ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง (อังกฤษ: Existential quantifier) เป็นตัวบ่งปริมาณ ค่าทางตรรกศาสตร์ที่เท่ากับว่า "มี...บางตัว" หรือ "ฟอร์ซัม" หมายความว่า ฟังก์ชันของประพจน์นั้น ๆ สามารถใช้ได้กับบางตัวในโดเมน หรือก็คือ ฟังก์ชันของประพจน์นั้นมีความสัมพันธ์กับสมาชิกแค่เพียงบางตัวในโดเมนนั้น ๆ ซึ่งเงื่อนไขที่ใช้ เพียงเป็นจริงกับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่ง ค่าความจริงจะเป็นจริงได้ทันที (เนื่องจากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว)

ใช้สัญลักษณ์ ∃ วางไว้กับตัวแปร ("∃x" หรือ "∃(x)") ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวนั้นตรงข้ามกับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (สำหรับ...ใด ๆ) ซึ่งจะใช้สมาชิกในโดเมนทุกตัว (ดูหัวข้อใหญ่ที่)

รหัสของสัญลักษณ์นี้คือ U+2203 ∃ THERE EXISTS (HTML ∃ · ∃ ) และ U+2204 ∄ THERE DOES NOT EXIST (HTML ∄) (ไม่มี...ใด ๆ เลย)

สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว

พื้นฐาน

ให้เงื่อนไขเป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่คูณด้วยตัวมันเองแล้วมีผลลัพธ์เป็น 25

${\displaystyle 0\cdot 0=25}$ หรือ ${\displaystyle 1\cdot 1=25}$ หรือ ${\displaystyle 3\cdot 3=25}$ หรือ ${\displaystyle 4\cdot 4=25}$ ฯลฯ

ประโยคนี้ เป็นแบบการเลือกเชิงตรรกศาสตร์ เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำ ๆ แต่อย่างไรก็ดี "ฯลฯ" ไม่สามารถเขียนแบบตรรกศาสตร์มาตรฐานได้ จากประโยคดังกล่าวข้างต้น อาจนิยามได้อีกทีว่า:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \rightarrow n\cdot n=25}$

ประโยคข้างต้น ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเข้ามาช่วย

จากรูปประโยคข้างต้น จะมีความแม่นยำกว่าอันที่หนึ่ง ในขณะที่ "ฯลฯ" ไม่ได้เจาะจงว่ารวมจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และไม่ได้บอกอะไรเพิ่ม เพราะไม่ได้กำหนดโดเมนอย่างชัดเจน ประโยคก็อาจจะไม่ได้เป็นการตีความอะไรมากนัก หรือจะพูดอีกอย่างก็คือ จำนวนธรรมชาตินั้นได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน

ประโยคข้างต้นเป็นจริง เพราะ 5 เป็นจำนวนธรรมชาติ และเมื่อแทน 5 ด้วย n แล้ว จะได้สมการว่า ${\displaystyle 5\cdot 5=25}$ ซึ่งเป็นจริง ไม่สำคัญว่า ${\displaystyle n\cdot n=25}$ จะเป็นจริงกับเฉพาะจำนวนธรรมชาติ 5 เท่านั้น เพราะหากมีแค่สมาชิกตัวเดียวที่มาทำให้เงื่อนไขเป็นจริงได้ สำหรับตัวบ่งปริมาณบางตัวแล้ว ประโยคนั้นจะเป็นจริงทันที ในทางตรงกันข้าม หากเป็นประโยค:

${\displaystyle \exists n\in \mathrm {even\ number} \rightarrow n\cdot n=25}$

เป็นเท็จ เนื่องจากไม่มีจำนวนคู่ใดคูณกันด้วยตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 25

ใช้กำหนดว่าค่าตัวแปร n ใดบ้างที่จะนำมาใช้กับเงื่อนไข แต่ยังมีเรื่องของความเป็นจริงและเท็จของแต่ละประโยคนั้น ๆ ในบางครั้งตัวเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์มาใช้กับเอกภพสัมพัทธ์เพื่อพิสูจน์ เช่น

${\displaystyle \exists n\in \mathrm {positive\ odd\ number} \rightarrow n\cdot n=25}$

กับ

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,n\in \mathrm {odd\ number} \land n\cdot n=25}$

จากตัวอย่างข้างต้น เราจะเติมการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์มาด้วย

สัญลักษณ์ "∃" (ตัว E กลับหัวในตระกูลฟอนต์ Sans-Serif) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (หรือบางทีอาจเขียนเฉพาะตัว V โดด ๆ)

ถ้า ${\displaystyle \mathrm {P} (a,b,c)}$ แทน ${\displaystyle a\cdot b=c}$ และ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ คือเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \mathrm {P} (n,n,25)}$

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นจริง):

${\displaystyle {\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \rightarrow n\cdot n=25}}$

ในทำนองเดียวกัน ถ้า ${\displaystyle \mathrm {Q} (n)}$ แทน ${\displaystyle n\in \mathrm {odd\ number} }$ แล้ว :

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นเท็จ)

${\displaystyle {\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,n\in \mathrm {odd\ number} \land n\cdot n=25}}$

ในเชิงคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ตัว "บางตัว" อาจทำได้ในรูปแบบอื่น ซึ่งใช้แทนกันได้ หรือจะพิสูจน์โดยไม่ต้องแสดงเลยว่ายังไงผลลัพธ์ต้องเป็นอย่างนั้นแน่นอน

สมบัติ

การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ ${\displaystyle \neg }$

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นฟังก์ชันประพจน์ว่า "0 < x < 1" แล้ว ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น x คือจำนวนธรรมชาติใด ๆ ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว "มี x บางตัวซึ่งมากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" จะเขียนได้ในรูป:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

ประโยคนี้อาจะเป็นเท็จได้ เพราะจริง ๆ ควรใช้ว่า "ไม่มีจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" จะเขียนได้ในรูป:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

ไม่มีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ ซึ่งจะทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริงได้ ดังนั้น สมาชิกทุกตัวจะขัดกับเงื่อนไข ซึ่งก็คือนิเสธ

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

สมมูลกับ "สำหรับจำนวนธรรมชาติ x ใด ๆ ซึ่ง x ไม่ได้มากกว่า 0 หรือน้อยกว่า 1"

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

โดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวคือตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด หรือนิยามได้ว่า:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

เช่น กำหนดให้ว่า "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") จะหมายความว่า

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

นิเสธของตัวบ่งปริมาณบางตัวยังรวมถึง "ไม่มีเลย":

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

ซึ่งไม่เหมือนกับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวจะกระจายหากเป็นการเลือกเชิงตรรกศาสตร์ได้

${\displaystyle {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}}$

กฎอุดมคติ

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว

ปริทัศน์ของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃I) กล่าวไว้ว่าถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น จะต้องมีสมาชิกของฟังก์ชันของประพจน์ที่เป็นจริง หรือเขียนได้ในรูป:

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

การตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃E) กล่าวไว้ว่า เมื่อดำเนินการหักล้างแบบฟิตช์ โดยการเติมนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยเข้าไป โดยการเติมตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (ที่ติดตัวแปร) เข้าไปช่วย ซึ่งตัวบ่งปริมาณนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการใด ๆ ของนิพจน์ที่นำมาเติม ถ้าผลได้ภายในการดำเนินการของตัวนิพจน์จากการหักล้างย่อยซึ่งไม่มีตัวบ่งปริมาณแบบบบางตัวนั้น ดังนั้นจะมีสมาชิกหนึ่งตัวซึ่งสามารถหักล้างตัวใดตัวหนึ่งของนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยนั้น โดยเหตุผลของการตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบางตัวคือ:

ถ้ากำหนดว่ามีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งที่ทำให้ฟังก์ชันของประพจน์นั้น ๆ เป็นจริง ถ้าผลใช้แทนกับการกำหนดชื่อเจาะจง (Arbitary Name) ได้ ผลนั้นจะเป็นจริงอย่างแน่นอน ตราบใดที่มันยังไม่มีชื่อ

เขียนได้ โดย:

ให้ชื่อเจาะจงเป็น c แล้ว Q เป็นประพจน์ซึ่งไม่มี c

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

ค่า c จะต้องเป็นจริงทุกตัวบนโดเมนเดียวกันกับ X หรือหากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า:

หาก c ไม่ใช่ชื่อเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะไม่สามารถให้เหตุผลแก่ประโยคนั้น ๆ ได้อีก

เซตว่าง

รูปแบบ ${\displaystyle \exists {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$ จะเป็นเท็จเสมอ หากไม่ขึ้นกับ P(x) เนื่องจากเซตว่างจะไม่มีค่าอะไรกับ x

ให้ x โดด ๆ แสดงกับเงื่อนไข P(x) = "มี x ใด ๆ ในเซตว่าง": ดูเพิ่มที่

จุดเชื่อม

หัวข้อหลัก : (ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด) § จุดเชื่อม)

ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านซ้ายของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเป็นจุดเชื่อมด้านขวา

ดูเพิ่ม

• รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
• ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
• ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)

อ้างอิง

1. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, (1992) Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN  See page 58