Fluid dynamics

กลศาสตร์ของไหล(อังกฤษ: Fluid dynamics) เป็นสาขาวิชาการย่อยของกลศาสตร์ของไหล ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล ซึ่งหมายรวมถึงของเหลวและแก๊ส โดยพลศาสตร์ของไหลยังแบ่งแยกย่อยออกเป็นหลายสาขาวิชา เช่น อากาศพลศาสตร์ ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของอากาศ และที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลว เราใช้พลศาสตร์ของไหลในหลายวิธี เช่นในการคำนวณแรงและโมเมนต์บนอากาศยาน ในการหาของปิโตรเลียมผ่านท่อ คาดคะเนของ ทำความเข้าใจเนบิวลาและสสารระหว่างดาว ตลอดจนงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์

กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง

สมการนาเวียร์-สโตกส์ กฎ กฎการอนุรักษ์พลังงาน ของแข็ง · ความเค้น · · · · · · · · กฎของฮุก · กลศาสตร์ของไหล ของไหล · สถิตยศาสตร์ของไหล พลศาสตร์ของไหล · ความหนืด · แรงตึงผิว นักวิทยาศาสตร์ ไอแซก นิวตัน · · · · โรเบิร์ต ฮุค · ดานีเอล แบร์นุลลี

กล่องนี้:

โมเดลของของไหลในอุดมคติ (Ideal Fluid Model)

ของไหลใน คือ ของไหลที่มีแบบที่ทำให้วิเคราะห์ง่าย แต่เป็นของไหลที่หายากในความเป็นจริงจึงเป็นของไหลในโดยการประมาณเท่านั้น ของไหลในอุดมคติมีต่อไปนี้คือ

1. เป็นของไหลที่ใช้ความดันกดให้ปริมาตรลดลงไม่ได้ ทั้งนี้หมายความว่าความหนาแน่นของของไหลไม่ขึ้นอยู่กับความดัน และของเหลวแทบทั้งหมดมีความหนาแน่นที่ไม่เปลี่ยนค่าไปตามความดัน

1. การไหลเป็นไปอย่างสม่ำเสมอ หมายความว่าความเร็วของของไหลที่จุดใดๆภายในของไหลมีค่าคงที่ ณ จุดนั้นๆแต่ถ้าเราเปลี่ยนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดภายในของไหล ความเร็วอาจเปลี่ยนไปได้ แต่ความเร็วที่จุดใดๆก็ตามจะต้องมีค่าคงที่สม่ำเสมอ

1. การไหลไม่หมุนวน หมายความว่าของไหลไม่มี

1. ของไหลไม่มีความหนืดระหว่างชั้นของไหลที่ติดกัน

สมการต่อเนื่อง Equation of continuity

การเคลื่อนที่ของของไหลด้วยวิธีการเขียนเวกเตอร์ความเร็วของของไหลที่แต่ละจุด มีความยาวของเวกเตอร์แทนอัตราเร็วของการไหลและทิศทางของเวกเตอร์แทนทิศทาง หรืออีกวิธีหนึ่งคือการเขียนที่เราเรียกว่า ซึ่งคือเส้นสัมผัสกับทิศทางของความเร็ว ระยะระหว่างแต่ละเส้นในสายกระแสเป็นตัวระบุความมากน้อยของของการไหล ถ้าช่องไฟแคบแสดงว่าอัตราเร็วของการไหลมีค่าสุง และช่องไฟระหว่างเส้นห่างกันมากแสดงว่ามีอัตราการไหลต่ำ สำหรับการไหลแบบสม่ำเสมอ เส้นในสายจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมการต่อเนื่องนี้เป็นผลสืบเนื่องของอนุรักษ์มวล สำหรับการไหลที่มีค่าความหนาแน่นคงที่ และไม่เปลี่ยนแปลงไปตามค่าความดัน

${\displaystyle \rho _{1}\,=\rho _{2}\,}$

สมการทอนลงมาเป็น

${\displaystyle V_{1}A_{1}=V_{2}A_{2}}$

${\displaystyle VA}$ คงที่

สมการแบร์นูลี Bernoulli’s Equation

การใช้หลักการของการอนุรักษ์มวลวิเคราะห์การไหลของของไหลในท่อทำให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วและพื้นที่หน้าตัด และเราได้ความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสมการต่อเนื่อง ในหัวข้อต่อไปเราจะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์การไหลของของไหล เพื่อที่จะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานคือ

${\displaystyle W=\Delta K\,+\Delta U\,}$

ซึ่งมีความหมายว่าการถ่ายโอนพลังงานคิดได้จากงาน w ซึ่งมีค่าเท่ากับผลบวกของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของของไหลที่ไหลในท่อ

ของไหลเคลื่อนที่ไปตามท่อตามแนวราบที่ปลายล่างและปลายบน

ตามรูปข้างบนแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหลที่อยู่ระหว่าพื้นที่หน้าตัดในระนาบ x และ y มีสองแรงคือ แรงF₁ จากของไหลที่อยุ่ทางด้านซ้ายมือ และ แรง F₂ จากของไหลที่อยุ่ทางด้านขวามือ

${\displaystyle F_{1}={\frac {\mathrm {P} _{1}\,}{A_{1}}}}$

เมื่อ ρ₁ เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A₁ ทางด้านซ้ายมือ และ

${\displaystyle F_{2}={\frac {\mathrm {P} _{2}\,}{A_{2}}}}$

เมื่อ ρ₂ เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A₂ จากทางด้านขวามือ แรงภายนอกที่ว่านี้ทำให้ของไหลซึ่งอยุ่ระหว่างพื้นที่หน้าตัดที่ x และ y ย้ายไปอยู่ระหว่างพื้นที่ x’ และ y’ ตามลำดับ ภายในช่วงเวลา∆t

แรง F₁ดันของไหลที่พื้นที่ A₁ให้ปลายล่างของไหลเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้เป็นระยะสูงสุด ∆L₁ ดังนั้น งานหรือพลังงานที่ถ่ายโอนให้ของไหลในช่วงที่พิจารณาเท่ากับ

${\displaystyle W_{1}=F_{1}\Delta L_{1}\,=\mathrm {P} _{1}\,A_{1}\Delta L_{1}\,}$

ภายใน ∆t เดียวกัน ของไหลในท่อถูกดันทำให้ส่วนปลายด้านบนเคลื่อนที่ ตามแนวระดับได้เป็นระยะทางสุงสุด ∆L₂ ดังนั้นพลังงานที่มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle W_{2}=F_{2}\Delta L_{2}\,=\mathrm {P} _{2}\,A_{2}\Delta L_{2}\,}$

แต่เนื่องจาก F₂ มีทิศทางตรงกันข้ามกับ∆L₂ งาน W₂จึงมีเครื่องหมายลบ หมายความว่าของไหลในช่วงที่เราพิจารณามีการสูญเสียพลังงาน

ดังนั้นของไหลในช่วงที่เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงาน W มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle W=W_{1}-W_{2}}$

${\displaystyle W=\mathrm {P} _{1}\,A_{1}\Delta L_{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,A_{2}\Delta L_{2}\,}$

เนื่องจากความหนาแน่นไม่ได้เปลี่ยนไปเนื่องจากความดัน ดังนั้น

${\displaystyle A_{1}\Delta L_{1}\,=A_{2}\Delta L_{2}=\Delta V\,}$

เมื่อ ∆V เป็นปริมาตรของของไหลระหว่างระนาบ X และ Y’ ดังนั้น

${\displaystyle W=(\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)\Delta V}$

ถ้า ∆m เป็นมวลของปริมาตร ∆V

V₂ เป็นค่าความเร็วของมวล ∆m ที่เคลื่อนที่ออกจากท่อผ่านพื้นA₂

V₁ เป็นค่าความเร็วของมวล∆m ที่เคลื่อนที่ผ่านออกจากท่อผ่านพื้นA₁

ดังนั้น พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของของไหลในท่อคือ ∆k

และ

${\displaystyle \Delta K\,=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{2}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{1}^{2}}$

และ พลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป

${\displaystyle \Delta U\,=(\Delta m)gh_{2}-(\Delta m\,)gh_{1}}$

ในเมื่อ h₁และ h₂ เป็นความสุงสุดของของพื้นที่ A₂และA₁ วัดจากระดับพื้นตามแนวราบพลังงานที่ถ่ายโอนนี้มีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวม (พลังงานจลน์+พลังงานศักย์) เราสามารถจัดรูปได้ใหม่เป็น

${\displaystyle (\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)\Delta V\,=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{2}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{1}^{2}+(\Delta mgh_{2}\,-\Delta mgh_{1}\,)}$

${\displaystyle (\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)=\left({\frac {\Delta m\,}{2\Delta V\,}}\right)(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+\left({\frac {\Delta m\,}{\Delta V\,}}\right)g(h_{1}-h_{2})}$

${\displaystyle \mathrm {P} _{1}\,+\left({\frac {1}{2}}\right)\rho V_{1}^{2}+\rho gh_{1}\,=\mathrm {P} _{2}\,+\left({\frac {1}{2}}\right)\rho V_{2}^{2}+\rho gh_{2}\,}$

สมการมีชื่อเรียกว่า เพื่อเป็นเกียรติแก่ ชาวสวิสผู้ก่อตั้งสมการนี้เป็นคนแรกซึ่งช่วยให้เราเข้าใจ และหลักการบินของเครื่องบินแบบต่างๆตลอดไปจนถึงการบินของนก

การบินและแรงยก Flight and Lift

เครื่องบินทั่วๆไปรวมทั่งเครื่องบินตลอดไปจนถึงนก อาศัยแรงดันบรรยากาศที่ได้มาจตาหลักการของ หรือตามหลักการของปรากฏการณ์แบร์นูลี นอกจากเครื่องบินและนก เรือต่างๆ เช่น หรือแม้แต่เรือใบหาปลายังได้อาศัยยังได้อาศัยปรากฏการณ์แบร์นูลีที่เป็นการทำกิริยาระหว่างเรือกับน้ำ อีกทั้งวัตถุ เช่น ลูกฟุตบอลที่สามารถโค้ง หรือ ไซ้โค้ง ได้อย่างน่าประหลาด สามรถอธิบายตามสมการแบร์นูลีได้ว่า การที่ปีกของเครื่องบินถูกออกแบบให้พื้นที่ผิวด้านบนเป็นผิวโค้งออก ทำให้กระแสอากาศเหนือปีกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ในรูปแสดงสายกระแสด้านบนอยู่ชิดกันมากกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ตามหลักของสมการแบร์นูลีความดันใต้ปีกมีค่ามากว่าทำให้เกิดแรงยกที่ปีกและเครื่องบินทั้งลำลอยตัวอยู่ในอากาศได้ทั้งนี้สอดคล้องกับหลักการณ์ และทฤษฏีกฎข้อสามของนิวตัน กล่าวคือ จากการทำกิริยาระหว่างปีกเครื่องบินกับอากาศ อากาศผลักปีนขึ้นด้านบนยกเครื่องบินให้ลอยอยู่ในอากาศได้

กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic)

1.คุณสมบัติของของไหล ( Fluid property )

กลศาสตร์ของไหล เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของของเหลวและก๊าซสาขาวิชานี้สามารถสามารถแบ่งออกได้เป็น

- สถิตศาสตร์ของไหล ( Fluid Statics ) คือของไหลที่ไหลอยู่กับที่ ได้แก่ การศึกษาความดันในของไหล หลักของพาสคาล หลักของ ความดึงผิว

- พลศาสตร์ของไหล ( Fluid Dynamics ) คือของไหลที่มีการเคลื่อนที่ ได้แก่ การศึกษาสมการต่อเนื่อง สมการของแบร์นูลลี ความหนืด การศึกษาทางด้านนี้สามารถประยุกต์ใช้ในการออกแบบ และแก้ไขปัญหาต่างๆ เช่น การไหลของน้ำดีและน้ำเสียการไหลของน้ำในระบบท่อดับเพลิง การระบายอากาศ การดูดควันหรือสารเคมีออกจากพื้นที่ทำงาน เป็นต้น

2.ความหนาแน่น (Density )

ความหนาแน่น ( Density ) ของไหลนิยมใช้สัญลักษณ์ ρ หมายถึงมวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร

${\displaystyle \rho \,={\frac {m}{V}}}$

เมื่อ

ρ คือความหนาแน่นของของไหล

m มวลของของไหลหน่วยเป็น kg

v เป็นปริมาตรของของไหลหน่วยเป็น m³

3.ค่าปริมาตรจำเพาะ

ค่าปริมาตรจำเพาะ ( Specific volume, V_s ) คือค่าปริมาตรต่อหน่วยมวล ดังนั้นค่านี้จึงเทากับส่วนกลับของความหนาแน่น

${\displaystyle V_{s}={\frac {1}{\rho \,}}}$

เมื่อ

V_s= ปริมาตรจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น m³/kg

ρ= ความหนาแน่นของของไหลหน่วยเป็น kg/m³

4. ค่าน้ำหนักจำเพาะ ค่าน้ำหนักจำเพาะ (Specific weight ) นิยามโดยใช้สัญลักษณ์ γ หมายถึง น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตร

${\displaystyle \gamma \,=\rho \,g}$

เมื่อ

γ= น้ำหนักจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น N/m³

g= ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกมีค่าเท่ากับ 9.81 m/s²

5. ค่าความถ่วงจำเพาะ ค่าความถ่วงจำเพาะ (Specific Gravity, SG ) หมายถึงอัตราส่วนระหว่างระหว่างความหนาแน่นของของไหลต่อความหนาแน่นของน้ำ ณ อุณหภูมิเดียวกัน และเนื่องจากเป็นอัตราส่วนค่าของ GS จึงไม่ขึ้นกับระบบหน่วยที่ใช้

${\displaystyle SG={\frac {\rho \,}{\rho _{w}\,}}}$

เมื่อ

SG= ค่าความถ่วงจำเพาะ ไม่มีหน่วย

ρ_w=ค่าความหนาแน่นของน้ำ หน่วยเป็น kg/m³ =1,000 kg/m³

6.ความดันและกฎของพาสคาล ความดัน ( Pressure ,P ) เมื่อของไหลถูกในภาชนะ ของไหลจะมีแรงกระทำในแนวตั้งฉากกับภาชนะ โดยอัตราส่วนระหว่างแรงดัน ( force of pressure, F) และพื้นที่ตั้งฉาก (normal area, A) กับแรงดัน

${\displaystyle P={\frac {F}{A}}}$

หน่วยของความดันในระบบเอสไอ คือ N/m² แต่อาจจะมีหน่วยอื่นๆได้

6.1 ความดันในของไหลที่อยู่นิ่ง

ของไหลอยู่นิ่งจะมีคุณสมบัติ 4 ข้อที่เราต้องทำความเข้าใจ

ก. แรงดันจะตั้งฉากกับ ถ้าแรงดันไม่ตั้งฉากหรือทำมุมใดๆ กับพื้นที่ผิวของก้อนของไหล ให้แยกองค์ประกอบของแรงในแนวตั้ง และขนานกับพื้นที่ดังรูป 9.1 ในกรณีแรงที่ตั้งฉากกับพื้นที่ของของเหลวจะทำให้เกิดและเกิดการหมุน อย่างไรก็ตามเนื่องจากของไหลอยู่นิ่งแรงลัพธ์ที่กระทำที่ผิวจะมีค่าเป็นศูนย์

ทิศทางของแรงที่กระทำต่อพื้นที่ผิวของวัตถุ

ข. แรงดันต่อหน่วยพื้นที่มีค่าเท่ากันทุกๆจุดบนผิวนั้น พิจารณาก้อนของเหลวดังรูปที่ 9.2 จากกฎข้อสองของนิวตัน

แรงดันที่กระทำต่อพื้นผิววัตถุ

ค. ความดันในของไหลจะขึ้นอยู่กับความลึกเพียงอย่างเดียว

6.2 ความดันของเหลวขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว เมื่อเราเจาะรูภาชนะที่บรรจุของเหลวที่ระดับต่างๆ รอบๆภาชนะ จะเห็นว่ามีของเหลวพุ่งออกจากรูที่ระดับต่างๆ ได้ไกลไม่เท่ากัน ดังรูปที่ 9.4

การพุ่งของของเหลวออกจากภาชนะ

พิจารณาของเหลวที่มีความหนาแน่น ρ อยู่นิ่งในภาชนะปิด โดย สังเกตส่วนของเหลวรูปทรงกระบอกที่มีพื้นผิวด้านบนและล่างมีค่า A หนา dy อยู่ลึกจากผิวของเหลว y = h ดังรูปที่ 9.5 ที่ผิวของของเหลวมีความดันบรรยากาศ Pa ถ้าให้ความดันที่พื้นที่ผิวด้านบนของส่วนของเหลวนี้เป็น P กดลง PA ความดันที่พื้นที่ผิวด้านล่างของส่วนของเหลวนี้เป็น P+dP จะเกิดแรงดันขึ้น ( P+dP)A ส่วนแรงดันลัพธ์ด้านข้างมีค่าเป็นศูนย์เพราะมีขนาดเท่ากับทิศทางตรงข้าม และน้ำหนักของส่วนของเหลวนี้มีค่า

${\displaystyle mg=\rho Agdy\,}$ เมื่อของเหลวอยู่ในสภาพสมดุลจะได้ว่า

ของเหลวออกแรงดันต่อก้นภาชนะ

${\displaystyle \sum \,F=0}$

${\displaystyle P.A+{\rho Agdy\,}-(P.A+dP).A=0}$

${\displaystyle P.A+{\rho Agdy\,}-P.A-AdP=0}$

∴${\displaystyle dP=P.A+{\rho gdy\,}}$

${\displaystyle \int _{P}a^{h}(dP)=\int _{0}^{h}(\rho gdy\,)}$

${\displaystyle P-Pa=\rho g\,\int _{0}^{h}}$

${\displaystyle P=Pa+\rho gh\,}$

เมื่อ Pa =ความดันบรรยากาศ (N/m² )

ρ =ความหนาแน่นของเหลว

g=ความเร่งของแรงโน้มถ่วง (m/s² )

h=ของของเหลว (m)

P=ความดัน ( pressure ) ที่ความลึก h (N/m² ) นั้นคือ ที่ระดับความลึกเดียวกันในของเหลวชนิดเดียวกัน จะมีความดันเท่ากัน กำหนดให้ความดันเนื่องจากน้ำหนักของของเหลว เรียกว่า (Gauge pressure:P_w) เป็นความดันเนื่องจากของเหลว ขึ้นกับและความหนาแน่นของของเหลว มีค่าเป็น

${\displaystyle P_{w}=Pa+\rho gh\,}$

เมื่อมีความดันเนื่องจากของเหลว จะทำให้เกิดแรงดันทุกทิศทุกทางและตั้งฉากกับผนังภาชนะหรือที่สัมผัสกับของเหลวเสมอ และระดับที่ระดับความลึกเท่ากันในของเหลวชนิดเดียวกันที่อยู่นิ่งและอุณหภูมิคงที่ จะมีความดันเท่ากันเสมอ และของเหลวในภาชนะเดียวกันที่เดียวกันย่อมมีความดันในของเหลวมีค่าเท่ากัน

6.3 หลักการและเครื่องมือวัดความดัน ความดันเป็นคุณสมบัติที่สำคัญมากอันหนึ่งของของไหล จึงมีอุปกรณ์อย่างถูกออกแบบและพัฒนามาเพื่อทำหน้าที่ในการตรวจวัดความดัน เครื่องมือวัดความดันอย่างง่ายๆ ซึ่งใช้ปรอทวัดความดันบรรยากาศ (Atmospheric pressure) เรียกว่า บารอมิเตอร์ (barometer) ดังแสดงในรูปที่ 9.6 อุปกรณ์ดังกล่าวจะมีปลายปิดข้างหนึ่ง เติมปรอทให้เต็มแล้วกลับหลอดให้ด้านปลายเปิดจุ่มลงในอ่างที่มีปรอท ปรอทจะไหลลงไปจากหลอดส่วนหนึ่ง แต่จะมีอีกส่วนหนึ่งยังคงค้างอยู่ โดยความดัน P_1ที่ด้านบนของหลอดจะมีค่าประมาณ 0 และเราจะได้ว่าความดันที่จุด A เนื่องจากความสูงของปรอทในหลอด จะเท่ากับความดันที่จุด B ซึ่งเป็นความดันบรรยากาศ ดังสมการ

${\displaystyle P_{1}{atm}=\rho gh\,}$

บารอมิเตอร์

มานอมิเตอร์

เมื่อ h คือความสูงของปรอทในหลอด และเนื่องจากเราสามารถคำนวณความดันบรรยากาศได้จากความสูงของปรอทในบารอมิเตอร์ ดังนั้นในบางครั้งจึงมีการใช้หน่วยของความดันเป็น มิลิเมตรปรอท หรือบางครั้งเรียกว่า ความดันบรรยากาศที่ระดับน้ำทะเลจะมีค่าประมาณ 1×10⁵ N/m² หรือ 760 มิลลิเมตรปรอท หรือ 760 ทอร์ เครื่องมือวัดความดันอีกชนิดหนึ่งเรียกว่า มานอมิเตอร์ (Manometer) ซึ่งเป็นหลอดรูปตัว U ที่มีของเหลวบรรจุอยู่ (โดยมากจะเป็นปรอท) ปลายด้านหนึ่งต่อเข้ากับภาชนะซึ่งมีความดัน P₂ ส่วนปลายอีกข้างหนึ่งเปิดให้อากาศเข้า ซึ่งมีความดันเป็น

P₁= P_atm ดังรูป 9.7

ถ้า P₂>P₁ จะทำให้ของเหลวด้านปลายเปิดสูงกว่าด้านปลายปิดถ้าจุด B เป็นจุดบนผิวของของเหลวที่อยู่ด้านปลายปิดและ จุด A เป็นจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกับจุด B

(ดังนั้น P_A=P_B) เราจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

P_A=P_B

${\displaystyle P_{1}+\rho gh\,=P_{2}}$

${\displaystyle P_{atm}+\rho gh\,=P_{2}}$

${\displaystyle P_{2}-P_{atm}=\rho gh\,}$

ความสูง h จะมีค่าเป็นสัดส่วนกับ ซึ่งค่า นี้เราเรียกว่า ความดันเกจ (Gauge Pressure ) ส่วนค่า P₂ซึ่งเป็นค่าความดันเกจ บวกกับความดันบรรยากาศ เราเรียกว่า ความดันสัมบูรณ์ ( absolute pressure )

หลักการของปาสคาล ( Pascal’principle)

“ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความดันเกิดขึ้นที่ส่วนหนึ่งส่วนใดของไหล ความดันที่เปลี่ยนแปลงนั้นจะไปยังของไหลโดยรอบทั่วๆ ทุกส่วนของของไหลด้วยค่าที่เท่ากันตลอด” จากหลักการนี้ทำให้เราทราบว่า เมื่อเราเพิ่มความดันที่จุดไหนของภาชนะปิดก็ตาม ของเหลวทุกจุดภายในภาชนะปิดนี้ก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นตามไปด้วย ดังแสดงตัวอย่างในรูปที่ 9.6 ถ้าเราออกแรง F₁ กระทำต่อพื้นที่ A₁ ทำให้เกิดความดัน P₁ ทุกๆจุดในภาชนะปิดก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นอีก P₁ ถ้าเช่นกัน และถ้า P₂ เป็นความดันที่เกิดขึ้นกับพื้นที่ A₂ ซึ่งอยู่ในระดับความสูงเดียวกันกับ A₁

ดังนั้น P₁ = P₂

และ

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{A_{1}}}={\frac {F_{2}}{A_{2}}}}$

และ

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {A_{1}}{A_{2}}}}$

การกระจายความดันในของเหลวที่อยู่ในภาชนะปิด

ระบบไฮโดรลิค

จากหลักของปาสคาลทำให้เรารู้ว่า ถ้า A₁ มีขนาดเล็กกว่า A₂ เมื่อเราออกแรก F₁ จะทำให้เกิดแรงดัน F₂ ที่มีขนาดมากกว่า F₁ เราใช้หลักการนี้สร้างเครื่องกลผ่อนแรงที่เรียกว่า ไฮโดรลิค (Hydraulic ) ดังแสดงในรูปที่ 9.9 ความดันภายนอกที่กระทำต่อของไหลซึ่งกักตัวอยู่ในภาชนะจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นที่จุดทุกจุดในของไหลด้วยจำนวนเท่ากับความดันที่ใช้นั้น ข้อสรุปนี้อาศัยพื้นฐานบนข้อเท็จจริงที่ว่า ของเหลวอัดตัวไม่ลงดังนั้นแรงใดๆจะถ่ายทอดโดยตรงไปยังผิวภาชนะทุกส่วนกฎข้างต้นนี้รวบรวมขึ้นในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดย พาสคาลซึ่งการค้นพบนี้ทำให้พาสคาลร่ำรวยขึ้น เนื่องจากพาสคาลท้าพนันกับชาวพื้นเมืองฝรั่งเศส ว่าเขาสามารถระเบิดถังเหล้าองุ่นที่แข็งแรงที่สุดด้วยการเทเหล้าองุ่นลงไปเพียงถ้วยเดียว ไม่มีใครเชื่อว่าเขาจะทำได้ ดั้งนั้นการต่อรองจึงสูงมาก ปรากฏว่าเขาสามารถทำถึงเหล้าองุ่นให้แตกได้จริงด้วยการเทเหล้าองุ่นเติมเข้าไปในหลอดเล็กและยาวที่สอดไว้กับถังเหล้าในแนวดิ่ง เพราะว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้นี้ทราบดีว่า ความสูง h ของเหล้าในหลอดจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นจนถึงแตกได้ ประโยชน์สมัยใหม่ของหลักของพาสคาล คือ เบรกไฮดรอลิกและเครื่องอัดไฮดรอลิก เป็นต้น รูปที่ 9.10 แสดงเครื่องอัดไฮดรอลิกซึ่งประกอบด้วยกระบอกสูบ 2 อัน ( พื้นที่ภาคตัดขวาง A₁ และ A₂ ) บรรจุของเหลวไว้ ออกแรง F₁ น้อยๆจะได้แรก F₂ ออกมาขนาดมาก

${\displaystyle F_{2}=({\frac {A_{2}}{A_{1}}})F_{1}}$

นี่คือหลักพื้นฐานของการทำงานของแม่แรงไฮดรอลิกที่ใช้รถยนต์ตามสถานีบริการน้ำมัน ซึ่งในที่นี้ความดัน

${\displaystyle P_{1}={\frac {F_{1}}{A_{1}}}}$

ได้จากการอัดอากาศ เบรกไฮดรอลิกของรถยนต์ก็ได้หลักการเดียวกัน

แรงลอยตัวและหลักของอาร์คิมิดิส(Buoyant force and Archimedes’ principle)

สมบัติอย่างหนึ่งของของไหล คือ เมื่อวัตถุจมในของไหล น้ำหนักของวัตถุจะลดลง และบางครั้งวัตถุสามรถลอยบนของไหลได้ นั้นแสดงว่ามีแรงที่ของไหลกระทำต่อวัตถุในทิศทางที่ตรงข้ามกับทิศของน้ำหนักของวัตถุซี่งปรากฏการณ์ดังกล่าวจะสังเกตเห็นได้ชัดในกรณีที่ของไหลกลายเป็นของเหลว และอาร์คิมิดิส (Archimedes) เป็นผู้พบสมบัตินี้ของของไหล และแถลงออกมาเป็น หลักของอาร์คิมิดิส ซึ่งกล่าวว่า “เมื่อวัตถุจมหรือหลอยอยู่ในของเหลว จะถูกแรงเนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุ มีทิศทางตรงข้ามกับน้ำหนัก ขนาดเท่ากับน้ำหนักของเหลวที่มีปริมาตรเท่าส่วนที่วัตถุจมในของเหลว หรือเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ” เรียกแรงนี้ว่า แรงลอยตัว (Buoyant force: F_B) ซึ่งแรงนี้เป็นแรงที่เกิดจากแรงดันลัพธ์เนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุที่อยู่ในของเหลว พิจารณาวัตถุทรงกระบอกที่มีพื้นที่หน้าตัด A สูง h จมอยู่ในของเหลวที่มี p พื้นที่หน้าตัดด้านบนและด้านล่างอยู่ลึกจากผิวของเหลวเป็นระยะ h₁ และ h₂ ตามลำดับ (จากรูปตัวอย่าง) แรงดันที่ผนังด้านข้าง F₃ และ F₄ มีขนาดเท่ากันตามทิศทางตรงข้าม แรงดันกดลงบนที่ผิวด้านบน

${\displaystyle F_{1}=\rho \,g(h_{1})A}$

แรงดันพิ้นที่ผิวด้านล่าง

${\displaystyle F_{2}=\rho \,g(h_{2})A}$

ซึ่งมีค่ามากกว่าแรงดันด้านบน (F₁) ทั้งนี้เนื่องมาจากความดันที่มีค่ามากกว่า จะได้ว่า แรงลัพธ์มีค่าเป็น

แรงที่กระทำต่อวัตถุที่จมอยู่ในของเหลว

จากรูป

${\displaystyle \sum F_{y}\,=F_{2}-F_{1}}$ มีทิศขึ้น

${\displaystyle \rho gA\,(h_{2}-h_{1})=\rho gAh\,}$

${\displaystyle \rho gV_{jom}\,=F_{2}-F_{1}}$

เท่ากับ

${\displaystyle mg}$

เมื่อ

${\displaystyle m=\rho V_{jom}\,}$

เมื่อmg = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ

จากFB = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ

V่_jom = ปริมาตรของวัตถุที่จมในของเหลว(m³)

นั่นคือ

${\displaystyle F_{B}=\rho \,gV}$

ความตึงผิว(Surface Tention)

ในธรรมชาติเราเคยเห็นแมลงยืนหรือเดินบนผิวน้ำได้ บางครั้งเราสามารถทำให้เข็มเย็บผ้า หรือใบมีดโกนที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ ลอยอยู่บนน้ำได้เช่นกัน และถ้าสังเกตหยดของเหลวเล็กๆที่มักมีลักษณะเป็นทรงกลมหรือหยดน้ำค้างบนใบไม้ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม แม้แต่ฟองสบู่ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม การที่เป็นเช่นนี้เป็นเพราะว่าผิวของของเหลวจะมีระหว่างโมเลกุลของของเหลวด้วยกัน พยายามยึดผิวของของเหลวให้ตึง (ให้มีพื้นที่น้อยที่สุด) เรียกว่า “แรงตึงผิวของของเหลว”

แรงตึงผิวของของเหลว(Surface force :Fγ)

เป็นแรงที่ผิวของของเหลวพยายามยึดผิวหน้าไม่ให้ขาดออกจากกัน มีทิศขนานกับผิวของของเหลว และตั้งฉากกับเส้นขอบภาชนะหรือวัตถุที่ของเหลวสัมผัส ดังรูป

ทิศทางของแรงตึงผิว

แรงตึงผิวเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลชนิดเดียวกันเรียกว่า แรงเชื่อมติด (Cohesive force, โมเลกุลของเหลวกับของเหลว) แต่ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลต่างชนิดกันเรียกว่า แรงยึดติด (adhesion > cohesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวน้ำจะเว้าลงไป ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางน้อยกว่า 90^o เมื่อแรงยึดติดมากกว่าแรงเกาะติด เช่น ผิวของปรอท (cohesion > adhesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวปรอทจะโค้งนูนขึ้น ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางมากกว่า 90^o แรงตึงผิวของของเหลวจะมีทิศกับผิวของของเหลวและตั้งฉากกับเส้นขอบที่ของของเหลวสัมผัส ดังแสดงในรูป ความตึงผิว เป็นสมบัติของของของเหลวที่พยายามยึดผิวหน้าของเหลวให้มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างแรงตึงผิว ความยาวเส้นขอบของรอยฉีกที่ผิวซึ่งสัมผัสกับอากาศ (1) ดังรูปตัวอย่าง

โดยมี γ เป็นความตึงผิว F คือแรงดึงผิว 1 คือ ความยาวเส้นขอบ จากรูปภาพตัวอย่าง เมื่อใช้แรง F ดึงขอบลวดซึ่งยาว 1 ซึ่งเลื่อนได้ ทำให้ผิวของเหลวที่เป็นแผ่นฟิล์มฉีกขาด เนื่องจากผิวที่สัมผัสอากาศมีสองหน้า ดังนั้น รอยฉีกยาวรวม 21 ดังนั้นจะได้ความตึงผิวเป็น

${\displaystyle \gamma \,={\frac {F}{1}}}$

ความตึงผิวจะขึ้นอยู่กับชนิดและอุณหภูมิของของเหลว ดังภาพ สำหรับความตึงผิวของของเหลวชนิดหนึ่งจะมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อมีสารอื่นเจือปน เช่น น้ำเกลือ น้ำฟองสบู่ จะมีค่าความตึงผิวน้อยกว่าน้ำ การซึมตามรูเล็ก (Capillarity) เป็นปรากฏการณ์เนื่องจากความตึงผิวของของเหลว เมื่อจุ่มหลอดเล็กหรือท่อเล็ก (Capillarity) ลงในของเหลวทำให้ของเหลวในหลอดมีระดับสูงกว่าหรือต่ำกว่าผิวของเหลว ดังรูปตัวอย่าง ทั้งนี้เป็นผลเนื่องมาจากแรงตึงผิวของของเหลว ปรากฏการณ์นี้ที่เกิดในธรรมชาติได้แก่ การลำเลียงน้ำของราก, น้ำใต้ดิน การซับน้ำของกระดาษชำระ

จากรูปภาพ แรงตึงผิว Fγ ทำมุม θ กับผนังชนะจะได้องค์ประกอบของแรง Fγ ในแนวดิ่ง Fγ cosθ ซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของของเหลวในหลอดเหนือผิวของเหลวเพราะของเหลวอยู่ใน

${\displaystyle \sum F\,=0}$

Fขึ้น=Fลง

∴FγCosθ= ${\displaystyle mg=\rho \,Ahg}$

Fγ = ${\displaystyle mg=\rho \,Ahg}$/Cosθ = (ρπR² hg)/Cosθ

ความตึงผิว

${\displaystyle \gamma \,={\frac {F}{d}}}$

=${\displaystyle ({\frac {\rho \,\pi \,R^{2}hg}{2\pi \,R\cos \theta }})=({\frac {\rho \,Rhg}{2\cos \theta }})}$

การหาความดันภายในฟองสบู่หรือหยดของเหลวจากความตึงผิวของของเหลว

พิจารณาฟองสบู่มีรัศมี R ความตึงผิว γ ความดันอากาศภายในฟองสบุ่ P และความดันภายนอกคือ ความดันอากาศ Pa ดังรูป

เมื่อผ่าฟองสบู่ แรงตึงผิวมีทิศขนานกับผิวฟองสบู่มีผิวสัมผัสกับอากาศ 2 ผิว คือ ผิวนอกและผิวใน ความยาวของผิวสัมผัสเป็นรูปวงกลม จะได้

Fγ=${\displaystyle rd}$=${\displaystyle r2(2\pi \,R)}$=${\displaystyle 4r\pi \,R}$

แต่แรงดัน

F_P=${\displaystyle (P-Pa)A=(P-Pa)}$πR²

เมื่อฟองสบู่อยู่ในสภาพสมดุลแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม จะได้

(P - Pa)πR² =${\displaystyle 4\gamma \,\pi \,R}$

${\displaystyle P-Pa={\frac {4\gamma \,}{R}}}$

สำหรับหยดของเหลว ผิวที่ขาดจะมีผิวนอนเพียงผิวเดียว

${\displaystyle d=2\pi \,R}$

${\displaystyle P-Pa={\frac {2\gamma \,}{R}}}$

เมื่อ P = ความดันภายในของของเหลวทรงกลม (P_a)

P_a= ความดันบรรยากาศ (P_a)

γ= ของเหลว (N/m)

R=รัศมีของหยดของเหลวหรือ (m)

สมบัติทางอุณหพลศาสตร์ของของไหล

ความสัมพันธ์ของสมบัติในระบบวัฏภาคเนื้อเดียว

จากกฎข้อที่หนึ่ง สำหรับระบบปิดที่มีสาร n โมล

${\displaystyle d(nU)=dQ+dW}$

ในกรณีพิเศษสำหรับกระบวนการที่ผันกลับได้ จะเขียนสมการข้างต้นได้ว่า

${\displaystyle d(nU)=dQrev+dWrev}$

จากสมการนิยามของงานและเอนโทรปี จะได้

${\displaystyle dWrev=-Pd(nV)}$ และ

${\displaystyle dQrev=Td(nS)}$

เมื่อผนวกเข้ากับสมการข้างต้น จะได้

${\displaystyle d(nU)=Td(ns)-Pd(nV)}$(1)

โดยที่ U , S และ V คือ ค่าพลังงานภายใน เอนโทรปี และปริมาตรซึ่งเป็น intensive property (มีหน่วยต่อโมล) จะเห็นได้ว่าสมการนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ และสมบัติเหล่านี้มีค่าขึ้นอยู่กับสภาวะเพียงเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของกระบวนการ ดั้งนั้น ถึงแม้ว่าสมการนี้จะพัฒนามาจากกระบวนการที่ผันกลับได้ แต่เราสามารถใช้สมการนี้กับกระบวนการใดๆก็ได้ตราบเท่าที่ระบบเป็นระบบปิดซึ่งมีมวลสารคงที่

สมการข้างต้นแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง P,V,T,U และ S ซึ่งนอกจากสมการนี้แล้ว ยังมีสมการในลักษณะเดียวกันที่พัฒนาขึ้นมาสำหรับสมบัติอื่นๆ ทางอุณหพลศาสตร์ โดยเริ่มจากนิยามของพลังงานในรูปแบบอื่นๆ ดังนี้

เอนทัลปี

${\displaystyle H=U+PV}$

พลังงานเฮล์มโฮลทซ์ (Helmholtz energy)

${\displaystyle A\equiv \,U-TS}$ (2)

พลังงานกิบส์ (Gibbs energy)

${\displaystyle G\equiv \,H-TS}$ (3)

พิจารณาสมการ

${\displaystyle H\equiv \,U+PV}$ เมื่อคูนด้วย n ตลอดทั้งสมการ จะได้

${\displaystyle nH=nU+P(nV)}$

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นจะได้

${\displaystyle d(nH)=d(nU)+Pd(nV)+(nV)dP}$

หากแทน d(nU)ด้วยค่าสมการที่ 1 จะได้

${\displaystyle d(nH)=Td(nS)+(nV)dP}$(4)

ในทำนองเดียวกันถ้ากำจัด d(nU) ออกจากสมการที่ 2 (ภายหลังจากที่คูณด้วย n แล้วทำการดิฟเฟอเรทชิเอท)โดยใช้สมการที่ 1 จะได้

${\displaystyle d(nA)=-Pd(nV)-(nS)dT}$ (5)

และในลักษณะเช่นเดียวกันนี้ หากทำการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 3 ที่คูณด้วย n ตลอดทั้งสมการ แล้วกำจัดพจน์ d(nU) ออกโดยใช้ค่าจากสมการที่ 4 ข้างต้น จะได้

${\displaystyle d(nG)=(nV)dP-(nS)dT}$(6)

สมการที่ 1 ,4 ,5 และ 6 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปต่อหน่วยโมลหรือหน่วยมวลสารได้ ดังต่อไปนี้

${\displaystyle dU=TdS-PdV}$ (7)

${\displaystyle dH=TdS+VdP}$ (8)

${\displaystyle dA=-PdV-SdT}$ (9)

${\displaystyle dG=VdP-SdT}$ (10)

สมการที่ 7-10 เรียกว่าเป็นสมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐาน (fundamental property relation) ซึ่งใช้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ สมการกลุ่มนี้สามารถใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์ของสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่สำคัญอีกชุดหนึ่ง โดยพิจารณาสมการกลุ่มนี้ในลักษณะเดียวกันกับ

การดิฟเฟอเรนชิเอทฟังก์ชัน F=F(x,y) ดังนี้

${\displaystyle df\equiv \,({\frac {\partial F}{\partial x}})_{y}dx+({\frac {\partial F}{\partial y}})_{x}dy}$

หรือ

${\displaystyle dF=Mdx+Ndy}$(11)

โดยที่

${\displaystyle M\equiv \,({\frac {\partial F}{\partial x}})}$ และ

${\displaystyle N\equiv \,({\frac {\partial F}{\partial y}})_{x}}$

ถ้าดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นอีกครั้ง จะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial M}{\partial y)}})_{x}=({\frac {\partial _{2}F}{\partial y\partial x}})({\frac {\partial N}{\partial x}})_{y}=({\frac {\partial _{2}F}{\partial x\partial y}})}$

พจน์ทางขวามือของสมการทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นจะได้ว่า

${\displaystyle ({\frac {\partial M}{\partial y}})_{x}=({\frac {\partial N}{\partial x}})_{y}}$ (12)

ดังนั้นหากเราเทียบรูปสมการที่ 7-10 กับสมการที่ 11 จะสามารถเขียนความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันกับสมการที่ 12 สำหรับสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ต่างๆได้ดังนี้

${\displaystyle ({\frac {\partial T}{\partial V}})_{s}=-({\frac {\partial P}{\partial S}})_{V}}$ (13)

${\displaystyle ({\frac {\partial T}{\partial P}})_{s}=({\frac {\partial P}{\partial S}})_{V}}$(14)

${\displaystyle ({\frac {\partial P}{\partial T}})_{s}=({\frac {\partial S}{\partial V}})_{T}}$ (15)

${\displaystyle ({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P}=-({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}}$ (16)

สมการที่ 13-16 นั้นเรียกว่า สมการแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s equations)

:โดยสรุปจะเห็นว่า สมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานทางอุณหพลศาสาตร์สามารถนำมาใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์ สมการทั้งสองชุดนี้มีความสำคัญต่อการคำนวณหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่ไม่สามารถวัดค่ได้โดยตรงจากการทดลอง ซึ่งจะได้กล่าวถึงต่อไป

เอนทัลปีและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน

ค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเป็นสมบัติของอุณหพลศาสตร์ที่ไม่อาจวัดได้โดยตรงจากการทดลองแต่สามารถหาได้จากข้องมูลที่วัดได้อื่นๆเช่น อุณหภูมิและความดัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทราบรูปแบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างเอนทัลปี เอนโทรปี กับอุณหภูมิและความดัน ซึงความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถพัฒนาขั้นมาได้หากทราบว่าค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิและความดันอย่างไร หรือพัฒนามาจากข้อมูล

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial T}})_{P}}$

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}}$

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{T}}$

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}}$ นั้นเอง

ค่า${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial T}})_{P}}$ นั้นหาได้จากนิยามของ C_P

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial T}})_{P}=C_{P}}$

หรืออาจหาได้จากการหารสมการที่ 8 ด้วย dTแล้วกำจัดให้ความดันคงที่ ซึ่งจะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial T}})_{P}=T({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}}$

เมื่อรวมสมการข้างต้นทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}=C_{P}T}$(17)

สำหรับค่าดิฟเฟอเรนเชียลของเอนโทรปีเทียบกับความดันนั้น สามารถหาได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16)

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}=-({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P}}$ (18)

และจากสมการที่ 8 เมื่อหารด้วย dP ที่อุณหภูมิคงที่ จะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial P}})_{T}=T({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}+V}$

เมื่อรวมกับสมการที่ 18 จะได้ค่าของเอนทัลปีเทียบกับความดันที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้ทั้งหมด

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial P}})_{T}=V-T({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P}}$ (19)

เมื่อเรากำหนดให้ Hกับ S เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน (สำหรับระบบที่เป็นสารบริสุทธิ์ในวัฏภาคเดียว ซึ่งมีค่า degree of freedom เท่ากับ 2 นั้น เราสามารถคำนวณสมบัติต่างๆ ของระบบได้จากตัวแปร 2 ตัว ซึ่งในที่นี้จะเลือกใช้อุณหภูมิและความดัน) ดังนี้

${\displaystyle H=H(T,P)}$ และ

${\displaystyle S=S(T,P)}$

เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูป ได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16)

${\displaystyle dH=({\frac {\partial H}{\partial T}})_{P}dT+({\frac {\partial H}{\partial P}})_{T}dP}$

และ

${\displaystyle dS=({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}dT+({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}}$

เมื่อแทนสมการที่ 17 และ 19 ลงในสมการข้างต้น จะได้

${\displaystyle dH=C_{P}dT+dT((V-T({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P})dP}$(20)

และ

${\displaystyle dS=C_{P}({\frac {\partial dT}{\partial T}})-({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P})dP}$(21)

สมการข้างต้นนี้คือสมการแสดงความสัมพันธ์ของเอลทัลปีและเอนโทรปีในรูปของอุณหภูมิและความดันความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ทางอุณหพลศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ทั้งนี้การประยุกต์ใช้สำหรับกระบวนการไหลอย่างต่อเนื่องและคงตัวจะได้อธิบายได้อย่างละเอียดในบทต่อไป

พลังงานภายในในรูปฟังก์ชันของความดัน

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการ

${\displaystyle U=H-PV}$ จะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial P}})_{T}=({\frac {\partial H}{\partial P}})_{T}-P({\frac {\partial V}{\partial P}})_{T}-V}$

และจากสมการที่ 19 สามารถเขียนสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปสมการความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในกับความดัน ดังนี้

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial P}})_{T}=-T({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P}-P({\frac {\partial V}{\partial P}})_{T}}$(22)

เอนทัลปีและเอนโทรปีที่สภาวะอุดมคติ

ค่าสัมประสิทธิ์ของ dT และ dP ในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 นั้น หาได้จากค่า C_P และจากข้อมูล PVT ซึ่งในกรณีของแก๊สอุดมคติความสัมพันธ์ของ PVT เป็นดังนี้

${\displaystyle PV^{ig}=RT}$

${\displaystyle ({\frac {\partial V^{ig}}{\partial T}})_{P}={\frac {R}{P}}}$

เมื่อแทนค่าสมการเหล่านี้ลงในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 จะได้

${\displaystyle PH^{ig}=C_{P}^{ig}dT}$(23)

${\displaystyle ds^{ig}=C_{P}^{ig}{\frac {dT}{T-R}}{\frac {dP}{P}}}$ (24)

โดนสัญลักษณ์ ig หมายถึงค่าสำหรับแก๊สในอุดมคติ

เอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับของเหลว

จากสมการที่ 18-20 เมื่อเปลี่ยนพจน์

${\displaystyle ({\frac {\partial V}{\partial T}})_{P}}$

ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity (β) และเปลี่ยน

${\displaystyle ({\frac {\partial V}{\partial T}})_{T}}$

ให้อยู่ในรูปของ isothermal compressibility (K) ตามนิยามในสมการ จะได้

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial P}})_{T}=-\beta V\,}$ (25)

${\displaystyle ({\frac {\partial H}{\partial P}})_{T}=(1-\beta T\,V}$ (26)

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial P}})_{T}=(KP-\beta T\,V}$ (27)

และเมื่อแทนพจน์(∂V⁄∂T)_P ในสมการที่ 20 กับสมการที่ 21 ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity จะได้

${\displaystyle dH=C_{P}dT+(1-\beta T\,VdP}$ (28)

${\displaystyle dS=C_{P}dT{\frac {dT}{T}}-\beta VdP\,}$ (29)

เนื่องจากค่า β และ κ ไม่ขึ้นกับความดันของของเหลวมากนัก การอินทิเกรตสมการที่ 28 และ 29 จึงสมารถสมมุติให้ค่าเหล่านี้เป็นค่าคงที่ได้ โดยนิยมใช้ค่าเฉลี่ยตลอดช่วงความดันมาใช้ในการคำนวณ

พลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตร

พลังงานภายในและเอนโทรปีอาจเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตรได้ เมื่อทราบค่า

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial T}})_{V}}$

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial V}})_{T}}$

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{T}}$ และ

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial V}})_{T}}$

สำหรับพจน์

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial T}})_{V}}$ และ

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial V}})_{T}}$ นั้นสามารถหามาได้จากสมการ 7

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial T}})_{V}=T({\frac {\partial S}{\partial T}})_{P}V}$ และ

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial V}})_{T}=T({\frac {\partial S}{\partial V}})_{T}-P}$

จากนิยามของความจุความร้อนเมื่อปริมาตรคงที่ตามสมการที่ 2 จะสามารถเขียนสาการแรกได้เป็น

${\displaystyle ({\frac {\partial S}{\partial T}})_{V}=C_{\frac {V}{T}})}$ (30)

และจากสมาการที่ 15 จะเขียนสาการที่สองได้เป็น

${\displaystyle ({\frac {\partial U}{\partial V}})_{T}=T({\frac {\partial P}{\partial T}})_{V}-P}$ (31)

ถ้าเขียนพลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิกับปริมาตร หรือ U = U(T,V) และ S =S(T,V) และทำการดิฟเฟอเรนชิเอทจะได้

${\displaystyle dU=({\frac {\partial U}{\partial T}})_{V}dT+({\frac {\partial S}{\partial T}})_{V}dV}$ และ

${\displaystyle dS=({\frac {\partial S}{\partial T}})_{V}dT+({\frac {\partial S}{\partial V}})_{T}dV}$

เมื่อทราบพจน์ partial derivative ในสมการข้างต้นด้วยค่าจากสมการที่ 2 ,30,31 และ 15 จะได้

${\displaystyle dU=C_{V}dT+(({\frac {\partial P}{\partial T}})_{V}-P)dV}$ (32)

${\displaystyle ds=C_{V}({\frac {dT}{T}})+({\frac {\partial P}{\partial T}})_{V}dV}$ (33)

ซึ่งสมการทั้งสองสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในและเอนโทรปีกับอุณหภูมิและปริมาตรของของไหล

จากสมการที่ 3 ในกรณีที่การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นที่ปริมาตรคงที่จะเขียนได้ว่า

${\displaystyle ({\frac {\partial P}{\partial T}})_{V}={\frac {\beta \,}{T}})}$ (34)

ดังนั้นจึงสามรถเขียนสมการที่ 32 และ 33 ไดเป็นอีกรูปแบบหนึ่งคือ

${\displaystyle dU=C_{V}dT+({\frac {\beta \,}{k}}T-P)dV}$ (35)

${\displaystyle dU=C_{V}dT+({\frac {\beta \,}{k}})dV}$ (36)

การใช้พลังงานกิบส์เป็นเจนเนอเรตติ้งฟังก์ชัน (Generating Function)

ความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานดังแสดงด้วยสมการที่ 7-10 นั้นใช้ได้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ ซึ่งจากสมการเหล่านี้จะเห็นว่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ เช่น U,H,A และ G มีความสัมพันธ์กับตัวแปร 2 ตัวแปรที่วัดค่าได้ เช่น กรณีของสมการที่ 10 ต่อไปนี้

${\displaystyle dG=VdP-SdT(}$(10)

จากสมการนี้จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิกับความดัน G = G(P,T) และเนื่องจากอุณหภูมิและความดันเป็นตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้โดยง่าย ดังนั้นพลังงานกิบส์จึงเป็นคุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่น่าจะมีประโยชน์ต่อการนำไปใช้งานต่อไป

:นอกจากสมการที่ 10 แล้ว สมการพื้นฐานของพลังงานกิบส์อาจพัฒนาได้จากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ (ตามนิยามของดิฟเฟอเรนเชียลผลหาร) ดังนี้

${\displaystyle d({\frac {G}{RT}})={\frac {1}{RT}}dG-{\frac {G}{RT}}^{2}dT}$

เมื่อแทนค่า dG จากสมการที่ 10 และค่า G จากสมการที่ 3 แล้วจัดรูปสมการาใหม่ จะได้สมการดังต่อไปนี้

${\displaystyle d({\frac {G}{RT}})={\frac {V}{RT}}dP-{\frac {H}{RT}}^{2}dT}$ (37)

ซึ่งจะพบว่าทุกพจน์ของสมการข้างต้นเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วยนอกจากนี้ สมการข้างต้นยังต่างกับสมการที่10 ตรงที่ปริมาณทางด้านขวามือของสมการเป็นค่าเอนทัลปี แทนที่จะเป็นเอนโทรปี ซึ่งทำให้สมการนี้ใช้งานได้ง่ายขึ้น

${\displaystyle ({\frac {V}{RT}})=(\partial ({\frac {G/RT}{\partial T}}))_{T}}$ (38) และ

${\displaystyle ({\frac {H}{RT}})=T(\partial ({\frac {G/RT}{\partial T}}))_{P}}$ (39)

ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อทราบค่าของ G/RT ในรูปของฟังก์ชันของ T และ P จะทำให้คำนวณหาค่า V/RT และ H/RT

เช่นเดียวกันกับสมบัติอื่นๆ เช่น

${\displaystyle ({\frac {S}{R}})={\frac {H}{RT}}-{\frac {G}{RT}}}$และ

${\displaystyle ({\frac {U}{RT}})={\frac {H}{RT}}-{\frac {PV}{RT}}}$

กล่าวโดยสรุปได้ว่า เมื่อเราทราบสมการ G/RT=g(T,P)แล้ว จะทำให้สามารถหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์อื่นๆ ได้จากการคำนวณอย่างง่าย ดังนั้นจึงเรียกพลังงานกิบส์ว่าเป็น เจนเนอเรตติ้งฟังก์ชัน (Generating Function)

สมบัติรีซิดวล (Residual Properties)

แม้ว่าจะสามารถหาสมบัติต่างๆ ได้จากข้อมูลเกี่ยวกับพลังงานกิบส์ แต่การหาค่า G หรือ G/RT อาจไม่สามารถทำได้โดยง่ายจากการทดลอง ดังนั้นในการหาสมบัติต่างๆ อาจทำได้โดยการนิยามสมบัติขึ้นมาอีกชนิดหนึ่ง ได้แก่พลังงานกิบส์รีซิดวล (Residual Gibb Energy) ซึ่งมีนิยามดังนี้

${\displaystyle G^{R}\equiv \,G-G^{ig}}$

โดยที่ G และ Gig คือค่าพลังงานกิบส์จริงๆ ของระบบ และค่าพลังงานกิบส์ของที่อุณหภูมิและความดันเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถนิยามปริมาตรรีซิดวลได้ด้วยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle V^{R}\equiv \,V-V^{ig}}$

ดังนั้น จะได้

${\displaystyle V^{R}=V-{\frac {RT}{P}}}$

เมื่อแทน

${\displaystyle V={\frac {ZRT}{P}}}$

ในสมการข้างต้น จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรรีซิดวล กับ Compressibility factor ดังนี้

${\displaystyle V^{R}={\frac {RT}{P}}(Z-1)}$ (40)

สมบัติรีซิดวลนั้นมีนิยามในรูปทั่วไป ดังนี้

${\displaystyle M^{R}\equiv \,M-M^{ig}}$ (41)

โดยที่ M คือสมบัติเชิงมวลทางอุณหพลศาสตร์ เช่น V,U,H,S หรือ G

จากสมการที่ 37 ถ้าเขียนสำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติ จะได้

${\displaystyle d({\frac {G^{ig}}{RT}})={\frac {V^{ig}}{RT}}dP-{\frac {H^{ig}}{RT^{2}}}dT}$

เมื่อลบสมการนี้ออกจากสมการที่ 37 จะได้

${\displaystyle d({\frac {G^{R}}{RT}})={\frac {V^{R}}{RT}}dP-{\frac {H^{R}}{RT^{2}}}dT}$(42)

ซึ่งสมการข้างต้นนี้ก็คือ สมการความสัมพันธ์พื้นฐานของสมบัติรีซิดวลของของไหลที่มีองค์ประกอบคงที่ และจากสมการนี้ จะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {V^{R}}{RT}}=(\partial ({\frac {G^{R}}{RT}}))_{T}}$(43) และ

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}=T(\partial ({\frac {G^{R}/RT}{\partial T}}))_{P}}$ (44)

และจากสมการนิยามของพลังงานกิบส์ G≡ H-TS ในกรณีพิเศษของแก๊สอุดมคติ จะได้

${\displaystyle G^{ig}=H^{ig}-TS^{ig}}$

ซึ่งผลต่างระหว่างสองสมการข้างต้น ก็คือ

${\displaystyle G^{R}=H^{R}-TS^{R}}$

และจากสมการข้างต้น จะได้เอนโทรปีรีซิดวลดังนี้

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}={\frac {H^{R}}{RT}}-{\frac {G^{R}}{RT}}}$

จะเห็นว่าพลังงานกิบส์รีซิดวลเปรียบเสมือนเป็น Generating function สำหรับค่าสมบัติรีซิดวลอื่นๆ โดยค่าพลังงานกิบส์รีซิดวลนี้สามารถหาได้จากข้อมูลการทดลอง และเมื่อพิจารณาสมการที่ 43 เราอาจเขียนสมการนี้ใหม่ได้เป็น

${\displaystyle d({\frac {G^{R}}{RT}})={\frac {V^{R}}{RT}}dP}$

ถ้าทำการอินทิเกรตสมการข้างต้นจากค่าความดันเท่ากับ 0 ไปจนถึงความดัน P ใดๆ จะได้

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}={\frac {G^{R}}{RT}}_{P=0}+\int _{0}^{P}{\frac {V^{R}}{RT}}}$ (อุณหภูมิคงที่)

เพื่อความสะดวก จะนิยาม

${\displaystyle ({\frac {G^{R}}{RT}})_{P=0}\equiv \,J}$

ซึ่ง J เป็นค่าคงที่ และไม่ขึ้นกับอุณหภูมิ ดังจะได้อธิบายต่อไป และเมื่อแทนค่า VR ตามสมการที่ 40 ลงไปในสมการข้างต้นจะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}_{P=0}=J+\int _{0}^{P}(Z-1){\frac {dP}{P}}}$ (45)

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 45 เทียบกับอุณหภูมิแล้วแทนค่าลงไปในสมการที่ 44 จะได้

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}=-T\int _{0}^{P}{\frac {\partial Z}{\partial T}}_{P}{\frac {dP}{P}}}$ (46)

จากสมการนิยามของพลังงานกิบส์

${\displaystyle G=H-TS}$

สามารถเขียนได้สำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติได้เป็น

${\displaystyle G^{ig}=H^{ig}-(TS)^{ig}}$

ซึ่งผลต่างของสมการทั้งสองคือ

${\displaystyle G^{R}=H^{R}-(TS)^{R}}$

หรือตามที่กล่าวไปแล่วข้างต้นเราสามรถเขียนเอนโทรปีรีซิดวลได้เป็น

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}={\frac {H^{R}}{RT}}-{\frac {G^{R}}{RT}}}$

และเมื่อนำค่าจากสมการที่ 6.45 และ 6.46 มาแทนลงในสมการนี้จะได้

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}=\int _{0}^{P}{\frac {\partial Z}{\partial T}}_{P}{\frac {dP}{P}}-J-\int _{0}^{P}(Z-1){\frac {dP}{P}}}$(48)

เนื่องจาก

${\displaystyle Z=frac{PV}{RT}}$

ดังนั้นค่าของ Z และค่าของ

${\displaystyle {\frac {\partial Z}{\partial T}}_{P}}$

จึงสามารถคำนวณได้จากค่าข้อมูล PVT จากการทดลอง ทั้งค่าอินทิกรัลในสมการที่ 6.45 – 6.48 สามารถคำนวณได้โดยวิธี () หรือวิธี () หรืออาจสามารถอินทิเกรตโดนตรงจาก Equation of state ที่อยู่ในรูปของ Z จะได้ Z ก็ได้ ดังนั้นถ้าทราบข้อมูล PVT หรือรูปสมการ ก็จะสามารถคำนวณหาค่า HR กับ SR และค่าสมบัติรีซิดวลอื่นๆได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากสมการที่ 6.41 เมื่อเขียนสำหรับเอลทัลปี และ เอนโทรปี จะได้

${\displaystyle H=H^{ig}-H^{R}}$และ

${\displaystyle S=S^{ig}-S^{R}}$

ดังนั้นค่า H และ S จึงสามารถหาได้จากสมการแก๊สอุดมคติและสมบัติรีซิดวลโดยสมการของ Hig และ Sig

นั้นหาได้จากการอินทิเกรตสมการที่ 23 และ 24

${\displaystyle H^{ig}=H_{0}^{ig}+\int _{T_{0}}^{T}C_{P}^{ig}dT}$ และ

${\displaystyle S^{ig}=S_{0}^{ig}+\int _{T_{0}}^{T}C_{P}^{ig}{\frac {dT}{T}}-R\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$ (49)

โดยอินทิเกรตจากสภาวะแก๊สอุดมคติที่สภาวะอ้างอิง (reference condition,T0 และ P0) ไปถึงสภาวะแก๊สอุดมคติที่ T และ P ใดๆ และเมื่อแทนค่าลงไปในสมการข้างต้นจะได้

${\displaystyle H=H_{0}^{ig}+\int _{T_{0}}^{T}C_{P}^{ig}dT+H^{R}}$ (50) และ

${\displaystyle S=S_{0}^{ig}+\int _{T_{0}}^{T}C_{P}^{ig}{\frac {dT}{T}}-R\ln {\frac {P}{P_{0}}}+S^{R}}$ (51)

สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่ง่ายขึ้นโดยใช้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ย (และสมมุติให้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ยเป็นค่าคงที่) จะได้

${\displaystyle H=H_{0}^{ig}+(C_{P}^{ig})_{H}(T-T_{0})+H^{R}}$ (52) และ

${\displaystyle S=S_{0}^{ig}+(C_{P}^{ig})_{S}\ln {\frac {T}{T_{0}}}-R\ln {\frac {P}{P_{0}}}+S^{R}}$ (53)

โดยที่ H^R และ S^R ในสมการที่ 50-53 นั้นสามารถคำนวณได้จากสมการที่ 46 และ 48 ทั้งนี้ถึงแม้ว่าสมการทั้งสองนี้จะใช้สำหรับแก๊สเพียงเท่านั้น แต่สมบัตรีซิดวลนั้นสามารถใช้ได้กับทั้งแก๊สและของเหลวอย่างไรก็ตามสมบัติรีซิดวลจะมีประโยชน์มากกว่าในกรณีที่ใช้กับแก๊ส เนื่องจาก HRและ SR ซึ่งเป็นพจน์ที่รวมการคำนวณซับซ้อนเอาไว้ จะมีค่าร้อยเมื่อเทียบกับพจน์ Hig และ Sig แต่สำหรับของเหลวแล้วค่านี้จะมีค่ามากกว่าในกรณีของแก๊สมาก เนื่องจากจะต้องรวมค่าการเปลี่ยนแปลงและเอนโทรปีของการกลายเป็นไอไว้ด้วย ดังนั้นสำหรับในกรณีของของเหลว จึงนิยมใช้สมการที่ 28 และสมการที่ 29 ในการคำนวณค่าการเปลี่ยนแปลงของสมบัติ

การหาสมบัติรีซิดวลโดยใช้ Equation of state

ทางเลือกอีกทางหนึ่งในการหาค่าอินทิกรัลในสมการที่ 45-48 ก็คือ การหาจาก ซึ่งแสดงว่าค่า Z (หรือ V) ในรูปฟังก์ชันของ P และ T โดยเนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการคำนวณหาค่าสมบัติของแก็สและไอ โดยใช้และสมการ ดังต่อไปนี้

การหาสมบัติรีซิดวลจาก Equation of State ในรูปสมการไวเรียล

ถ้าพิจารณากรณีของแก๊สหรือไอ ณ สภาวะที่ความดันไม่สูงนัก (ต่ำกว่า 5 bar) เราสามารถเขียนค่า compressibility factor ในรูปสมการไวเรียลที่ประกอบไปด้วยสองพจน์ได้ ดังนี้

${\displaystyle Z-1={\frac {BP}{RT}}}$

เมื่อแทนค่านี้ลงไปในสมการที่ 45 (โดยกำหนดให้ J=0) จะได้

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}={\frac {BP}{RT}}}$ (54)

ดังนั้น สมการที่ 44 จะกลายเป็น

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}=T({\frac {G^{R}RT}{\partial T}})_{P,x}=-T({\frac {P}{R}})({\frac {1}{R}}{\frac {dB}{dT}}-{\frac {B}{T^{2}}})}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}={\frac {P}{R}}({\frac {B}{T}}-{\frac {dB}{dT}})}$ (55)

เมื่อแทบสมการที่ 54 และ 55 ไปในสมการที่ 47 จะได้

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}=-{\frac {P}{R}}{\frac {dB}{dT}}}$ (56)

จะเห็นได้จากสมการที่ 55 และ 56 ว่าถ้ามีข้อมูลเพียงพอที่จะหาค่า B และ dB/dT จะทำให้สามารถหาค่าของและได้ ณ สภาวะอุณหภูมิ ความดัน และองค์ประกอบที่กำหนดใดๆ

จะเห็นได้ว่าเราไม่สามารถใช้ equation of state ที่อยู่ในรูปฟังก์ชันของปริมาตรในการแก้สมการที่ 45-48 ได้โดยตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนรูปสมการที่ 45- 48 ให้มีปริมาตรเป็นตัวแปรสำหรับการเสียก่อน อย่างไรก็ตาม สมการที่สะดวกต่อการใช้งงานมากกว่าสมการในรูปปริมาตรก็คือ สมการในรูปของความหนาแน่น ในกรณีเช่นนี้สมการ PV=ZRT จึงจะเขียนได้เป็น

${\displaystyle PV=ZRT}$ (57)

เมื่อดิฟเฟอเรนซิเอทสมการข้างต้นที่อุณหภูมิคงที่ จะได้

${\displaystyle dP=RT(Zd\rho \,+\rho \,dZ)}$ (T คงที่)

ซึ่งเมื่อรวมกับสมการที่ 56 จะได้

${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {dP}{p}}+{\frac {dz}{(Z)}}}$ (T คงที่)

เมื่อแทนค่า dP/P ที่ได้นี้ลงไปในสมการที่ 6.45 จะได้

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}=\int _{0}^{\rho }\,(Z-1){\frac {d\rho \,}{\rho \,}}+Z-1-\ln {Z}}$ (58)

โดยการประเมินค่าพจน์อินทิกรัลของสมการข้างต้นจะทำที่สภาวะอุณหภูมิคงที่เท่ากับ T นอกจากนี้ ควรสังเกตว่า เมื่อ P→0 จะได้ว่า ρ→0 เช่นกัน

สำหรับ H^R สามารถหาได้จากการรวมสมการที่ 42 และ 40 เข้าด้วยกัน ได้เป็น

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}^{2}dT=(Z-1){\frac {dP}{P-d}}-{\frac {G^{R}}{RT}}}$

เมื่อหารด้วย dT โดยกำหนดให้ความหนาแน่นคงที่ จะได้

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}^{2}={\frac {(Z-1)}{P}}({\frac {\partial P}{\partial T}})_{\rho }\,-(\partial ({\frac {G^{R}/RT}{\partial T}}))_{\rho }\,}$

ค่าอนุพันธ์ในพจน์แรกทางด้านขวามือของสมการข้างต้นนั้น คำนวณได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 57 ส่วนค่าอนุพันธ์ในพจน์ที่สองนั้นหาได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 58 และเมื่อแทนค่าทั้งสองลงไปในสมการข้างต้น จะได้

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}^{2}dT=-T\int _{0}^{\rho }\,({\frac {\partial P}{\partial T}})_{\rho }\,{\frac {d\rho \,}{\rho \,}}+Z-1}$ (59)

สำหรับค่าเอนโทปีรีซิดวล สามารถหาได้จากสมการที่ 47

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}=\ln {Z-T}\int _{0}^{\rho }\,({\frac {\partial Z}{\partial }})_{\rho }\,{\frac {d\rho \,}{\rho \,}}-\int _{0}^{\rho }\,(Z-1){\frac {d\rho \,}{\rho \,}}}$ (60)

ถ้าใช้สการไวเรียลที่มีสามพจน์ในการพัฒนาความสัมพันธ์ของสมบัติรีซิดวล นั่นคือ ใช้สมการ

${\displaystyle Z-1=B\rho \,+C\rho \,^{2}}$

เมื่อแทนในสมการที่ 58-60 จะได้

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}=2B\rho \,+{\frac {3}{2}}C\rho \,^{2}-\ln {Z}}$ (61)

${\displaystyle {\frac {H^{R}}{RT}}=T(({\frac {B}{T}}-{\frac {dB}{dT}})\rho \,+({\frac {C}{T}}-{\frac {1}{2}}{\frac {dC}{2cT}})\rho \,^{2})}$ (62)

${\displaystyle {\frac {S^{R}}{R}}=\ln {Z-T}(({\frac {B}{T}}+{\frac {dB}{dT}})\rho \,+{\frac {1}{2}}({\frac {C}{T}}+{\frac {dC}{dT}}\rho \,^{2}}$ (63)

สมการข้างต้นนี้ใช้สำหรับแก๊สที่มีความดันปานกลาง โดยจำเป็นต้องทราบข้อมูลสัมประสิทธิ์ตัวที่สองและสามของ

การหาสมบัติรีซิดวลจาก Cubit Equatoin of State

ค่าสมบัติอาจหาได้โดยใช้สมการสภาวะกำลังสาม (cubit equation of state) ในรูปทั่วไปดังนี้

${\displaystyle {\frac {G^{R}}{RT}}=2B\rho \,+{\frac {3}{2}}C\rho \,^{2}-\ln {Z}}$

${\displaystyle P={\frac {RT}{(V-b)}}-{\frac {a(T)}{(V+\epsilon \,b)(V+\sigma \,b)}}}$(53)

สมการนี้ใช้งานได้สะดวกมากขึ้นถ้าเขียนในรูปของ Z โดยมีความหนาแน่น ρ เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้นเมื่อหารสมการข้างต้นด้วย ρRT และแทนค่า V=1⁄ρ จะได้สมการดังต่อไปนี้

${\displaystyle Z=\frac{1}{1\rho b}-q}$