ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ใน ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
ฟังก์ชัน | ตัวย่อ | ความสัมพันธ์ |
ไซน์ (Sine) | sin | |
โคไซน์ (Cosine) | cos | |
แทนเจนต์ (Tangent) | tan (หรือ tg) | |
โคแทนเจนต์ (Cotangent) | cot (หรือ ctg หรือ ctn) | |
ซีแคนต์ (Secant) | sec | |
โคซีแคนต์ (Cosecant) | csc (หรือ cosec) |
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
- ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
- ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
- sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
- cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
- tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
- csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
- sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
- cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a
นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:
เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา
จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้
- sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
- cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC
- versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD
- tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่านั่นเอง (tangent = สัมผัส)
- cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF
- sec(θ) = OE และ
- csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้น (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
- exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)
ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)
นิยามด้วยอนุกรม
โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือค่าลบของไซน์ เราสามารถใช้สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x:
เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้
เอกลักษณ์
- ดูบทความหลักที่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ดูเพิ่ม
ประวัติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ใช้ในปัจจุบันพัฒนามาจากยุคกลาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติในยุคแรกๆ
สามารถย้อนไปถึงคอร์ดฟังก์ชัน ที่ค้นพบโดย ฮิปปาร์คัส (180 - 125 ก่อนคริสตกาล) และ ปโตเลมี (ค.ศ. 90-165)
หนังสือฉบับแรกที่มีการใช้ 'sin' 'cos' 'tan' ปรากฏในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
ในฉบับที่พิมพ์ในปี ค.ศ. 1682 กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พิสูจน์ว่า sin x ไม่ใช่ ของ x
อ้างอิง
- Nicolás Bourbaki (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
fngkchntrioknmiti xngkvs Trigonometric function khux fngkchnkhxngmum sungmikhwamsakhyinkarsuksarupsamehliymaelapraktkarninlksnaepnkhab fngkchnxacniyamdwyxtraswnkhxngdan 2 dankhxngrupsamehliymmumchak hruxxtraswnkhxngphikdkhxngcudbnwngklmhnunghnwy hruxniyaminrupthwipechn xnukrmxnnt hruxsmkarechingxnuphnth rupsamehliymthinamaichcaxyuin dngnn phlrwmkhxngmumthukmumcungethakb 180 esmx nxkehnuxcakkarichnganthwipinkhnitsastr fngkchntrioknmitiyngthukichnganxyangkwangkhwanginsakhawichaechingpriman twxyangechnfisikshruxwithyakarkhxmphiwetxr inpccubn mifngkchntrioknmitixyu 6 fngkchnthiniymichkndngtarangkhanglang sifngkchnsudthayniyamdwykhwamsmphnthkbfngkchnxun aetksamarthniyamdwyerkhakhnitid fngkchn twyx khwamsmphnthisn Sine sin sin 8 cos p2 8 displaystyle sin theta cos left frac pi 2 theta right okhisn Cosine cos cos 8 sin p2 8 displaystyle cos theta sin left frac pi 2 theta right aethnecnt Tangent tan hrux tg tan 8 1cot 8 sin 8cos 8 cot p2 8 displaystyle tan theta frac 1 cot theta frac sin theta cos theta cot left frac pi 2 theta right okhaethnecnt Cotangent cot hrux ctg hrux ctn cot 8 1tan 8 cos 8sin 8 tan p2 8 displaystyle cot theta frac 1 tan theta frac cos theta sin theta tan left frac pi 2 theta right siaekhnt Secant sec sec 8 1cos 8 csc p2 8 displaystyle sec theta frac 1 cos theta csc left frac pi 2 theta right okhsiaekhnt Cosecant csc hrux cosec csc 8 1sin 8 sec p2 8 displaystyle csc theta frac 1 sin theta sec left frac pi 2 theta right khwamsmphnthrahwangfngkchnehlani xyuinbthkhwameruxng exklksntrioknmitiniyamcakrupsamehliymmumchakrupsamehliymmumchakcamimumhnungmikhnad 90 p 2 erediyn inthinikhux C swnmum A kb B nnepliynaeplngid fngkchntrioknmitikahndkhwamsmphnthrahwangkhwamyawdanaelamumphayinrupsamehliymmumchak inkarniyamfngkchntrioknmitisahrbmum A eracakahndihmumidmumhnunginrupsamehliymmumchakepnmum A eriykchuxdanaetladankhxngrupsamehliymtamni dantrngkhammumchak hypotenuse khuxdanthixyutrngkhammumchak hruxepndanthiyawthisudkhxngrupsamehliymmumchak inthinikhux h dantrngkham opposite side khuxdanthixyutrngkhammumthierasnic inthinikhux a danprachid adjacent side khuxdanthixyutidkbmumthierasnicaelamumchak inthinikhux b caid 1 isn khxngmum khux xtraswnkhxngkhwamyawdantrngkham txkhwamyawdantrngkhammumchak inthinikhux sin A kham chak a h 2 okhisn khxngmum khux xtraswnkhxngkhwamyawdanprachid txkhwamyawdantrngkhammumchak inthinikhux cos A chid chak b h 3 aethnecnt khxngmum khux xtraswnkhxngkhwamyawdantrngkham txkhwamyawdanprachid inthinikhux tan A kham chid a b 4 okhsiaekhnt csc A khuxfngkchnphkphnkarkhunkhxng sin A nnkhux xtraswnkhxngkhwamyawdantrngkhammumchak txkhwamyawdantrngkham csc A chak kham h a 5 siaekhnt sec A khuxfngkchnphkphnkarkhunkhxng cos A nnkhux xtraswnkhxngkhwamyawdantrngkhammumchak txkhwamyawdanprachid sec A chak chid h b 6 okhaethnecnt cot A khuxfngkchnphkphnkarkhunkhxng tan A nnkhux xtraswnkhxngkhwamyawdanprachid txkhwamyawdantrngkham cot A chid kham b aniyamdwywngklmhnunghnwywngklmhnunghnwy fngkchntrioknmitithng 6 fngkchn samarthniyamdwywngklmhnunghnwy sungepnwngklmthimirsmiyaw 1 hnwy aelamicudsunyklangxyuthicudkaenid wngklmhnunghnwychwyinkarkhanwn aelahakhafngkchntrioknmitisahrbxarkiwemntthiepnbwkaelalbid imichaekh 0 thung p 2 erediynethann smkarkhxngwngklmhnunghnwykhux x2 y2 1 displaystyle x 2 y 2 1 cakrup eracawdmuminhnwyerediyn odyihmumepnbwkinthisthwnekhmnalika aelamumepnlbinthistamekhmnalika lakesnihthamum 8 kbaekn x danbwk aelatdkbwngklmhnunghnwy caidwaphikd x aela y khxngcudtdnicaethakb cos 8 aela sin 8 tamladb ehtuphlephraawarupsamehliymthiekidkhunnn camikhwamyawdantrngkhammumchak yawethakbrsmiwngklm nnkhuxyawethakb 1 hnwy eracaid sin 8 y 1 aela cos 8 x 1 wngklmhnunghnwychwyiherahakrnithisamehliymmikhwamsungepnxnnt echn mum p 2 erediyn odykarepliynkhwamyawkhxngdanprakxbmumchak aetdantrngkhammumchakyngyawethakb 1 hnwy ethaedim fngkchn f x sin x aela f x cos x thiwadbnranabkharthiesiyn sahrbmumthimakkwa 2p hruxtakwa 2p erasamarthwdmumidinwngklm dwywithini khaisnaelaokhisncungepnfngkchnepnkhabthimikhabethakb 2p sin 8 sin 8 2pk displaystyle sin theta sin left theta 2 pi k right cos 8 cos 8 2pk displaystyle cos theta cos left theta 2 pi k right emux 8 epnmumid aela k epncanwnetmid khabthiepnbwkthielkthisudkhxngfngkchnepnkhab eriykwa khabpthmthankhxngfngkchn khabpthmthankhxngisn okhisn siaekhnt hruxokhsiaekhnt caethakbwngklmhnungwng nnkhuxethakb 2p erediyn hrux 360 xngsa khabpthmthankhxngaethnecnt hruxokhaethnecnt caethakbkhrungwngklm nnkhuxethakb p erediyn hrux 180 xngsa cakkhangbnni khaisnaelaokhisnthukniyamcakwngklmhnunghnwyodytrng aetsifngkchntrioknmitithiehluxcathukniyamody tan 8 sin 8cos 8 displaystyle tan theta frac sin theta cos theta sec 8 1cos 8 displaystyle sec theta frac 1 cos theta csc 8 1sin 8 displaystyle csc theta frac 1 sin theta cot 8 cos 8sin 8 displaystyle cot theta frac cos theta sin theta fngkchntrioknmitiphunthanthnghmd samarthniyamcakwngklmhnunghnwyidodyichwngklmhnunghnwy thicudsunyklangxyuthicud O fngkchntrioknmitiphunthanthnghmd samarthniyamcakwngklmhnunghnwyidodyichwngklmhnunghnwy thicudsunyklangxyuthicud O tamrupthangkhwa sungkhlaykbkarniyamechingerkhakhnitthiichknmainsmykxn ih AB epnkhxrdkhxngwngklm sung 8 epnkhrunghnungkhxngmumthirxngrbkhxrdnn caid sin 8 khux khwamyaw AC khrunghnungkhxngkhxrd niyamnierimichodychawxinediy cos 8 khuxrayathangtamaenwnxn OC versin 8 1 cos 8 khux khwamyaw CD tan 8 khux khwamyawkhxngswn AE khxngesnsmphsthilakphancud A cungepnthimakhxngkhawannexng tangent smphs cot 8 khux swnkhxngesnsmphsthiehlux khuxkhwamyaw AF sec 8 OE aela csc 8 OF epnswnkhxngesn tdwngklmthicudsxngcud sungsamarthmxngwaepnphaphchaykhxng OA tamaenwesnsmphsthicud A ipyngaeknnxnaelaaekntng tamladb exsec 8 DE sec 8 1 swnkhxngsiaekhntdannxk dwywithisrangehlani thaihehnphaphfngkchnsiaekhntaelaaethnecntluxxk emux 8 ekhaikl p 2 90 xngsa aelaokhsiaekhntaelaokhaethnecntluxxk emux 8 ekhaiklsuny erasamarthphisucnexklksntrioknmitidwyrupphaphid niyamdwyxnukrmfngkchnisn siaedng mikhaiklekhiyngkbphhunamethyelxrdikri 7 khxngmn siekhiyw sahrbwngklmthixyubncudkaenid odykaricherkhakhnitaelakhunsmbtikhxnglimit eraaesdngidwaxnuphnthkhxngisnkhuxokhisn aelaxnuphnthkhxngokhisnkhuxkhalbkhxngisn erasamarthichsahrbaesdngexklksntxipnisahrbthukcanwncring x sin x x x33 x55 x77 n 0 1 nx2n 1 2n 1 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots sum n 0 infty frac 1 n x 2n 1 2n 1 cos x 1 x22 x44 x66 n 0 1 nx2n 2n displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 frac x 6 6 cdots sum n 0 infty frac 1 n x 2n 2n exklksnehlanimkichepn niyam khxngfngkchnisn aelaokhisn sungnaipichepncuderimtnaebbekhmkhxngfngkchntrioknmiti aelakarprayuktkhxngmn echn xnukrmfuriey ephraawamnmiphunthanxyubnrabbcanwncring imkhunkbkartikhwamthangerkhakhnitid aelakhwamtxenuxngkhxngfngkchnkmacakniyamniexklksndubthkhwamhlkthi exklksntrioknmitisin x y sin xcos y cos xsin y displaystyle sin left x y right sin x cos y cos x sin y sin x y sin xcos y cos xsin y displaystyle sin left x y right sin x cos y cos x sin y cos x y cos xcos y sin xsin y displaystyle cos left x y right cos x cos y sin x sin y cos x y cos xcos y sin xsin y displaystyle cos left x y right cos x cos y sin x sin y sin x sin y 2sin x y2 cos x y2 displaystyle sin x sin y 2 sin left frac x y 2 right cos left frac x y 2 right sin x sin y 2cos x y2 sin x y2 displaystyle sin x sin y 2 cos left frac x y 2 right sin left frac x y 2 right cos x cos y 2cos x y2 cos x y2 displaystyle cos x cos y 2 cos left frac x y 2 right cos left frac x y 2 right cos x cos y 2sin x y2 sin x y2 displaystyle cos x cos y 2 sin left frac x y 2 right sin left frac x y 2 right tan x tan y sin x y cos xcos y displaystyle tan x tan y frac sin left x y right cos x cos y tan x tan y sin x y cos xcos y displaystyle tan x tan y frac sin left x y right cos x cos y cot x cot y sin x y sin xsin y displaystyle cot x cot y frac sin left x y right sin x sin y cot x cot y sin x y sin xsin y displaystyle cot x cot y frac sin left x y right sin x sin y duephimthvsdibthphithaokrs exklksntrioknmitiprawtifngkchntrioknmiti thiichinpccubnphthnamacakyukhklang aetkarsuksatrioknmitiinyukhaerk samarthyxnipthungkhxrdfngkchn thikhnphbody hipparkhs 180 125 kxnkhristkal aela potelmi kh s 90 165 hnngsuxchbbaerkthimikarich sin cos tan praktinstwrrsthi 16 odynkkhnitsastrchawfrngess inchbbthiphimphinpi kh s 1682 kxththfrid wilehlm ilbnis idphisucnwa sin x imich khxng xxangxingNicolas Bourbaki 1994 Elements of the History of Mathematics Springer