พหุนาม

พหุนาม ในคณิตศาสตร์ หมายถึง นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ตัวอย่างของพหุนามตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปร เช่น x² − 4x + 7 ซึ่งเป็นพหุนามกำลังสอง

กราฟของฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม

พหุนามสามารถนำไปใช้ในสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ได้อย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น สมการพหุนาม ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างกว้างขวาง จากพื้นฐาน ไปจนถึงปัญหาที่ซับซ้อนทางวิทยาศาสตร์ และยังใช้ในการนิยาม ฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งนำไปใช้ตั้งแต่พื้นฐานของเคมีและฟิสิกส์ ไปจนถึงเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์ รวมถึงการนำไปใช้ในแคลคูลัส และการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งคล้ายคลึงกับฟังก์ชันต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงนั้น พหุนามยังใช้ในการสร้าง และ และเป็นแนวคิดสำคัญในพีชคณิต และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอีกด้วย

ความหมายและที่มา

สัญกรณ์และศัพท์บัญญัติ

บทนิยาม

นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

รูปทั่วไปของพหุนามตัวแปรเดียวสามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ หรือ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{n}a_{n}x^{n}}$

โดยที่ ${\displaystyle a_{0},...a_{n}}$ เป็นค่าคงที่ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ และ ${\displaystyle x}$ เป็นตัวแปรไม่ทราบค่า

เช่น ${\displaystyle x^{2}+4x+7}$ ซึ่งเป็นพหุนามกำลังสอง

ฟังก์ชันพหุนามเกิดจากการแทนค่าตัวแปรไม่ทราบค่าลงในพหุนาม

เลขคณิตของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ ${\displaystyle y(2xz^{3}-4)x-2+(0.9x+z)y}$ เป็นพหุนาม (เนื่องจาก ${\displaystyle z^{3}}$ เป็นการเขียนย่อจาก ${\displaystyle z\cdot z\cdot z}$) แต่นิพจน์ ${\displaystyle {1 \over x^{2}+1}}$ ไม่ใช่พหุนาม เนื่องจากมีการหาร เช่นเดียวกับ นิพจน์ ${\displaystyle (5+y)^{x}}$ เนื่องจากไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการคูณกันที่ไม่ขึ้นกับค่าของตัวแปร ${\displaystyle x}$ ได้

นอกจากนี้ ยังมีการนิยาม พหุนาม ในรูปแบบจำกัด กล่าวคือ พหุนามคือนิพจน์ที่เป็นผลรวมของผลคูณระหว่างตัวแปรกับค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่น ${\displaystyle 2x^{2}yz^{3}-3.1xy+yz-2}$ อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้เป็นเพียงข้อจำกัดที่ผิวเผิน เนื่องจากสามารถใช้กฎการแจกแจงแปลงพหุนามภายใต้นิยามแรกให้เป็นพหุนามภายใต้นิยามที่สองได้ ในการใช้งานทั่วไปมักไม่แยกแยะความแตกต่างทั้งสอง นอกจากนี้ในบริบททั่วไปมักนิยมถือว่าโดยทั่วไปพหุนามจะอยู่ในรูปแบบจำกัดนี้ แต่เมื่อต้องการแสดงว่าอะไรเป็นพหุนาม มักใช้รูปแบบแรกเนื่องจากสะดวกมากกว่า56

ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันพหุนาม คือฟังก์ชันที่นิยามด้วยพหุนาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f นิยามด้วย f (x) = x³−x เป็นฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่สำคัญ นั่นคือ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุก ๆ อันดับที่จำกัด