กฎผลหาร

กฎผลหาร (อังกฤษ: Quotient rule) เป็นกฎในแคลคูลัส คือวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็น ของอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการหาอนุพันธ์ f(x) สามารถเขียนในรูป

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

และ h(x) ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ g(x) / h(x) เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยของตัวส่วน ดังนี้

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{{h(x)}^{2}}}.}$

หรือโดยละเอียดกว่านี้แล้ว สำหรับ x ใดๆ ใน ที่มีจำนวน a และ h(a) ≠ 0 และทั้ง g '(a) และ h '(a) หาค่าได้ ดังนั้น f '(a) จะหาค่าได้ดังนี้

${\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{h(a)^{2}}}}$

ตัวอย่าง

อนุพันธ์ของ ${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ คือ:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle ={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

อนุพันธ์ของ ${\displaystyle \sin(x)/x^{2}}$ (เมื่อ ${\displaystyle x}$ ≠ 0) คือ:

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

บทพิสูจน์

จากผลหารผลต่างของนิวตัน

สมมุติให้ ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$

โดยที่ ${\displaystyle h(x)}$≠ 0 และ ${\displaystyle g}$ และ ${\displaystyle h}$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}$

${\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}}$

${\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

จากกฎผลคูณ

สมมุติให้ ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$

${\displaystyle g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,}$

${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,}$

ที่เหลือก็มีเพียงจัดรูปของสมการให้เทอม ${\displaystyle f'(x)}$ เป็นเทอมเดียวด้านซ้าย และกำจัดเทอม ${\displaystyle f(x)}$ ออกจากด้านขวาของสมการ

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}$

ดูเพิ่ม

• กฎผลคูณ