รากที่สอง

ใน ทางคณิตศาสตร์ รากที่สอง ของจำนวน x คือจำนวน y ที่ ${\displaystyle y^{2}=x}$ ; กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ จำนวน y ที่ (ผลลัพธ์จากการคูณจำนวนนั้นด้วยตัวมันเอง หรือ ${\displaystyle y\cdot y}$ ) คือ x เช่น 4 และ −4 เป็นรากที่สองของ 16 เนื่องจาก ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$.

ตัวอย่างเช่น √25 = 5 เนื่องจาก 25 = 5 ⋅ 5 หรือ 5² (5 ยกกำลังสอง)

จำนวนจริง ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน x จะมีรากที่สองที่ไม่เป็นลบเฉพาะตัวเรียกว่า รากที่สองหลัก หรือเรียกง่ายๆว่า รากที่สอง (มีคำนำหน้าแน่นอน ดูด้านล่าง) ซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ที่สัญลักษณ์ " ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ " เรียกว่า เครื่องหมายราก หรือ เรดิกซ์ ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงข้อเท็จจริงที่ว่ารากที่สองหลักของ 9 คือ 3 เราเขียนว่า ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ คำศัพท์ (หรือตัวเลข) ที่ต้องพิจารณาถึงรากที่สองเรียกว่า รากที่สอง รากที่สองคือตัวเลขหรือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง ในกรณีนี้คือ 9 สำหรับ x ที่ไม่เป็นลบ รากที่สองหลักสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ เลขยกกำลัง ได้ดังนี้ ${\displaystyle x^{1/2}}$

จำนวนบวก x ทุกจำนวนจะมีรากที่สองสองตัว: ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ (ซึ่งเป็นบวก)และ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ (ซึ่งเป็นลบ) รากทั้งสองสามารถเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นโดยใช้ ± - เป็น ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$ แม้ว่ารากที่สองหลักของจำนวนบวกจะเป็นเพียงหนึ่งในสองรากที่สองของจำนวนนั้น แต่การกำหนด "รากที่ สอง " มักใช้เพื่ออ้างถึงรากที่สองหลัก

รากที่สองของจำนวนลบสามารถอภิปรายได้ในกรอบของ จำนวนเชิงซ้อน โดยทั่วไปแล้ว สามารถพิจารณารากที่สองได้ในบริบทใดๆ ที่มีการกำหนดแนวคิดเรื่อง "กำลังสอง" ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันสเปซและเมทริกซ์สี่เหลี่ยมรวมถึง โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

คุณสมบัติและการใช้งาน

กราฟของฟังก์ชัน f(x) = √x ประกอบด้วย พาราโบลา ครึ่งหนึ่งที่มี ไดเรกทริก ซ์แนวตั้ง

รากที่สองหลัก ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ (โดยปกติเรียกสั้นๆ ว่า "รากที่สอง") เป็น ฟังก์ชัน ที่แมป เซต ของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบลงบนตัวมันเอง ในทาง เรขาคณิต ฟังก์ชันรากที่สองจะแมป พื้นที่ ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับความยาวด้าน

รากที่สองของ x จะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อ x เป็น จำนวนตรรกยะ ที่แสดงเป็นอัตราส่วนของกำลังสองสมบูรณ์สองจำนวนได้ (ดู รากที่สองของ 2 สำหรับการพิสูจน์ว่านี่เป็นจำนวนอตรรกยะและดูอตรรกยะกำลังสอง สำหรับการพิสูจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นกำลังสองทั้งหมด) ฟังก์ชันรากที่สองจะแมปจำนวนตรรกยะเป็น จำนวนพีชคณิต โดยหลังจะเป็น ซูเปอร์เซ็ต ของจำนวนตรรกยะ)

สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด x $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$ (ดู ค่าสัมบูรณ์ )

สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทั้งหมด x และ y $${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ และ $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

ฟังก์ชันรากที่สองจะ ต่อเนื่อง สำหรับ x ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ สำหรับ x ที่เป็นบวกทั้งหมด ถ้า f หมายถึงฟังก์ชันรากที่สอง ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะกำหนดโดย: $${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

ของ ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ เกี่ยวกับ x = 0 บรรจบกันสำหรับ |x| ≤ 1 และกำหนดโดย

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

รากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบใช้ในการนิยามของ (และ ระยะทาง ) เช่นเดียวกับในการสรุปทั่วไป เช่น เป็นการกำหนดแนวคิดสำคัญของ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ที่ใช้ใน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และ สถิติ มีการใช้อย่างสำคัญในสูตรสำหรับการแก้ สมการกำลังสอง และวงแหวนของ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากรากที่สอง มีความสำคัญในพีชคณิตและมีการใช้ในเรขาคณิต รากที่สองมักปรากฏในสูตรคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นเดียวกับในกฎ ทางฟิสิกส์ หลายๆ ข้อ

อ้างอิง

• (2007). "Chinese Mathematics I". ใน Katz, Victor J. (บ.ก.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN .
• ; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN .
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN .
• (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN .
• (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book.....S, ISBN .

1. "Squares and Square Roots". www.mathsisfun.com. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.
2. Weisstein, Eric W. "Square Root". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.