ภาวะคู่หรือคี่ของ 0

0 (ศูนย์) เป็นจำนวนคู่ กล่าวได้อีกอย่างคือ ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นคู่ วิธีพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่ง่ายที่สุดคือตรวจสอบว่า 0 เข้ากับนิยามของ "คู่" หรือไม่ โดย 0 เป็นพหุคูณของ 2 คือ 0 × 2 ผลคือ ศูนย์มีคุณสมบัติทั้งหมดอันเป็นลักษณะของจำนวนคู่ ตัวอย่างเช่น 0 มีจำนวนคี่ที่มากกว่าและน้อยกว่าขนาบ, ${\displaystyle 0+x}$ มีภาวะคู่หรือคี่เหมือน ${\displaystyle x}$ และเซตของวัตถุ 0 วัตถุสามารถแบ่งได้เป็นสองเซตเท่า ๆ กัน

ตาชั่งนี้มีวัตถุ 0 วัตถุ แบ่งเป็นสองข้างเท่ากัน

0 ยังเข้ากับแบบรูปที่จำนวนคู่อื่นมี กฎเลขคณิตภาวะคู่หรือคี่ เช่น คู่ − คู่ = คู่ กำหนดให้ 0 เป็นคู่ 0 เป็นสมาชิกเอกลักษณ์การบวกของกรุปจำนวนเต็มคู่ และเป็นกรณีตั้งต้นที่นิยามเวียนเกิดซึ่งจำนวนธรรมชาติคู่อื่น การใช้การเวียนเกิดนี้จากทฤษฎีกราฟจนถึงต้องอาศัยว่า 0 เป็นคู่ ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 2 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังสามารถหารด้วยกำลัง 2 ลงตัวทุกจำนวน ซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบเลขฐานสองที่คอมพิวเตอร์ใช้

ในหมู่สาธารณชนทั่วไป ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สามารถทำให้เกิดความสับสนได้ ในการทดลองเวลาปฏิกิริยา คนส่วนใหญ่ระบุว่า 0 เป็นคู่ช้ากว่า 2, 4, 6 หรือ 8 นักเรียนคณิตศาสตร์ตลอดจนครูอาจารย์บางส่วนคิดว่า 0 เป็นคี่, หรือเป็นทั้งคู่และคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่ นักวิจัยด้านการศึกษาคณิตศาสตร์เสนอว่า ความเข้าใจผิดเหล่านี้สามารถเป็นโอกาสเรียนรู้ได้ การศึกษาภาวะเท่ากัน เช่น 0 × 2 = 0 สามารถตอบข้อสงสัยของนักเรียนเกี่ยวกับการเรียก 0 เป็นจำนวนและใช้ในเลขคณิต การอภิปรายกลุ่มสามารถนำให้นักเรียนเข้าใจหลักการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ เช่น ความสำคัญของบทนิยาม การประเมินภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนพิเศษนี้เป็นตัวอย่างอย่างง่ายของแก่นที่แพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ คือ ภาวะนามธรรมของมโนทัศน์คุ้นเคยไปสู่บริบทที่ไม่คุ้นเคย

เหตุใด 0 เป็นจำนวนคู่

บทนิยามมาตรฐานของ "จำนวนคู่" สามารถใช้พิสูจน์โดยตรงได้ว่า 0 เป็นคู่ จะเรียกจำนวนว่า "คู่" เมื่อจำนวนนั้นเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 ตัวอย่างเช่น สาเหตุที่ 10 เป็นคู่เพราะเท่ากับ 5 × 2 ในทำนองเดียวกัน 0 เป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 กล่าวคือ 0 × 2 ฉะนั้น 0 จึงเป็นคู่

นอกจากนี้ ยังสามารถอธิบายสาเหตุที่ 0 เป็นคู่ได้โดยไม่ต้องพาดพิงบทนิยามรูปนัย คำอธิบายด้านล่างนี้ทำให้ความคิดว่า 0 เป็นจำนวนคู่ในแง่ของมโนทัศน์จำนวนมูลฐานสมเหตุสมผล จากรากฐานเหล่านี้ บุคคลสามารถให้เหตุผลแก่บทนิยามเอง และการใช้บทนิยามต่อ 0 ได้

คำอธิบายพื้นฐาน

ช่องที่มี 0 วัตถุจะสังเกตว่าไม่มีวัตถุสีแดงเป็นเศษเหลือ

0 เป็นจำนวน และจำนวนมีไว้นับ กำหนดเซตวัตถุเซตหนึ่ง บุคคลใช้จำนวนอธิบายว่ามีวัตถุในเซตนั้นมากน้อยเพียงใด 0 เป็นการนับการไม่มีวัตถุ หรือในแง่รูปนัยมากขึ้น 0 เป็นจำนวนวัตถุในเซตว่าง มโนทัศน์ภาวะคู่หรือคี่ใช้สำหรับการจัดกลุ่มวัตถุสองวัตถุ หากวัตถุในเซตสามารถแบ่งได้เป็นกลุ่มละสองเท่ากันโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนวัตถุเป็นคู่ หากมีวัตถุเหลือเป็นเศษ จำนวนวัตถุเป็นคี่ เซตว่างมีกลุ่มละสอง 0 กลุ่ม โดยไม่มีวัตถุใดเหลือจากการจัดกลุ่มดังนี้ ฉะนั้น 0 ก็เป็นคู่ด้วย

สามารถสาธิตความคิดดังกล่าวได้โดยวาดรูปวัตถุเป็นคู่ การพรรณนากลุ่มละสองจำนวน 0 กลุ่มหรือเน้นการไม่มีเศษเหลือทำได้ยาก ฉะนั้นการวาดการจัดกลุ่มอย่างอื่นแล้วนำมาเปรียบเทียบกับศูนย์จึงช่วยได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มห้าวัตถุมีวัตถุสองคู่ ที่สำคัญไปกว่านั้นมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 5 เป็นคี่ ในกลุ่มสี่วัตถุไม่มีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 4 เป็นคู่ ในกลุ่มหนึ่งวัตถุไม่มีคู่และมีวัตถุเศษเหลือ ฉะนั้น 1 เป็นคี่ ในกลุ่มศูนย์วัตถุไม่มีเศษเหลือ ฉะนั้น 0 เป็นคู่

มีบทนิยามรูปธรรมของภาวะคู่อีกนิยามหนึ่ง คือ ถ้าวัตถุในเซตสามารถจัดเป็นสองกลุ่มเท่ากันได้ แล้วจำนวนวัตถุเป็นคู่ บทนิยามนี้เทียบเท่ากับบทนิยามแรก อีกครั้งหนึ่ง 0 เป็นคู่เพราะเซตว่างสามารถแบ่งได้เป็นสองกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีวัตถุ 0 วัตถุ

จำนวนยังสามารถแสดงเป็นจุดบนเส้นจำนวน เมื่อแบ่งจำนวนคี่และคู่แยกจากกัน แบบรูปของจำนวนทั้งสองจะปรากฏชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากรวมจำนวนลบด้วย คือ

จำนวนคู่และคี่สลับกัน โดยเริ่มจากจำนวนคู่ใด ๆ นับขึ้นหรือลงทีละสองจะเป็นจำนวนคู่อีกจำนวนหนึ่ง และไม่มีเหตุผลให้ต้องนับข้ามเลข 0

เมื่อนำการคูณเข้ามาเกี่ยวข้อง สามารถเข้าสู่ภาวะคู่หรือคี่ได้ในวิธีเป็นรูปนัยมากขึ้นโดยใช้นิพจน์เลขคณิต จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูป (2 × ▢) + 0 หรือ (2 × ▢) + 1 จำนวนในกลุ่มแรกเป็นคู่ และกลุ่มหลังเป็นคี่ ตัวอย่างเช่น 1 เป็นคี่เพราะ 1 = (2 × 0) + 1 และ 0 เป็นคู่เพราะ 0 = (2 × 0) + 0 การสร้างตารางข้อเท็จจริงเหล่านี้จะยิ่งเสริมภาพเส้นจำนวนข้างต้น

การนิยามภาวะคู่หรือคี่

นิยามแน่ชัดของศัพท์คณิตศาสตร์อย่าง "คู่" หมายถึง "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" สุดท้ายเป็นสัญนิยม ต่างจาก "คู่" ศัพท์คณิตศาสตร์บางคำเจตนาสร้างขึ้นเพื่อตัดกรณีที่ชัดหรือลดรูป ตัวอย่างที่ขึ้นชื่อได้แก่จำนวนเฉพาะ ก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 20 นิยามของจำนวนเฉพาะยังขัดกัน และนักคณิตศาสตร์คนสำคัญ เช่น กอลด์บัค, ลัมแบร์ท, เลอฌ็องดร์, เคลีย์, โครเนคเคอร์ เป็นต้น เขียนว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ นิยามสมัยใหม่ของ "จำนวนเฉพาะ" คือ "จำนวนเต็มบวกที่มี 2 ตัวประกอบ" ฉะนั้น 1 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ สามารถให้เหตุผลนิยามนี้โดยสังเกตว่านิยามนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ว่าด้วยจำนวนเฉพาะมากกว่าโดยสภาพ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถระบุได้ง่ายขึ้นเมื่อไม่พิจารณา 1 เป็นจำนวนเฉพาะ

ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้ท่จะนิยามใหม่ให้คำว่า "คู่" ไม่รวม 0 ด้วย ทว่า ในกรณีนั้น นิยามใหม่จะทำให้การระบุทฤษฎีบทว่าด้วยจำนวนคู่ยากขึ้น ผลสามารถเห็นได้ทันทีในกฎเลขคณิตเกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่ โดยกฎที่เกี่ยวข้องมากที่สุดว่าด้วยการบก การลบ และการคูณ คือ

คู่ ± คู่ = คู่

คี่ ± คี่ = คู่

คู่ × จำนวนเต็ม = คู่

เมื่อแทรกค่าที่เหมาะสมลงในฝั่งซ้ายมือของกฎเหล่านี้ จะได้ 0 ในฝั่งขวามือ

2 − 2 = 0

−3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

ดังนั้น กฎข้างต้นจะไม่ถูกต้องหาก 0 ไม่เป็นคู่ อย่างดีที่สุดกฎเหล่านี้ก็ต้องปรับเปลี่ยนใหม่ ตัวอย่างเช่น คู่มือการศึกษาทดสอบหนึ่งประเมินว่าจำนวนคู่ว่ามีลักษณะเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ 2 แต่ 0 "ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่" กฎของคู่มือนี้สำหรับจำนวนคู่และคี่จึงมีข้อยกเว้นดังนี้

คู่ ± คู่ = คู่ (หรือ 0)

คี่ ± คี่ = คู่ (หรือ 0)

คู่ × จำนวนเต็ม (ที่ไม่เป็น 0) = คู่

การสร้างข้อยกเว้นสำหรับ 0 ในนิยามของจำนวนคู่บังคับให้บุคคลต้องสร้างข้อยกเว้นในกฎว่าด้วยจำนวนคู่ จากอีกมุมมองหนึ่ง เมื่อนำกฎของจำนวนคู่บวกออกไปแล้วกำหนดให้กฎเหล่านั้นยังใช้ได้สำหรับจำนวนเต็มบังคับให้มีนิยามปกติและภาวะคู่ของ 0

บริบททางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์นับไม่ถ้วนในทฤษฎีจำนวนยกทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตและคุณสมบัติพีชคณิตของจำนวนคู่ ฉะนั้นทางเลือกข้างต้นจึงมีผลกระทบกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบวกมีการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว หมายความว่า บุคคลสามารถระบุว่าจำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะจำนวนคู่หรือคี่ เนื่องจาก 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือมีตัวประกอบเฉพาะ จึงเป็นผลลัพธ์ของจำนวนเฉพาะแตกต่างกัน 0 จำนวน ส่วน 0 เป็นจำนวนคู่ 1 จึงมีจำนวนตัวประกอบเฉพาะแตกต่างกันเป็นคู่ ดังนี้ส่อความว่าฟังก์ชันเมอบีอุสได้ค่า μ(1) = 1 ซึ่งจำเป็นสำหรับการเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ และให้ใช้ได้

ไม่เป็นคี่

จำนวน n เป็นคี่เมื่อจำนวนเต็ม k โดยที่ n = 2k + 1 วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่า 0 ไม่เป็นคี่คือ คือ ถ้า 0 = 2k + 1 แล้ว k = −1/2 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก 0 ไม่ใช่คี่ หากพิสูจน์แล้วจำนวนที่ยังไม่ทราบแล้วว่าเป็นคี่ จำนวนนั้นจะเป็น 0 ไม่ได้ ข้อสังเกตที่ดูเล็กน้อยนี้สามารถให้ข้อพิสูจน์ที่สะดวก และเปิดเผยข้อพิสูจน์ซึ่งอธิบายว่าเหตุใดจำนวนดังกล่าวจึงไม่เป็น 0

ผลลัพธ์คลาสสิกของทฤษฎีกราฟระบุว่ากราฟอันดับคี่ (คือ มีจุดยอดจำนวนคี่) จะมีจุดยอดที่มีระดับขั้นคู่อย่างน้อยหนึ่งจุดยอดเสมอ (ประพจน์นี้ต้องให้ 0 เป็นคู่ เพราะมีระดับขั้นคู่ และจุดยอดเอกเทศมีระดับขั้นคู่) ในการพิสูจน์ประพจน์นี้ แท้จริงแล้วการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เข้มกว่าจะง่ายกว่า คือ กราฟอันดับคี่ใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคู่เป็นจำนวนคี่ ลักษณะของจำนวนคี่นี้อธิบายโดยผลลัพธ์ทั่วไปกว่า ที่เรียก บทตั้งการจับมือ คือ กราฟใด ๆ มีจำนวนจุดยอดระดับขั้นคี่เป็นคู่ สุดท้าย จำนวนจุดยอดคี่เป็นคู่นั้นอธิบายได้จากสูตรผลรวมระดับขั้นโดยสภาพ

เป็นการนำยุทธศาสตร์เดียวกันไปใช้อย่างก้าวหน้าขึ้น บทตั้งนี้ระบุว่า การระบายสีบางชนิดบนของซิมเพล็กซ์มีสับซิมเพล็กซ์หนึ่งที่มีทุกสี แทนที่จะสร้างสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวโดยตรง การพิสูจน์ว่ามีจำนวนคี่ของสับซิมเพล็กซ์ดังกล่าวผ่านการให้เหตุผลอุปนัยจะง่ายกว่า ประพจน์ที่เข้มกว่าของบทตั้งนี้อธิบายว่าเหตุใดจำนวนนี้จึงเป็นคี่ เพราะโดยสภาพซิมเพล็กซ์แยกได้เป็น (n + 1) + n เมื่อพิจารณาการกำหนดทิศทางที่เป็นไปได้สองอย่างของซิมเพล็กซ์หนึ่ง ๆ

การสลับคี่-คู่

บทนิยามเวียนเกิดของภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติ

ข้อเท็จจริงที่ว่า 0 เป็นคู่ ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนคี่และคู่สลับกันเพียงพอที่จะระบุภาวะคู่หรือคี่ของจำนวนธรรมชาติอื่นทุกจำนวน ความคิดนี้สามารถสร้างเป็นบทนิยามเวียนเกิดของเซ็ตจำนวนธรรมชาติคู่ได้ คือ

• 0 เป็นคู่
• (n + 1) เป็นคู่เฉพาะเมื่อ n ไม่เป็นคู่

นิยามนี้มีข้อได้เปรียบทางเชิงแนวคิดที่อาศัยเฉพาะรากฐานเล็กน้อยของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น คือ การมี 0 และ ฉะนั้น จึงเป็นประโยชน์สำหรับระบบตรรกะคอมพิวเตอร์อย่างกรอบตรรกะ (LF) และโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทอีซาแบล (Isabelle theorem prover) ด้วยนิยามนี้ สภาพคู่ของ 0 จึงไม่ใช่ทฤษฎีบทแต่เป็นสัจพจน์ ที่จริง "0 เป็นจำนวนคู่" อาจตีความได้ว่าเป็นสัจพจน์เปอาโน (Peano axiom) ซึ่งจำนวนธรรมชาติคู่เป็นแบบจำลอง บทสร้างคล้ายกันขยายนิยามของสภาพคู่หรือคี่ให้จำนวนเชิงอันดับที่อนันต์ โดยทุกเป็นคู่รวมทั้ง 0 และตัวตามหลังของอันดับที่คู่เป็นคี่

การทดสอบจุดในรูปหลายเหลี่ยม

การทดสอบคลาสสิกจากเรขาคณิตคณนาใช้ความคิดข้างต้น ในการระบุว่าจุดหนึ่งอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่ บุคคลลากรังสีจากอนันต์มายังจุดและนับจำนวนครั้งที่รังสีนั้นผ่านขอบของรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะเป็นคู่ก็ต่อเมื่อจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ขั้นตอนวิธีดังกล่าวใช้ได้เพราะหากรังสีไม่ข้ามรูปหลายเหลี่ยมเลย จำนวนครั้งที่ข้ามก็จะเป็น 0 ซึ่งเป็นคู่ และจุดอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ทุกครั้งที่รังสีข้ามรูปหลายเหลี่ยม จำนวนครั้งที่ข้ามจะสลับระหว่างคู่กับคี่ และจุดที่อยู่ตรงปลายจะสลับระหว่างนอกกับในรูป

การสร้างกราฟสองส่วน

ในทฤษฎีกราฟ กราฟสองส่วนเป็นกราฟที่จุดยอดแบ่งออกเป็นสองสี่ โดยที่จุดยอดที่อยู่ติดกันมีสีต่างกัน หากกราฟต่อเนื่องไม่มีวงคี่จะสามารถสร้างการแบ่งเป็นสองส่วนได้โดยเลือกจุดยอดฐาน v และระบายสีทุกจุดยอดด้วยสีดำหรือขาว โดยขึ้นอยู่กับจาก v เป็นคู่หรือคี่ เนื่องจากระยะทางระหว่าง v กับตัวมันเองเป็น 0 และ 0 เป็นคู่ จุดยอดฐานจึงระบายสีต่างจากจุดยอดที่อยู่ติดกัน ซึ่งมีระยะทาง 1

แบบรูปพีชคณิต

2Z (สีน้ำเงิน) เป็นกรุปย่อยของ Z

ในพีชคณิตนามธรรม จำนวนเต็มคู่ก่อโครงสร้างเชิงพีชคณิตต่าง ๆ ซึ่งต้องอาศัยการมีเลข 0 ข้อเท็จจริงที่ว่าเอกลักษณ์การบวก (0) เป็นคู่ ร่วมกับผลรวมและตัวผกผันการบวกของจำนวนคู่เป็นคู่และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก หมายความว่า จำนวนเต็มบวกจัดเป็นกรุปหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น กรุปจำนวนเต็มคู่ภายใต้การบวกเป็นของกรุปจำนวนเต็มทั้งหมด นี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานของมโนทัศน์กรุปย่อย การสังเกตก่อนหน้านี้ว่า "คู่ − คู่ = คู่" บังคับให้ 0 เป็นคู่เป็นส่วนหนึ่งของแบบรูปทั่วไป คือ สับเซตที่ไม่ว่างใด ๆ ของกรุปการบวกซึ่งมีสมบัติปิดภายใต้การลบจะต้องเป็นสับกรุป และโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องมีสมาชิกเอกลักษณ์

เนื่องจากจำนวนเต็มคู่เป็นกรุปย่อยของจำนวนเต็ม จึงแบ่งกั้นจำนวนเต็มออกเป็น อาจอธิบายเซตร่วมเกี่ยวได้เป็นของดังนี้ x ~ y ถ้า (x − y) เป็นคู่ ในที่นี้ ภาวะคู่ของ 0 สำแดงออกโดยตรงเป็นความสัมพันธ์สะท้อนของ ~ มีเซตร่วมเกี่ยวเพียง 2 เซตในกรุปย่อยนี้ คือ จำนวนคู่และคี่ ฉะนั้นจึงมีดัชนี 2

กลับกัน เป็นกรุปย่อยดัชนี 2 ในกรุปสมมาตร n อักษร สมาชิกของกรุปสลับ เรียก การเรียงสับเปลี่ยนคู่ (even permutation) เป็นผลคูณของจำนวนย้ายข้างคู่ การส่งเอกลักษณ์ (identity map) ผลคูณว่างของการไม่ย้ายข้าง เป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่เพราะ 0 เป็นคู่ และเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป

กฎ "คู่ × จำนวนเต็ม = คู่" หมายความว่า จำนวนคู่ก่อไอดีลในริงของจำนวนเต็ม และความสัมพันธ์สมมูลข้างต้นสามารถอธิบายได้เป็นสมมูลมอดุโลไอดีลนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเต็มคู่เป็นจำนวนเต็ม k โดยที่ k ≡ 0 (mod 2) การประดิษฐ์ดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับการสืบสวนรากจำนวนเต็มของพหุนาม

อันดับ 2 เอดิก

มีการรับรู้ทำนองว่าพหุคูณบางจำนวนของ 2 เป็น "คู่มากกว่า" จำนวนอื่น พหุคูณของ 4 เรียก คู่คู่ (doubly even) เนื่องจากสามารถหารด้วย 2 ได้สองครั้ง ไม่เพียงแต่ 0 หารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้น แต่ยังมีสมบัติพิเศษที่สามารถหารด้วยกำลังของ 2 ทุกจำนวนลงตัว ฉะนั้นจึงมีความเป็น "ภาวะคู่" ยิ่งกว่าจำนวนอื่น

ผลลัพธ์หนึ่งของข้อเท็จจริงนี้ปรากฏในอันดับบิตผันกลับ (bit-reversed ordering) ของประเภทข้อมูลจำนวนเต็มที่ขั้นตอนวิธีคอมพิวเตอร์บางอย่างใช้ เช่น (Cooley–Tukey) การเรียงอันดับนี้มีสมบัติว่า ยิ่งเกิดตัวเลข 1 ตัวแรกในการกระจายฐานสองของจำนวนห่างไปทางซ้ายมากเพียงใด หรือยิ่งหารด้วย 2 ได้มากครั้งเท่าใด จะยิ่งปรากฏเร็วขึ้น การผันกลับบิตของ 0 ยังเป็น 0 คือ สามารถหารด้วย 2 ได้กี่ครั้งก็ได้ และการกระจายฐานสองของ 0 ไม่มีเลข 1 เลย ฉะนั้นจึงมาก่อนเสมอ

แม้ 0 หารด้วย 2 ได้มากครั้งกว่าจำนวนอื่นใด แต่ก็บอกปริมาณว่าหารได้กี่ครั้งไม่ได้อย่างตรงไปตรงมา สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ ที่ไม่เป็น 0 บุคคลสามารถนิยามอันดับ 2 เอดิกของ n ว่าเป็นจำนวนครั้งที่ n หารด้วย 2 ได้ลงตัว คำอธิบายดัวกล่าวใช้กับ 0 ไม่ได้ เพราะไม่ว่าจะหารด้วย 2 กี่ครั้งก็ยังสามารถหารด้วย 2 ได้อีก ฉะนั้น สัญนิยมปกติจึงตั้งอันดับ 2 ของ 0 ให้เป็นอนันต์เป็นกรณีพิเศษ สัญนิยมนี้มิได้มีเฉพาะอันดับ 2 แต่เป็นสัจพจน์หนึ่งของการกำหนดค่าการบวกในพีชคณิชชั้นสูง

กำลังของ 2 ได้แก่ 1, 2, 4, 8, ... เป็นลำดับเชิงเดียวของจำนวนอันดับ 2 ที่เพิ่มขึ้น ในจำนวน 2 เอดิก ลำดับดังกล่าวแท้จริงแล้วลู่เข้า 0

การศึกษา

ร้อยละของคำตอบตามเวลา

เรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 มักมีการสอนในระดับประถมศึกษาสองหรือสามปีแรก ซึ่งเป็นขณะที่มีการนำเสนอและเรียนรู้มโนทัศน์จำนวนคู่และคี่

ความรู้ของนักเรียน

แผนภาพด้านขวามือ แสดงความเชื่อของเด็กเกี่ยวกับภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เมื่อพวกเขาผ่านจากปี 1 ถึงปี 6 ของระบบการศึกษาอังกฤษ ข้อมูลนี้ได้จากเล็น โฟรบิเชอร์ ซึ่งทำการสำรวจเด็กนักเรียนชาวอังกฤษ โฟรบิเชอร์สนใจว่าความรู้ภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวเปลี่ยนเป็นความรู้ว่าด้วยภาวะคู่หรือคี่เลขโดดหลายตัวอย่างไร และ 0 มีส่วนสำคัญในผลลัพธ์ดังกล่าว

ในการสำรวจขั้นต้นเด็กนักเรียน 7 ขวบเกือบ 400 คน มี 45% เลือกตอบคู่เมื่อถูกถามเรื่องภาวะคู่หรือคี่ของ 0 การสำรวจติดตามให้คำตอบเพิ่มขึ้น คือ ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่ เป็นทั้งคู่และคี่และไม่ทราบ ครั้งนี้จำนวนเด็กในพิสัยอายุเดียวกันที่บอกว่า 0 เป็นคู่ลดลงเหลือ 32% ความสำเร็จในการตัดสินว่า 0 เป็นคู่นั้นทีแรกเพิ่มขึ้นแล้วคงที่อยู่ประมาณ 50% ในปีที่ 3 ถึงปีที่ 6 เมื่อเทียบกับการระบุภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดตัวเดียวซึ่งเป็นงานที่ง่ายที่สุด ความสำเร็จอยู่ที่ประมาณ 85%

ในการสัมภาษณ์ โฟรบิเชอร์ค้นหาการให้เหตุผลของนักเรียน นักเรียนปี 5 คนหนึ่งตัดสินว่า 0 เป็นคู่เพราะพบในสูตรคูณแม่ 2 นักเรียนปี 4 สองคนพบว่า 0 สามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนเท่ากัน นักเรียนปี 4 อีกคนหนึ่งให้เหตุผลว่า "1 เป็นคี่และถ้าฉันนับถอยหลังมา มันจะเป็นคู่" การสัมภาษณ์ยังเปิดเผยความเข้าใจผิดเบื้องหลังคำตอบผิดด้วย นักเรียนปี 2 คนหนึ่ง "ค่อนข้างเชื่อมั่น" ว่า 0 เป็นคี่ บนเหตุผลว่า "มันเป็นเลขแรกที่คุณนับ" นักเรียนปี 4 คนหนึ่งเรียก 0 ว่า "ไม่มี" และคิดว่าไม่เป็นทั้งคี่หรือคู่ เพราะ "มันไม่ใช่จำนวน" ในอีกการศึกษาหนึ่ง แอนนี คีธสังเกตชั้นเรียนนักเรียนปี 2 จำนวน 15 คนซึ่งชักจูงกันและกันว่า 0 เป็นจำนวนคู่โดยอาศัยการสลับคู่-คี่และความเป็นไปได้ในการแบ่งกลุ่มวัตถุ 0 วัตถุออกเป็นสองกลุ่มเท่ากัน

มีการศึกษาเชิงลึกกว่าโดยเอสเทอร์ เลเวนสัน, เป็สซีอา ซามีร์ (Pessia Tsamir) และดีนา ตีร็อช (Dina Tirosh) ซึ่งสัมภาษณ์นักเรียนเกรด 6 คู่หนึ่งที่เรียนดีในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของพวกเขา นักเรียนคนหนึ่งนิยมคำอธิบายนิรนัยของการอ้างทางคณิตศาสตร์ ขณะที่อีกคนนิยมตัวอย่างที่จับต้องได้ ทีแรกนักเรียนทั้งสองคิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่ด้วยเหตุผลต่างกัน เลเวนสันและคณะแสดงว่าเหตุใดการให้เหตุผลของนักเรียนจึงสะท้อนมโนทัศน์ของ 0 และการหาร

คำอ้างของนักเรียน
"0 ไม่เป็นทั้งคู่หรือคี่" "0 อาจเป็นคู่ก็ได้" "0 ไม่เป็นคี่" "0 ต้องเป็นคู่" "0 ไม่เป็นจำนวนคู่" "0 จะต้องเป็นคู่เสมอ" "0 จะไม่เป็นจำนวนคู่เสมอ" "0 เป็นคู่" "0 พิเศษ"

เดโบราห์ โลเวนเบิร์ก บอลล์วิเคราะห์ความคิดของนักเรียนชั้นเกรด 3 เกี่ยวกับจำนวนคู่และคี่และ 0 ซึ่งพวกเขาเพิ่งอภิปรายกับกลุ่มนักเรียนเกรด 4 นักเรียนอภิรายภาวะคู่หรือคี่ของ 0 กฎสำหรับจำนวนคู่และวิธีทำคณิตศาสตร์ การอ้างเกี่ยวกับ 0 มีหลายแบบ ดังที่ปรากฏในรายการขวามือ บอลล์และผู้ประพันธ์ร่วมของเธอแย้งว่าตอนนี้แสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถ "ทำคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ได้ ตรงข้ามกับการลดทอนวิชาตามปกติเป็นการหาคำตอบของแบบฝึกหัดดุจเครื่องจักร

แก่นหนึ่งในเอกสารข้อมูลวิจัยคือความตึงเครียดระหว่างของนักเรียน นักเรียนเกรด 6 ในการศึกษาของเลเวนสันและคณะทั้งนิยามจำนวนคู่ว่าเป็นพหุคูณของ 2 หรือจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว แต่ทีแรกไม่สามารถใช้นิยามนี้กับ 0 ได้ เพราะพวกเขาไม่แน่ใจว่าการคูณหรือหาร 0 ด้วย 2 ทำอย่างไร สุดท้ายผู้สัมภาษณ์นำพวกเขาให้สรุปว่า 0 เป็นคู่ โดยนักเรียนใช้วิธีต่าง ๆ ในการมาสู่ข้อสรุปนี้ โดยการวาดบนภาพ นิยาม คำอธิบายจับต้องได้และคำอธิบายนามธรรมผสมกัน ในอีกการศึกษาหนึ่ง เดวิด ดิกเคอร์สัน และเดเมียน พิตแมนตรวจสอบการใช้นิยามของนักศึกษาปริญญาตรีเอกคณิตศาสตร์จำนวน 5 คน พวกเขาพบว่านักศึกษาเหล่านั้นส่วนใหญ่สามารถใช้นิยามของ "คู่" กับ 0 ได้ แต่พวกเขายังไม่ค่อยเชื่อตามการให้เหตุผลนี้ เนื่องจากขัดกับภาพมโนทัศน์ของพวกเขา

ความรู้ของครู

คณะนักวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกนรวมโจทย์จริงหรือเท็จ "0 เป็นจำนวนคู่" ในฐานข้อมูลคำถามกว่า 250 คำถามซึ่งออกแบบมาเพื่อวัดความรู้เนื้อหาของครู สำหรับผู้วิจัย "ความรู้ทั่วไป ... ซึ่งผู้ใหญ่ที่มีการศึกษาดีทุกคนพึงมี" และ "เป็นกลางทางอุดมการณ์" ตรงที่ว่าคำตอบไม่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ดั้งเดิมกับคณิตศาสตร์ปฏิรูป ในการวิจัยครูประถมศึกษาจำนวน 700 คนระหว่างปี 2543–2547 ในสหรัฐ สมรรถนะโดยรวมของคำถามเหล่านี้สามารถพยากรณ์พัฒนาการผลทดสอบมาตรฐานของนักเรียนได้อย่างมีนัยสำคัญหลังเข้าเรียนในชั้นเรียนของครูคนนั้น ๆ ในการวิจัยเชิงลึกขึ้นในปี 2551 ผู้วิจัยพบโรงเรียนแห่งหนึ่งท่ครูทุกคนคิดว่า 0 ไม่เป็นคี่และคู่ ซึ่งรวมถึงครูผู้หนึ่งที่เป็นแบบอย่างในทุกกรณี ศึกษานิเทศก์คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งในโรงเรียนนั้นเป็นผู้เผยแพร่ความเข้าใจผิดดังกล่าว

ไม่แน่ชัดว่าครูมากน้อยเพียงใดมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับ 0 คณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนไม่ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ข้อมูลสำหรับคำถามแต่ละคำถาม เบตตี ลิชเทนเบิร์ก (Betty Lichtenberg) ผู้ช่วยศาสตราจารย์การศึกษาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาท์ฟลอริดา ในการศึกษาปี 2515 รายงานว่าเมื่อกลุ่มครูโรงเรียนประถมตามแผนได้รับการทดสอบจริงหรือเท็จซึ่งมีคำถามหนึ่งว่า "0 เป็นจำนวนคู่" ครูเหล่านั้นคิดว่าเป็น "คำถามลวง" โดยสองในสามตอบ "เท็จ"

การส่อความสำหรับการสอน

ในทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ว่า 0 เป็นคู่นั้นเป็นปัญหาการใช้บทนิยามที่เรียบง่าย แต่จำเป็นต้องมีคำอธิบายเพิ่มในบริบทของการศึกษา ประเด็นหนึ่งว่าด้วยรากฐานของการพิสูจน์ คือ นิยามของ "คู่" ว่าเป็น "พหุคูณจำนวนเต็มของ 2" นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป นักเรียนประถมศึกษาปีที่ 1 อาจยังมิได้เรียนความหมายของคำว่า "จำนวนเต็ม" หรือ "พหุคูณ" ซึ่งไม่ต้องกล่าวถึงการคูณด้วย 0 นอกจากนี้ การระบุนิยามของภาวะคู่หรือคี่สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถดูเหมือนเป็นทางลัดมโนทัศน์ตามอำเภอใจหากจำนวนคู่ที่สืบสวนจนถึงขณะนั้นมีเฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น ประเด็นนี้สามารถช่วยให้ตระหนักว่ามโนทัศน์จำนวนขยายจากจำนวนเต็มบวกให้รวมศูนย์และจำนวนเต็มลบฉันใด คุณสมบัติของจำนวนอย่างภาวะคู่หรือคี่ก็ขยายในทางที่ไม่เล็กน้อยฉันนั้น

ประชานจำนวน

การวิเคราะห์ข้อมูลทดลองทางสถิติ แสดงการแบ่งของ 0 ในการวิเคราะห์ที่ว่างเล็กสุดนี้ มีเพียงการเกาะกลุ่มของข้อมูลเท่านั้นที่มีความหมาย ส่วนแกนคงค่า

ผู้ใหญ่ที่เชื่อว่า 0 เป็นคู่นั้นก็ยังไม่คุ้นเคยกับการคิดว่ามันเป็นคู่ จนสามารถทำให้การตอบสนองช้าลงในการทดลองเวลาปฏิกิริยาจนวัดได้ สตานิสลัส เดอแอน (Stanislas Dehaene) ผู้บุกเบิกในสาขาประชานจำนวน นำการทดลองดังกล่าวหลายครั้งในต้นคริสต์ทศวรรษ 1990 มีการฉายเลขหรือคำเลข (number word) บนจอภาพแก่ผู้รับการทดลอง แล้วให้คอมพิวเตอร์บันทึกเวลาที่ผู้รับการทดลองใช้ในการกดเลือกปุ่มว่าจำนวนที่ฉายนั้นเป็นคู่หรือคี่ ผลลัพธ์แสดงว่าผู้รับการทดลองประมวลเลข 0 ช้ากว่าเลขคู่อื่น มีความแปรผันในการทดลองบางอย่างพบความล่าช้ามากถึง 60 มิลลิวินาที หรือประมาณ 10% ของเวลาปฏิกิริยาเฉลี่ย ซึ่งเป็นความแตกต่างเล็กน้อยแต่มีความสำคัญ

การทดลองของเดอแอนมิได้ออกแบบมาเพื่อสอบสวนเลข 0 โดยเฉพาะแต่เพื่อเรียบเทียบแบบจำลองต่าง ๆ ว่าประมวลผลและแยกสารสนเทศภาวะคู่หรือคี่อย่างไร แบบจำลองที่จำเพาะที่สุด คือ สมมติฐานการคำนวณในใจ เสนอว่าปฏิกิริยาต่อ 0 ควรเร็ว เพราะ 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย และการคำนวณ 0 × 2 = 0 ง่าย (ผู้ศึกษาทราบว่าผู้รับการทดลองคำนวณและตอบผลลัพธ์การคูณด้วย 0 เร็วกว่าการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ 0 แม้ผู้รับการทดลองใช้เวลานานกว่าในการยืนยันผลลัพธ์อย่าง 2 × 0 = 0) ผลลัพธ์ของการทดลองนี้เสนอสิ่งที่คลาดเคลื่อนไปจากสมมติฐาน คือ สารสนเทศภาวะคู่หรือคี่ดูเหมือนถูกเรียกมาจากความทรงจำร่วมกับกลุ่มคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เช่น เป็นจำนวนเฉพาะหรือกำลังของ 2 และลำดับของจำนวนคู่บวก 2, 4, 6, 8, ... เป็นหมวดหมู่ทางจิตที่แยกแยะได้ง่ายว่าสมาชิกเป็นต้นแบบเลขคู่ 0 ไม่อยู่ในรายการใด ฉะนั้นจึงมีการตอบสนองช้ากว่า

การทดลองซ้ำ ๆ ต่างแสดงว่าผู้รับการทดลองช้าที่เลข 0 ไม่ว่ามีภูมิหลังอายุ สัญชาติ หรือภาษา หรือไม่ว่าเผชิญกับชื่อเลขในรูปตัวเลข สะกดเป็นอักษร และสะกดในภาพกระจก แต่กลุ่มของเดอแอนพบปัจจัยแยกกันปัจจัยหนึ่ง คือ ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ในการทดลองของพวกเขาครั้งหนึ่ง นักศึกษาในเอกอลนอร์มาลซูว์เปรีเยอร์ (École Normale Supérieure) ถูกแบ่งเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งศึกษาวรรณคดี และอีกกลุ่มหนึ่งศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ หรือชีววิทยา ความช้าที่เลข 0 "พบโดยสำคัญในกลุ่ม [วรรณคดี]" และที่จริง "ก่อนการทดลอง ผู้รับการทดลองบางคนไม่มั่นใจว่า 0 เป็นคี่หรือคู่ และต้องได้รับการย้ำนิยามทางคณิตศาสตร์"

ด้วยต้องอาศัยความคุ้นเคยอย่างมาก เหตุนี้จึงทำลายสมมติฐานการคำนวณในใจอีก ปรากฏการณ์ดังกล่าวยังแนะว่าการรวม 0 อยู่ในการทดลองเปรียบเทียบจำนวนคู่และคี่เป็นกลุ่มนั้นไมเหมาะสม การศึกษาหนึ่งระบุว่า "นักวิจัยส่วนใหญ่ดูจะเห็นตรงกันว่า 0 ไม่ใช่จำนวนคู่แบบฉบับและไม่ควรสืบสวนมันในฐานะส่วนหนึ่งของเส้นจำนวนในใจ"

บริบทชีวิตประจำวัน

ในเกมรูเล็ตต์ ถือว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่

บางบริบทที่มีภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นวาทศิลป์ทั้งสิ้น ประเด็นนี้เป็นข้อคำถามสำหรับกระดานสนทนาอินเทอร์เน็ตและเว็บไซต์ถามผู้เชี่ยวชาญ นักภาษาศาสตร์ โจเซฟ ไกรมส์ (Joseph Grimes) กล่าวตลกว่า การถามคู่สมรสว่า "0 เป็นจำนวนคู่หรือไม่" เป็นวิธีที่ดีในการสร้างความไม่ลงรอยกันระหว่างทั้งสอง บุคคลที่คิดว่า 0 ไม่เป็นทั้งคู่และคี่อาจใช้ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 เป็นข้อพิสูจน์ว่ากฎประจำวันมีตัวอย่างตรงข้าม หรือเป็นตัวอย่างของคำถามลวง

ประมาณปี 2543 สื่อต่าง ๆ ตั้งข้อสังเกตถึงหลักไมล์ที่ไม่ธรรมดาสองวัน คือ "1999/11/19" (19 พฤศจิกายน 2542) เป็นวันที่สุดท้ายในปฏิทินซึ่งเป็นเลขโดดคี่ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน และวันที่ "2000/02/02" (2 กุมภาพันธ์ 2543) เป็นวันที่เลขคู่ทั้งหมดวันแรกที่จะเกิดขึ้นในเวลานาน เนื่องจากผลลัพธ์เหล่านี้ใช้ข้อที่ว่า 0 เป็นคู่ ผู้อ่านบางคนจึงไม่เห็นด้วยกับความคิดนี้

ในการทดสอบมาตรฐาน หากคำถามถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของจำนวนคู่ อาจจำเป็นต้องระลึกไว้ว่า 0 เป็นคู่ สิ่งพิมพ์เผยแพร่อย่างเป็นทางการซึ่งเกี่ยวข้องกับการสอบจีแมต (GMAT) และจีอาร์อี (GRE) ล้วนกล่าวว่า 0 เป็นคู่

ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 สัมพันธ์กับการปันส่วนคี่–คู่ ซึ่งอนุญาตให้จับรถยนต์หรือซื้อแกโซลีนได้สลับวันกันตามภาวะคู่หรือคี่ของเลขโดดสุดท้ายในป้ายทะเบียนรถ จำนวนครึ่งหนึ่งอยู่ในพิสัยหนึ่ง ๆ ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6, 8 และอีกครึ่งหนึ่งด้วย 1, 3, 5, 7, 9 ฉะนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะรวม 0 กับจำนวนคู่อื่น ทว่า ในปี 2520 ระบบปันส่วนคี่–คู่ในกรุงปารีสนำไปสู่ความสับสน คือ ในวันเฉพาะเลขคี่ ตำรวจเลี่ยงปรับผู้ขับขี่ที่ป้ายทะเบียนลงท้ายด้วย 0 เพราะพวกเขาไม่ทราบว่า 0 เป็นเลขคู่หรือไม่ ในการเลี่ยงความสับสนเช่นว่า บางครั้งกฎหมายที่เกี่ยวข้องจึงกำหนดว่า 0 เป็นคู่ โดยมีการผ่านกฎหมายดังกล่าวในรัฐนิวเซาท์เวลส์ และรัฐแมรีแลนด์

ในเรือของกองทัพเรือสหรัฐ ส่วนกั้นเลขคู่จะอยู่กาบซ้าย (port side) แต่สงวนเลข 0 ไว้สำหรับส่วนกั้นที่อยู่ตัดกับแนวกลาง นั่นคือ จำนวนจะเรียงจาก 6-4-2-0-1-3-5 ตั้งแต่กาบซ้ายถึงกาบขวา (starboard) ในเกมรูเล็ตต์ เลข 0 ไม่นับว่าเป็นคู่หรือคี่ ทำให้กาสิโนได้เปรียบในการลงพนันดังกล่าว ในทำนองเดียวกัน ภาวะคู่หรือคี่ของ 0 จะมีผลต่อเงินในพร็อปเบต (prop bet) เมื่อผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนี่สุ่มเป็นคู่หรือคี่ แล้วปรากฏว่าได้ 0

เกม "คี่และคู่" ก็ได้รับผลกระทบเช่นกัน หากผู้เล่นทั้งสองไม่ออกนิ้ว จำนวนนิ้วจะเป็น 0 ฉะนั้นผู้เล่นคู่จะชนะ คู่มือครูเล่มหนึ่งเสนอให้เล่นเกมนี้เพื่อเป็นการสอนมโนทัศน์ว่า 0 หารด้วย 2 ลงตัวแก่เด็ก

อ้างอิง

เชิงอรรถ

1. Penner 1999, p. 34: B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. แพนเนอร์ใช้สัญลักษณ์คณืตศาสตร์ ∃ ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ในการระบุข้อพิสูจน์: "To see that 0 is even, we must prove that ∃k (0 = 2k), and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0."
2. Ball, Lewis & Thames (2008, p. 15) อภิปรายความท้าทายนี้สำหรับครูประถมศึกษา ผู้ต้องการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์แก่ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ แต่นักเรียนไม่ใช้บทนิยามเดียวกัน หรือหากสอนแล้วจะไม่เข้าใจ
3. เทียบกับ Lichtenberg (1972, p. 535) Fig. 1
4. Lichtenberg 1972, pp. 535–536 "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."
5. Lichtenberg 1972, pp. 535–536 "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."
6. Dickerson & Pitman 2012, p. 191.
7. Lichtenberg 1972, p. 537; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."
8. Lichtenberg 1972, pp. 537–538 "At a more advanced level ... numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."
9. Caldwell & Xiong 2012, pp. 5–6.
10. Gowers 2002, p. 118 "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see Caldwell & Xiong (2012).
11. Partee 1978, p. xxi
12. Stewart 2001, p. 54 กำหนดกฎไว้ดังนี้ แต่ไม่ได้ยกมาคำต่อคำ
13. Devlin 1985, pp. 30–33
14. Penner 1999, p. 34.
15. Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 For isolated vertices see p. 149; for groups see p. 311.
16. Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003, pp. 127–128
17. Starr 1997, pp. 58–62
18. Border 1985, pp. 23–25
19. Lorentz 1994, pp. 5–6; Lovas & Pfenning 2008, p. 115; Nipkow, Paulson & Wenzel 2002, p. 127
20. Bunch 1982, p. 165
21. Salzmann et al. 2007, p. 168
22. Wise 2002, pp. 66–67
23. Anderson 2001, p. 53; Hartsfield & Ringel 2003, p. 28
24. Dummit & Foote 1999, p. 48
25. Andrews 1990, p. 100
26. Tabachnikova & Smith 2000, p. 99; Anderson & Feil 2005, pp. 437–438
27. Barbeau 2003, p. 98
28. Arnold 1919, p. 21 "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; Wong 1997, p. 479 "Thus, the integer b000⋯000 = 0 is the most 'even.'
29. Wong 1997, p. 479
30. Gouvêa 1997, p. 25 Of a general prime p: "The reasoning here is that we can certainly divide 0 by p, and the answer is 0, which we can divide by p, and the answer is 0, which we can divide by p…" (ellipsis in original)
31. Krantz 2001, p. 4
32. Salzmann et al. 2007, p. 224
33. Frobisher 1999, p. 41
34. This is the timeframe in United States, Canada, Great Britain, Australia, and Israel; see Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 85)
35. Frobisher 1999, pp. 37, 40, 42; results are from the survey conducted in the mid- of 1992.
36. Frobisher 1999, p. 41 "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"
37. Frobisher 1999, p. 41 "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."
38. Frobisher 1999, pp. 40–42, 47; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.
39. Frobisher 1999, p. 41, attributed to "Jonathan"
40. Frobisher 1999, p. 41, attributed to "Joseph"
41. Frobisher 1999, p. 41, attributed to "Richard"
42. Keith 2006, pp. 35–68 "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"
43. Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, pp. 83–95
44. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 27, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."
45. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 16.
46. Levenson, Tsamir & Tirosh 2007; Dickerson & Pitman 2012
47. Dickerson & Pitman 2012.
48. Ball, Hill & Bass 2005, pp. 14–16
49. Hill et al. 2008, pp. 446–447.
50. Lichtenberg 1972, p. 535
51. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 15. See also Ball's keynote for further discussion of appropriate definitions.
52. As concluded by Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 93), referencing Freudenthal (1983, p. 460)
53. Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 851): "It can also be seen that zero strongly differs from all other numbers regardless of whether it is responded to with the left or the right hand. (See the line that separates zero from the other numbers.)"
54. ดูข้อมูลทั้ง Dehaene, Bossini & Giraux (1993), และสรุปโดย Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 837).
55. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 374–376
56. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 376–377
57. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, p. 376 "In some intuitive sense, the notion of parity is familiar only for numbers larger than 2. Indeed, before the experiment, some L subjects were unsure whether 0 was odd or even and had to be reminded of the mathematical definition. The evidence, in brief, suggests that instead of being calculated on the fly by using a criterion of divisibility by 2, parity information is retrieved from memory together with a number of other semantic properties ... If a semantic memory is accessed in parity judgments, then interindividual differences should be found depending on the familiarity of the subjects with number concepts."
58. Nuerk, Iversen & Willmes 2004, pp. 838, 860–861
59. The Math Forum participants 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999 harvnb error: no target: CITEREFStraight_Dope_Science_Advisory_Board1999 (); Doctor Rick 2001 harvnb error: no target: CITEREFDoctor_Rick2001 ()
60. Grimes 1975, p. 156 "...one can pose the following questions to married couples of his acquaintance: (1) Is zero an even number? ... Many couples disagree..."
61. Wilden & Hammer 1987, p. 104
62. Snow 2001; Morgan 2001
63. Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
64. Sones & Sones 2002 "It follows that zero is even, and that 2/20/2000 nicely cracks the puzzle. Yet it's always surprising how much people are bothered by calling zero even..."; Column 8 readers 2006a "'...according to mathematicians, the number zero, along with negative numbers and fractions, is neither even nor odd,' writes Etan..."; Column 8 readers 2006b "'I agree that zero is even, but is Professor Bunder wise to 'prove' it by stating that 0 = 2 x 0? By that logic (from a PhD in mathematical logic, no less), as 0 = 1 x 0, it's also odd!' The prof will dispute this and, logically, he has a sound basis for doing so, but we may be wearing this topic a little thin ..."
65. Kaplan Staff 2004, p. 227
66. Graduate Management Admission Council 2005, pp. 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, p. 1
67. Arsham 2002; The quote is attributed to the heute broadcast of October 1, 1977. Arsham's account is repeated by Crumpacker (2007, p. 165).
68. Sones & Sones 2002 "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"
69. A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from Department of Legislative Reference (1974), Laws of the State of Maryland, Volume 2, p. 3236, สืบค้นเมื่อ 2 June 2013
70. Cutler 2008, pp. 237–238
71. Brisman 2004, p. 153
72. Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
73. Diagram Group 1983, p. 213
74. Baroody & Coslick 1998, p. 1.33

บรรณานุกรม

• Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer, ISBN 
• Anderson, Marlow; Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields, London: CRC Press, ISBN 
• Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language, Durham: Duke University Press, ISBN 
• Arnold, C. L. (January 1919), "The Number Zero", The Ohio Educational Monthly, 68 (1): 21–22, สืบค้นเมื่อ 11 April 2010
• Arsham, Hossein (January 2002), , The Pantaneto Forum, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 25 September 2007, สืบค้นเมื่อ 24 September 2007
• Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C.; Bass, Hyman (2005), "Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?" (PDF), American Educator, สืบค้นเมื่อ 16 September 2007
• Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer; Thames, Mark Hoover (2008), "Making mathematics work in school" (PDF), Journal for Research in Mathematics Education, M14: 13–44 and 195–200, สืบค้นเมื่อ 4 March 2010
• Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials, Springer, ISBN 
• Baroody, Arthur; Coslick, Ronald (1998), Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 
• Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E.; Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 
• Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 
• Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways, Sterling, ISBN 
• Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, ISBN 
• Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (27 December 2012), "What is the Smallest Prime?", Journal of Integer Sequences, 15 (9), :1209.2007
• Column 8 readers (10 March 2006a), "Column 8", The Sydney Morning Herald (First ed.), p. 18,
• Column 8 readers (16 March 2006b), "Column 8", The Sydney Morning Herald (First ed.), p. 20,
• Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, ISBN 
• Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 
• ; Bossini, Serge; Giraux, Pascal (1993), "The mental representation of parity and numerical magnitude" (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 122 (3): 371–396, doi:10.1037/0096-3445.122.3.371, สืบค้นเมื่อ 13 September 2007
• Devlin, Keith (April 1985), "The golden age of mathematics", New Scientist, 106 (1452)
• Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, ISBN 
• Dickerson, David S; Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso (บ.ก.), "Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions" (PDF), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2: 187–195
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 
• Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test (PDF), Educational Testing Service, สืบค้นเมื่อ 6 September 2011
• Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands: Reidel
• Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (บ.ก.), Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London: Cassell, pp. 31–48 {{}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |book-title= ถูกละเว้น ((help))
• (1997), p-adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 
• (2002), Mathematics: A Very Short Introduction, , ISBN 
• Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 
• Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, ISBN 
• ; (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola: Courier Dover, ISBN 
• Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y.; Lewis, Jennifer M.; Phelps, Geoffrey C.; Sleep, Laurie; Ball, Deborah Loewenberg (2008), "Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study", Cognition and Instruction, 26 (4): 430–511, doi:10.1080/07370000802177235
• Hohmann, George (25 October 2007), "Companies let market determine new name", Charleston Daily Mail, p. P1C,
• Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, ISBN 
• Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, ISBN  {{}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |book-title= ถูกละเว้น ((help))
• Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, ISBN 
• Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), "Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero", The Journal of Mathematical Behavior, 26 (2): 83–95, doi:10.1016/j.jmathb.2007.05.004
• Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), "Zero is an even number", The Arithmetic Teacher, 19 (7): 535–538
• Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms, Intellect Books, ISBN 
• Lovas, William; Pfenning, Frank (22 January 2008), "A Bidirectional Refinement Type System for LF", Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 196: 113–128, doi:10.1016/j.entcs.2007.09.021, สืบค้นเมื่อ 16 June 2012
• Lovász, László; Pelikán, József; Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, ISBN 
• Morgan, Frank (5 April 2001), "Old Coins", Frank Morgan's Math Chat, The Mathematical Association of America, สืบค้นเมื่อ 22 August 2009
• ; ; Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, ISBN 
• Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke; Willmes, Klaus (July 2004), "Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect", The Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 57 (5): 835–863, doi:10.1080/02724980343000512
• Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 
• Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje: World Scientific, ISBN 
• Salzmann, H.; Grundhöfer, T.; Hähl, H.; Löwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 
• Siegel, Robert (19 November 1999), "Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now.", ,
• Smock, Doug (6 February 2006), "The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods", , p. P1B,
• Snow, Tony (23 February 2001), , , คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2011-01-02, สืบค้นเมื่อ 22 August 2009
• Sones, Bill; Sones, Rich (8 May 2002), , , p. C07, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2018-02-04, สืบค้นเมื่อ 21 June 2014
• (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, ISBN 
• Steinberg, Neil (30 November 1999), "Even year, odd facts", Chicago Sun-Times (5XS ed.), p. 50,
• Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT, Stamford: Thomson, ISBN 
• Stingl, Jim (5 April 2006), , (Final ed.), p. B1, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 27 April 2006, สืบค้นเมื่อ 21 June 2014
• Tabachnikova, Olga M.; (2000), Topics in Group Theory, London: Springer, ISBN 
• The Math Forum participants (2000), "A question around zero", Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica, Drexel University, สืบค้นเมื่อ 25 September 2007
• Turner, Julian (13 July 1996), "Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific", The Guardian, p. 23,
• Wilden, Anthony; Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, ISBN 
• Wise, Stephen (2002), GIS Basics, CRC Press, ISBN 
• Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, ISBN