ การเขียนอนุพันธ์เขียนได้หลายแบบ อนุพันธ์ของ ${\displaystyle f}$ ที่ ${\displaystyle a}$ สามารถเขียนเป็น ${\displaystyle f'(a)}$ อ่านว่า เอฟไพรม์เอ หรือเขียนเป็น ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ อ่านว่า ดีเอฟบายดีเอ็กซ์ที่เอ ดู § สัญกรณ์ ข้างล่าง

ตัวอย่าง ให้ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ แล้วผลหารในนิยามของอนุพันธ์คือ

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h}$

การหารในขั้นตอนสุดท้ายถูกต้องก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle h\neq 0}$ ยิ่ง h เข้าใกล็ ${\displaystyle 0}$ มากเท่าไร ค่าก็จะเข้าใกล้ ${\displaystyle 2a}$ มากเท่านั้น ลิมิตหาค่าได้ และสำหรับทุก ${\displaystyle a}$ ลิมิตจะมีค่าเป็น ${\displaystyle 2a}$ ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองคือ ${\textstyle f'(x)=2x}$

โดยใช้กณิกนันต์

อีกวิธีคิดหนึ่งของอนุพันธ์ ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ คือเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ ต่อการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle x}$ การทำให้แนวคิดนี้รัดกุม จะต้องมีระบบกฎเกณฑ์ในการจัดการกับกณิกนันต์สามารถจัดการกับปริมาณอนันต์และกณิกนันต์ได้ ไฮเพอร์เรียลเป็นของจำนวนจริงที่มีจำนวนที่มากกว่าทุกสิ่งในรูป ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ สำหรับทุกพจน์จำกัด จำนวนดังกล่าวเป็นอนันต์ และส่วนกลับของมันเป็นกณิกนันต์ การประยุกต์ใช้ของจำนวนไฮเพอร์เรียลในรากฐานแคลคูลัสเรียกว่า เป็นการเปิดช่องให้นิยามแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นอนุพันธ์ และปริพันธ์ ในรูปของกณิกนันต์ ให้ความหมายที่รัดกุมกับ ${\displaystyle d}$ ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นอนุพันธ์ของ ${\displaystyle f(x)}$ จะกลายเป็น

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

สำหรับทุกกณิกนันต์ ${\displaystyle dx}$ เมื่อ ${\displaystyle \operatorname {st} }$ หมายถึง ซึ่งปัดทุกไฮเพอร์เรียลจำกัดเป็นจำนวนจริงที่ใกล์ที่สุด เอาฟังก์ชันกำลังสอง ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ เป็นตัวอย่างอีกครั้ง

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$

การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์

การหาอนุพันธ์ เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ของตัวแปร x คืออัตราที่ค่า y ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x เรียกว่า อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน f ลงจุดเทียบกับ x อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ y เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ x ซึ่งหมายถึงกราฟของ y จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ y = f(x) = m x + b สำหรับจำนวนจริง m และ b และความชัน m ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ดังสมการ

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

เมื่อสัญลักษณ์ Δ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า

${\displaystyle y+\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\,\Delta x+b=y+m\,\Delta x}$

เพราะฉะนั้น จะได้

${\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x}$

ทำให้ได้

${\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x}$

ซึ่ง m เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น x ใด ๆ

อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต

รูปที่ 1. ที่ (x, f(x))

รูปที่ 2. ของส่วนโค้ง y= f(x) กำหนดโดยจุด (x, f(x)) และ (x+h, f(x+h))

รูปที่ 3. เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

รูปที่ 4. ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง Δy / Δx เมื่อ Δx เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

สัญกรณ์

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์ อนุพันธ์อีกแบบหนึ่งซึ่งคิดขึ้นโดยนิวตันมีใช้บ้างในสาขาฟิสิกส์

ใน การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ x แสดงได้เป็น dx และอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$

แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x แสดงได้เป็น f'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ f_x'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

และในสัญกรณ์ของนิวตัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเขียนแทนด้วยจุดบนตัวแปรตาม นั่นคือ ถ้า y เป็นฟังก์ชันของ t แล้วอนุพันธ์ของ y เทียบกับ t จะเขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ในขณะที่อนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นจะเพิ่มจำนวนจุด เช่น ${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$ สัญกรณ์นี้นิยมใช้สำหรับตัวแปรตามที่ขึ้นกับเวลา

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ ${\displaystyle \Delta x\to 0}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ f ที่ x เราไม่สามารถหาความชันของจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วย (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

${\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}}$

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ ของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x² หาอนุพันธ์ได้ที่ x = 3 และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ f(3) เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}\end{aligned}}}$

นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ 6 + h เมื่อ h ≠ 0 และไม่นิยามเมื่อ h = 0 เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ h = 0 ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ h เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า 6 + h เมื่อ h มีค่าน้อยลงมาก ๆ

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6}$

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด (3, 9) คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ x = 3 คือ f′(3) = 6

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ x = a คือ f′(a) = 2a:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}$

ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ณ a ได้ f จะต้องต่อเนื่องที่ a เสมอ ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ a จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เลือกจุด a และให้ f เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีค่า 1 สำหรับ x ทั้งหมดที่น้อยกว่า a และมีค่า 10 สำหรับ x ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ a แล้ว f ไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ที่ a โดยหาก h เป็นค่าลบ a + h จะอยู่ที่ส่วนล่างของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h นั้นสูงชันมากและเมื่อ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ความชันจะไม่มีที่สิ้นสุด หาก h เป็นค่าบวก a + h จะอยู่บนส่วนสูงของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h มีความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นตัดจึงไม่ได้เข้าใกล้ความชันเดียว และลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างจึงไม่สามารถหาได้

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก็ยังอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ x = 0 แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก h เป็นค่าบวกความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ถ้า h เป็นลบความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเป็น -1 จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้นี้สามารถเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นมุมในกราฟที่ x = 0 แต่แม้ฟังก์ชันที่กราฟไม่หักมุมก็ยังอาจจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่ความชันเป็นแนวตั้ง: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่กำหนดโดย f(x) = x^1/3 ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0

สรุปว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์นั้นต่อเนื่อง แต่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด เพราะเหตุนี้ ในช่วงแรกของประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส นักคณิตศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ ซึ่งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรงมาก เช่นถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนหรือฟังก์ชันลิปชิตส์ สิ่งนี้จะเป็นจริง อย่างไรก็ตามในปี 1872 ไวเออร์ชตราส พบตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ไหน ตัวอย่างนี้เรียกว่า ในปี 1931 สเตฟาน บานาค พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด หมายความว่าการสุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ แทบไม่มีโอกาสเลยที่จะหาอนุพันธ์ได้แม้จุดเดียว

อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน

ถ้าฟังก์ชัน f สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ในทุกจุดในโดเมนของมัน เราสามารถนิยามฟังก์ชันที่พาค่า x ทุกค่าในโดเมนนั้นไปหาค่าของอนุพันธ์ของ f ที่ x ได้ ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย f' และเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์ ของ f

ในกรณีที่ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ครบทุกจุดในโดเมน ฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์นี้สำหรับจุดที่หาได้ และไม่นิยามสำหรับจุดอื่น ๆ ก็สามารถเรียกว่าอนุพันธ์ของ f ได้เช่นกัน ซึ่งอนุพันธ์นี้ยังคงเป็นฟีงก์ชัน แต่มีโดเมนเล็กกว่า f

จากมุมมองนี้ เราสามารถมองการหาอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน นั่นคือ อนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการที่มีโดเมนเป็นเซตของฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของตัวมันเอง และมีเป็นเซตของฟังก์ชัน หากเราแทนตัวดำเนินการนี้ด้วย D แล้วจะได้ D(f) = f' เนื่องจาก D(f) เป็นฟังก์ชัน สามารถหาค่าที่จด a ใด ๆ ได้ว่า D(f)(a) = f'(a)

แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}}$ ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์

อนุพันธ์อันดับสูง

หาก f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดย f' เป็นอนุพันธ์ของ f แล้วอนุพันธ์ของ f' อีกทีหนึ่ง (ถ้าอนุพันธ์นี้หาได้) เขียนแทนด้วย f'' และเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสอง ของ f ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ f'' (ถ้าหาได้) เขียนแทนด้วย f''' และเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสาม ของ f เมื่อทำเช่นนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ เราก็จะได้นิยามของ อนุพันธ์อันดับที่ n ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n - 1 อนุพันธ์อันดับตั้งแต่สองขึ้นไปนี้โดยรวมเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสูง (อังกฤษ: higher-order derivatives)

อนุพันธ์อันดับสูงมีนัยสำคัญในวิชาฟิสิกส์ กล่าวคือ ถ้า x(t) แสดงตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t แล้วอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ x แสดงความเร็วของวัตถุ และอันดับสองแสดงความเร่ง

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสูงกว่านั้น เช่น หาก

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&x\geq 0\\-x^{2},&x\leq 0\end{cases}}}$

แล้วจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า f หาอนุพันธ์ได้เท่ากับ

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&x\geq 0\\-2x,&x\leq 0\end{cases}}}$

เท่ากับสองเท่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ที่ x = 0 ดังนั้น f ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ค่า x นี้

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันสามารถมีอนุพันธ์ขึ้นไปถึงอันดับที่ k แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับที่ k + 1 ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ k ครั้ง และถ้าอนุพันธ์อันดับที่ k นี้ต่อเนื่องด้วย จะเรียกฟังก์ชันนั้นว่าอยู่ในคลาส C^k ฟังก์์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เรื่อย ๆ โดยไม่จำกัดครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันปรับเรียบ (อังกฤษ: smooth function)

ฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง โดยถ้าพหุนามดีกรี n ถูกหาอนุพันธ์ n ครั้งจะได้ฟังก์ชันค่าคงที่เสมอ และอนุพันธ์อันดับถัดจากนั้นก็จะเป็นศูนย์ทุกอันดับ ดังนั้นฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันปรับเรียบ

จุดเปลี่ยนเว้า

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x³ หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x^1/3 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากไปเป็นหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

รายละเอียดสัญกรณ์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซ

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ใน ค.ศ. 1675 สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ y = f(x) ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x)}$

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ y ที่จุด x = a ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)}$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่อง และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

สัญกรณ์ของลากรางจ์

ในบางครั้งเราเรียกว่า สัญกรณ์ไพรม์ หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เขียนได้ในรูป f′(x) หรือ f′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้

${\displaystyle (f')'=f''\,}$   และ   ${\displaystyle (f'')'=f'''}$

เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }\,\!}$   หรือ   ${\displaystyle f^{(4)}}$

สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ f ⁽ⁿ⁾ สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

สัญกรณ์ของนิวตัน

สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า y = f(t) แล้ว

${\displaystyle {\dot {y}}}$   และ   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ y เทียบกับ t ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และ โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

สัญกรณ์ของออยเลอร์

สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ D ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน f เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง Df ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป D²f และอนุพันธ์อันดับ n เขียนได้ในรูป Dⁿf

ถ้า y = f(x) เป็นตัวแปรตาม แล้ว x จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ D เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น x ดังข้างล่าง

${\displaystyle D_{x}y\,}$   หรือ ${\displaystyle D_{x}f(x)\,}$,

แต่ตัวห้อย x มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้

กฎการคำนวณ

กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน

• การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า

${\displaystyle f(x)=x^{r}}$

เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}$

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า ${\displaystyle f(x)=x^{1/4}}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4}}$

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

• กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว

${\displaystyle f'=0}$

• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน

ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

• :

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด ${\displaystyle \alpha }$ และ ${\displaystyle \beta }$

• กฎผลคูณ:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ เมื่อไรก็ตามที่ ${\displaystyle \alpha }$ เป็นค่าคงที่ เพราะว่า ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$ จากกฎค่าคงที่

• กฎผลหาร:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.

• กฎลูกโซ่: ถ้า ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,}$

ตัวอย่างการคำนวณ

อนุพันธ์ของ

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}}$

ในพจน์ที่สองของ f คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ x², x⁴, sin(x), ln(x) และ exp(x) = e^x รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย

ทั่วไป

ดูเพิ่ม

• กณิกนันต์
• คณิตวิเคราะห์
• ปฏิยานุพันธ์
• ปริพันธ์
• ตัวผกผันการคูณ

หมายเหตุ

1. Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.
2. In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx·f′(x). In du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the of a function u. See for further information.

อ้างอิง

1. Gonick 2012, p. 83. sfn error: no target: CITEREFGonick2012 ()
2. Gonick 2012, p. 88; Strang et al. 2023, p. 234.
3. Gonick 2012, pp. 77–80. sfn error: no target: CITEREFGonick2012 ()
4. Thompson 1998, pp. 84–85. sfn error: no target: CITEREFThompson1998 ()
5. Keisler 2012, pp. 902–904. sfn error: no target: CITEREFKeisler2012 ()
6. Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8
7. Apostol 1967, §4.18 harvnb error: no target: CITEREFApostol1967 ()
8. Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)
9. "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. สืบค้นเมื่อ 24 October 2012.
10. Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. p. 63. ISBN .
11. Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. p. 1. ISBN .

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Derivative", , , ISBN 
• : "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Derivative" จากแมทเวิลด์.
• Online Derivative Calculator from .