ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจากวิกิพีเดียภาษาไทยยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด |
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง
1 | 0.841471... |
0.1 | 0.998334... |
0.01 | 0.999983... |
นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน f จะรับค่า x แล้วคืนค่าออกมาคือ f(x) เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะเข้าใกล้ L มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า x ที่เข้าใกล้ค่า p ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ
แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย
แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน และ อีกด้วย
ประวัติ
ดูที่ คณิตวิเคราะห์
นิยามเป็นทางการ
นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต
กำหนดให้ เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ เป็นจำนวนจริงโดยที่ เราจะกล่าวว่าลิมิตของ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ คือ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่า จะมีจำนวนจริง ที่ทำให้สำหรับทุกค่า ถ้า แล้ว
ถ้าลิมิตของ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ คือ แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น
เมื่อ (อ่านว่า " มีค่าเข้าใกล้ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ ")
สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ ที่จุด ยิ่งไปกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้
ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า:ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง
ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.
หรือเราจะเขียน ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;
หรือจะเขียนว่า ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.
ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย :
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์
ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน
ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
ที่มีตัววัด (metric) เป็น จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
ได้ ก็ต่อเมื่อ
- สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε
นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์
เราจะเขียน
ได้ ก็ต่อเมื่อ
- สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε
ตัวอย่าง
ฟังก์ชันค่าจริง
ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน | |
ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1 | |
ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞ | |
ลิมิตด้านเดียวของ |x|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |x|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |x|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก | |
ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0 | |
ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใด ๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด | |
ฟังก์ชันยกกำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด | |
ฟังก์ชันลอการิทึมใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด | |
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด |
ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
- ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z2, z3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
- ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ได้ นี่คือเนื้อหาของ (Stone-Weierstrass theorem)
คุณสมบัติ
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค
- "สำหรับลำดับลู่เข้า (xn) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(xn)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"
ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"
ฟังก์ชัน f ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisud inwichakhnitsastr limitkhxngfngkchn epnaenwkhidphunthaninkhnitwiekhraahaelaaekhlkhuls sungekiywkhxkbphvtikrrmkhxngfngkchniklkbcudthisniccudhnungx displaystyle x sin xx displaystyle frac sin x x 1 0 841471 0 1 0 998334 0 01 0 999983 thungaemwafngkchn sin x x caimniyamthi 0 aetemux x mikhaekhaikl 0 mak aelw sin x x mikhaekhaikl 1 hruxxiknyhnung limitkhxng sin x x emux x ekhaikl 0 mikhaethakb 1 niyamthirdkumsungniyamepnkhrngaerkinchwngtnkhriststwrrsthi 19 rabuiwdanlang sahrbaenwkhidxyangimrdkummaknk fngkchn f carbkha x aelwkhunkhaxxkmakhux f x eracaklawwa fngkchn f milimit L thicud p ktxemux khakhxngfngkchn f x caekhaikl L makkhuneruxy emuxkahndkha x thiekhaiklkha p ihkbfngkchnmakkhuneruxy aenwkhideruxnglimitepnhwichlkkhxngaekhlkhulssmyihm odyechphaaaenwkhideruxngkhwamtxenuxngkhxngfngkchnxasyaenwkhideruxnglimitepnphunthan klawkhux fngkchncaepnfngkchntxenuxngthasahrbaetlacudkhakhxngmncaethakbkhakhxnglimitthicudnn nxkcakniaenwkhideruxnglimityngpraktinniyamkhxngxnuphnthkhxngfngkchnxikdwy aenwkhidekiywkblimityngkhyaynythwipxxkipbn aela xikdwyprawtiduthi khnitwiekhraahniyamepnthangkarniyamaebb e d khxnglimit kahndih f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R epnfngkchnbnchwngepidthiepnsbestkhxngestkhxngcanwncring aela p L R displaystyle p L in mathbb R epncanwncringodythi p a b displaystyle p in a b eracaklawwalimitkhxng f displaystyle f emux x displaystyle x mikhaekhaikl p displaystyle p khux L displaystyle L ktxemux sahrbthukkha e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 camicanwncring d gt 0 displaystyle delta gt 0 thithaihsahrbthukkha x displaystyle x tha 0 lt x p lt d displaystyle 0 lt left vert x p right vert lt delta aelw f x L lt e displaystyle left vert f x L right vert lt varepsilon thalimitkhxng f displaystyle f emux x displaystyle x mikhaekhaikl p displaystyle p khux L displaystyle L aelweracaekhiynaethndwysylksn limx pf x L displaystyle lim x to p f x L hruxxikaebbhnungidepn f x L displaystyle f x to L emux x p displaystyle x to p xanwa f x displaystyle f x mikhaekhaikl L displaystyle L emux x displaystyle x mikhaekhaikl p displaystyle p sngektwaniyamlimitimkhunxyukbkhakhxng f displaystyle f thicud p displaystyle p yingipkwann f p displaystyle f p imcaepntxnghakhaidfngkchnbnpriphumixingrayathangkahndih f M dM gt N dN epnkarsngkharahwang epnfngkchnthiniyambn sxngpriphumi aelakahndih p M aela L N eracaklawwa limitkhxng f thi p khux L aelaekhiynwa limx pf x L textstyle lim x to p f x L ktxemux sahrbthukkhakhxng e gt 0 cami d gt 0 thi sahrbthuk x M aela dM x p lt d aelw dN f x L lt e limitkhxngfngkchnkhacringthicudidcudhnung ih f epnfngkchnkhacring aelw limx pf x L displaystyle lim x to p f x L epnkrniphiesskhxngfngkchnbnpriphumixingrayathang thimithng M aela N epnestkhxngcanwncring aela d x y x y hruxeracaekhiyn limx pf x displaystyle lim x to p f x infty ktxemux sahrbthukkhakhxng R gt 0 imwacaihyethaid catxngmi d gt 0 xyangnxyhnungkha thi sahrbthukkhakhxngcanwncring x thi 0 lt x p lt d f x gt R hruxcaekhiynwa limx pf x displaystyle lim x to p f x infty ktxemux sahrbthukkhakhxng R lt 0 catxngmi d gt 0 xyangnxyhnungkha thi sahrbthukkhakhxngcanwncring x thi 0 lt x p lt d f x lt R thainniyam eraich x p aethn x p erakcaid limitkhwa ekhiynaethnody limx p displaystyle lim x to p aelathaich p x aethn kcaid limitsay ekhiynaethnody limx p displaystyle lim x to p limitkhxngfngkchnkhacring n xnnt camilimitkhxngfngkchn n xnnt tha sahrb e gt 0 id mi S gt 0 xyangnxyhnungkha thithaih f x L lt e sahrb x gt S id ih f x epnfngkchnkhacring eracaphicarnalimitkhxngfngkchnemux x ephimkhun hruxldlngxyangimmithisinsud eracaekhiyn limx f x L displaystyle lim x to infty f x L fngkchnkhaechingsxn thimitwwd metric epn d x y x y displaystyle d x y x y caepnpriphumixingrayathang metric space dwyechnkn camilimitsxngpraephthemuxeraphudthungfngkchnkhaechingsxn limitkhxngfngkchnthicudidcudhnung smmtiih f epnfngkchnkhaechingsxn aelweracaekhiynwa limx pf x L displaystyle lim x to p f x L id ktxemux sahrb e gt 0 id cami d gt 0 xyangnxy 1 kha sungsahrbcanwncring x id sung 0 lt x p lt d caid f x L lt e niepnkrniphiesskhxngfngkchnbnpriphumixingrayathangthimithng M aela N epnranabechingsxn limitkhxngfngkchn n xnnt eracaekhiyn limx f x L displaystyle lim x to infty f x L id ktxemux sahrb e gt 0 id cami S gt 0 sungsahrbcanwnechingsxn x gt S id eracaid f x L lt etwxyangfngkchnkhacring limx 3x2 9 displaystyle lim x to 3 x 2 9 limitkhxng x2 emux x ekhaikl 3 khux 9 inkrnini fngkchnnntxenuxng aelakhakhxngmnminiyamthicudnn khalimitcungethakbkaraethnkhafngkchnlimx 0 xx 1 displaystyle lim x to 0 x x 1 limitkhxng xx emux x ekhaikl 0 cakthangkhwakhux 1limx 01x Undefined displaystyle lim x to 0 1 over x mbox Undefined limx 0 1x displaystyle lim x to 0 1 over x infty limitsxngdankhxng 1 x emux x ekhaikl 0 nnimminiyam limitkhxng 1 x emux x ekhaikl 0 cakthangkhwakhux limx 0 x x 1 displaystyle lim x to 0 x over x 1 limx 0 x x 1 displaystyle lim x to 0 x over x 1 limitdanediywkhxng x x emux x ekhaikl 0 khux 1 cakdanbwkaelakhux 1 cakdanlb sngektwa x x 1 emux x epnlb aela x x 1 emux x epnbwklimx 0xsin 1x 1 displaystyle lim x to 0 x sin 1 over x 1 limitkhxng x sin 1 x emux x ekhaikl 0 khux 0lim x x a 0 if a R a gt 0 x C displaystyle lim x to infty x a 0 mbox if a in mathbb R a gt 0 x in mathbb C fngkchnykkalngthimielkhchikalngepnlbid ekhaikl 0 emuxkhnadkhxng x ephimkhuneruxy xyangimmikhxbekhtcakdlimx xabx 0 if a b R b gt 0 displaystyle lim x to infty x a over b x 0 mbox if a b in mathbb R b gt 0 fngkchnykkalngid camikhnadldlngepnsuny ethiybkbfngkchnelkhchikalngephimid emux x ephimkhuneruxy xyangimmikhxbekhtcakdlimx logb xxa 0 if a b R a gt 0 b gt 0 displaystyle lim x to infty log b x over x a 0 mbox if a b in mathbb R a gt 0 b gt 0 fngkchnlxkarithumid camikhnadldlngepnsuny ethiybkbfngkchnykkalngthiepnbwkid emux x ephimkhuneruxy xyangimmikhxbekhtcakdlimx axx 0 if a R displaystyle lim x to infty a x over x 0 mbox if a in mathbb R fngkchnelkhchikalngid camikhnadldlngepnsuny ethiybkbfngkchnaefkthxeriylid emux x ephimkhuneruxy xyangimmikhxbekhtcakdfngkchnbnpriphumixingrayathang tha z epncanwnechingsxn odythi z lt 1 aelwladb z z2 z3 khxngcanwnechingsxncaluekhaodymilimitepn 0 odyerkhakhnitaelw canwnehlanica ewiynepnknhxy ekhasucudkaenid tamesnknhxylxkarithum inpriphumixingrayathang C a b khxngfngkchntxenuxngid thiniyambnchwng a b odymirayathangephimkhuncak Supremum norm smachikthuktwsamarthekhiyninrupkhxnglimitkhxngladbkhxng id nikhuxenuxhakhxng Stone Weierstrass theorem khunsmbti praoykh limitkhxngfngkchn f thi p khux L ehmuxnkbpraoykh sahrbladbluekha xn in M sungmilimitethakb pladb f xn luekhasulimit L inkrnithi f epnfngkchnkhacring caidwa praoykhnnehmuxnkb thnglimitsayaelalimitkhwakhxng f thi p khux L fngkchn f thi p ktxemux erasamarthhakhakhxnglimitkhxng f x emux x ekhaikl p aelakhannethakb f p hruxxiknyhnung fngkchn f aeplngladbid in M sungsuekhaha p ipepnladb N sungluekhaha f p