แคลคูลัสกับพหุนาม

แคลคูลัสกับพหุนาม ในคณิตศาสตร์ พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}$

${\displaystyle \int \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ ${\displaystyle x^{100}}$ ก็คือ ${\displaystyle 100x^{99}}$ และปริพันธ์ของ ${\displaystyle x^{100}}$ คือ ${\displaystyle {\frac {x^{101}}{101}}+c}$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น จะได้

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\mathrm {d} \left(a_{r}x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}.}$

ดังนั้นจะต้องหา ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle r}$ ใดๆ ซึ่งมี โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ ${\displaystyle r=1}$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(ax^{k}\right)=akx^{k-1}}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

พิสูจน์โดย ทฤษฎีบททวินาม (จำนวนธรรมชาติ)

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. .