สมการกำลังสอง

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

ตัวอย่างกราฟของสมการกำลังสอง

ax² + bx + c = 0

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

สูตรกำลังสอง

สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมี 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

${\displaystyle x_{+}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};\quad x_{-}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

ดิสคริมิแนนต์ในกรณีต่างๆ จุดที่ตัดแกน x คือรากของสมการในจำนวนจริง (ไม่เกี่ยวกับการหงายหรือคว่ำของกราฟ)

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมาย

${\displaystyle \Delta }$

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ

  ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\!}$

• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ

  ${\displaystyle x={\frac {-b+i{\sqrt {|b^{2}-4ac|}}}{2a}};\ x={\frac {-b-i{\sqrt {|b^{2}-4ac|}}}{2a}}}$

เมื่อ ${\displaystyle i}$ คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย ${\displaystyle i^{2}=-1}$

การแยกตัวประกอบ

พจน์ ${\displaystyle x-r\!}$ จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\!}$ ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\!}$

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)}$

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\!}$

ดูเพิ่ม

• สมการเชิงเส้น
• สมการกำลังสาม
• สมการกำลังสี่
• พาราโบลา

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Quadratic equations" จากแมทเวิลด์.
• L. Euler's Elements of Algebra 2011-04-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Quadratic equation solver, plus solvers for cubic and quartic equations
• 101 uses of a quadratic equation part I 2007-11-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Part II 2007-10-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Quadratic graphical explorer Interactive applet. Sliders for a,b,c show effects on a graph.