ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous function) คือฟังก์ชันที่ถ้ามีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

ตัวอย่างเช่น ให้ฟังก์ชัน ${\displaystyle h(t)}$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา ${\displaystyle t}$ ไปยังความสูงของต้นไม้ที่เวลานั้น เราได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน ${\displaystyle T(x)}$ ที่ส่งความสูง ${\displaystyle x}$ ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มีความสูง ${\displaystyle x}$ เหนือจุดพิกัดทางภูมิศาสตร์จุดหนึ่ง ในทางกลับกัน ถ้า ${\displaystyle M(t)}$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา ${\displaystyle t}$ ไปยังจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีธนาคาร เราได้ว่า ${\displaystyle M}$ ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงแบบก้าวกระโดดเมื่อมีการฝากเงินหรือถอนเงินเข้าหรือออกจากบัญชี

ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง อนึ่ง ในโดยเฉพาะใน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง

สมมติว่า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งช่วงช่วงหนึ่งของจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ดังเช่นฟังก์ชัน ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle T}$, และ ${\displaystyle M}$ ข้างต้น ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนแทนด้วยกราฟของฟังก์ชันบน เราอาจกล่าวโดยหยาบๆ ว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นที่ไม่มีจุดแหว่งหรือการก้าวกระโดด กล่าวคือ เราสามารถเขียนกราฟได้โดยไม่ต้องยกปากกา

ถ้าจะกล่าวให้รัดกุมตามหลักคณิตศาสตร์แล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่องที่จุด ${\displaystyle c}$ ถ้าเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง

• ฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ มีนิยามที่จุด ${\displaystyle c}$
• ให้ ${\displaystyle c}$ เป็นของโดเมนของ ${\displaystyle f}$ แล้ว ลิมิตของ ${\displaystyle f(x)}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ เข้าใกล้ ${\displaystyle c}$ มีค่าเท่ากับ ${\displaystyle f(c)}$

เรากล่าวว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ หรือเรียกย่อๆ ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน

นิยามเอปไซลอน-เดลตา

ตัวอย่าง

• ทุก ๆ ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
• ทุก ๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (บนโดเมนที่หาค่าฟังก์ชันได้)
• ทุก ๆ ฟังก์ชันขั้นบันได เช่น ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น 1 เมื่อ x > 0 นอกนั้นฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 1, เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
• (หรือที่เรียกว่า) เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิอิงระยะทาง

ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถขยายให้กว้างขึ้น เพื่อให้ครอบคลุมฟังก์ชันระหว่าง ได้ดังนี้:

จะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเซตเปิด ${\displaystyle V\subseteq Y}$ แล้ว

${\displaystyle f^{-1}(V)=\left\{x\in X\colon f(x)\in V\right\}}$

จะเป็นเซตเปิดด้วย

อนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าใน นิยามข้างต้นและเหมือนกันทุกประการ. จากนิยามนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ทราบแก่นที่แท้จริงของความต่อเนื่องคือ การนิยามในระบบนั่นเอง ไม่ใช่ดังที่เคยเข้าใจมา