สมการนาเวียร์-สโตกส์

สมการนาเวียร์–สโตกส์ เป็นสมการที่ตั้งตามชื่อของผู้คิดค้นสองท่านคือ โกลด ลูย นาวีเย และ จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ ใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล สมการเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากการประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันบนของไหล ประกอบเข้ากับสมมติฐานว่าความเค้นบนของไหลคือผลรวมของเทอมของความหนืดของการกระจายตัว และเทอมของความดัน

กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง

สมการนาเวียร์-สโตกส์ กฎ กฎการอนุรักษ์พลังงาน ของแข็ง · ความเค้น · · · · · · · · กฎของฮุก · กลศาสตร์ของไหล ของไหล · สถิตยศาสตร์ของไหล พลศาสตร์ของไหล · ความหนืด · แรงตึงผิว นักวิทยาศาสตร์ ไอแซก นิวตัน · · · · โรเบิร์ต ฮุค · ดานีเอล แบร์นุลลี

กล่องนี้:

พื้นฐานของการเขียนCFDคือสมการนาเวียร์–สโตกส์

ชุดสมการนี้นับได้ว่าเป็นชุดสมการที่มีประโยชน์ต่อวิชากลศาสตร์ของไหลมากที่สุด เนื่องจากว่ามันสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพของของไหลได้กว้างขวางที่สุด มันอาจจะใช้เพื่อการจำลองสภาพอากาศ การไหลของของไหลในท่อ การไหลของอากาศผ่านปีกเครื่องบิน หรือการเคลื่อนที่ของดาวในจักรวาล ชุดสมการนี้ ไม่ว่าจะในรูปเต็ม หรือรูปแบบที่ถูกดัดแปลงให้ง่ายขึ้น ล้วนถูกนำไปใช้ในการออกแบบอากาศยานและยานยนต์ การศึกษาการไหลเวียนของโลหิต การออกแบบ การวิเคราะห์ผลกระทบของมลพิษ เป็นต้น ชุดสมการนี้เมื่อไปใช้ร่วมกับสมการของแมกซ์เวลล์สามารถใช้ในการศึกษาแมกนิโตรไฮโดรไดนามิกส์ได้อีกด้วย

นอกจากนี้ชุดสมการนาเวียร์–สโตกส์นับว่ามีความน่าสนใจในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อย่างมาก ถึงแม้ว่าชุดสมการจะถูกใช้งานอย่างกว้างขวางก็ตาม แต่ทว่ายังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบในเชิงสามมิตินี้จะปรากฏตลอดเวลา หรือถึงแม้ว่ามันจะปรากฏขึ้นจริง มันก็จะไม่มีลักษณะของความไม่สิ้นสุด ความเป็นเอกภาพ และความไม่ต่อเนื่อง สิ่งเหล่านี้เรียกว่า ปัญหาการปรากฏและความราบเรียบของนาเวียร์–สโตกส์ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์จัดให้ปัญหานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหาที่สำคัญที่สุดในทางคณิตศาสตร์และตั้งเงินรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐให้แก่ผู้ใดก็ตามที่สามารถแก้ปัญหานี้หรือสามารถแสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาได้.

ชุดสมการนาเวียร์–สโตกส์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งต่างจาก ไม่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แน่นอนหรือชัดเจน หากแต่ระบุอัตราการเปลี่ยนแปลงแทน ตัวอย่างเช่น ในสมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับของไหลในอุดมคติ ซึ่งไม่มีความหนืดและอัดตัวไม่ได้ สามารถระบุความสัมพันธ์ของความเร่งนั้นเป็นอัตราส่วนต่ออัตราการเปลี่ยนแปลงความดัน (Pressure gradient)

ชุดสมการนาเวียร์–สโตกส์ไม่สามารถใช้ระบุตำแหน่งได้แต่สามารถบอกความเร็วได้ ทำให้คำตอบของชุดสมการนาเวียร์–สโตกส์ถูกเรียกว่าสนามความเร็วหรือสนามการไหล ซึ่งเป็นตัวอธิบายถึงความเร็วของของไหล ณ ตำแหน่ง และเวลาที่กำหนด และเมื่อสนามความเร็วถูกระบุแล้ว ตัวแปรอื่น ๆ เช่น อัตราการไหล หรือแรงแดรก อาจจะถูกค้นพบด้วย ชุดสมการนี้ต่างออกไปจากปรากฏการณ์ที่พบได้ในกลศาสตร์ดั้งเดิมซึ่งมีคำตอบในรูปของเส้นแนวโน้มของตำแหน่งของอนุภาคหรือการเปลี่ยนแปลงของความต่อเนื่อง การศึกษาความเร็วแทนที่จะสนใจตำแหน่งนั้นเป็นสิ่งที่มีสามัญสำนึกมากกว่าสำหรับวิชากลศาสตร์ของไหล แต่ทว่าสำหรับการสร้างแบบจำลองแล้ว จะใช้คอมพิวเตอร์ในการสร้างเส้นแนวโน้ม

สมการ

สมการนาเวียร์–สโตกส์นั้น เป็นกรณีเฉพาะของ สมการการไหล สมมุติฐานที่ถูกใช้ในที่นี้คือ ของไหลเป็นของไหลแบบนิวตัน (Newtonian_fluid) ค่าความหนืดคงที่ และค่าความหนาแน่นคงที่ ในการไหลแบบอุณหภมิไม่คงที่ ค่าความหนืดและความหนาแน่นจะไม่คงที่ เพราะค่าสองค่านี้เป็นค่าที่ขึ้นกับอุณหภูมิ นั่นคือสมการนาเวียร์–สโตกส์จะใช้ไม่ได้ในกรณีนี้ ในกรณีที่ความหนาแน่นมีการเปลี่ยนแปลงมากในระบบ ค่าแรงลอยตัว (buoyant forces) จะต้องนำมาคิดด้วย การประมาณค่าความหนาแน่นนั้น อาจทำได้โดยใช้ Boussinesq approximation

คุณสมบัติยสถาน

ความไม่เป็นเส้นหวนตรงคงที่

สมการนาเวียร์–สโตกส์นี้เป็นที่ไม่เป็นเส้นตรงในเกือบทุกสถานการณ์จริง ในบางกรณี เช่นการไหลมิติเดียวและการไหลแบบสโตก์ (การไหลแบบช้า ๆ) สมการอาจจะถูกแปลงให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรงได้ ความไม่เป็นเส้นตรงทำให้ปัญหาส่วนมากยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหา

ความไม่เป็นเส้นตรงนั้นขึ้นกับความเร่งการพาซึ่งเป็นความเร่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วในแต่ละจุด ดังนั้น การไหลแบบพาไม่ว่าจะเป็นการไหลแบบราบเรียบหรือแบบปั่นป่วน ล้วนแต่เกี่ยวข้องกับสมการไม่เป็นเส้นตรงทั้งสิ้น ตัวอย่างการไหลแบบพาที่เป็นการไหลแบบราบเรียบนั้นคือการไหลของของไหลหนืด เช่น น้ำมัน ผ่านแบบคอนเวอร์เจนท์ การไหลในรูปแบบนี้ ๆ ไม่ว่าจะสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ ก็จะได้รับการศึกษาและทำความเข้าใจอย่างรอบคอบระมัดระวัง

ความปั่นป่วน

คือช่วงเวลาที่พฤติกรรมอันยุ่งเหยิงของของไหลปรากฏขึ้น ตามความเชื่อโดยทั่วไป การไหลแบบปั่นป่วนนี้เกิดขึ้นมาจากความเฉื่อยของของไหลทั้งหมด ดังนั้นของไหลที่มีความเฉื่อยต่ำ มีแนวโน้มที่จะไหลแบบราบเรียบ (ตัวเลขเรย์โนลด์คือค่าที่บ่งถึงปริมาณผลกระทบของความเฉื่อยในของไหล) แต่ทั้งนี้ทั้งนั้น เชื่อกันว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่ได้อธิบายถึงคุณสมบัติความปั่นป่วน

คำตอบเชิงตัวเลขของสมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนนี้ค่อนข้างซับซ้อน และเนื่องจากการมีช่วงสเกลที่แตกต่างกันมากอย่างเห็นได้ชัดผสมปนเปอยู่ในสมการสำหรับการไหลแบบปั่นป่วน ซึ่งเป็นผลให้คำตอบที่เสถียรสำหรับปัญหาชนิดนี้นั้น เป็นไม่ไม่ได้ในการคำนวณอย่างชัดเจน (อ่านเพิ่มที่ Direct numerical simulation ความพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ด้วยการใช้วิธีเดียวกับการคำนวณการไหลแบบราบเรียบนั้น จะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ที่เวลาไม่เสถียร ซึ่งส่งผลให้ไม่สามารถสรุปผลได้ เพื่อการจัดการกับปัญหานี้ การใช้สมการ เวลาเฉลี่ย เช่น Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS) การเสริมด้วยแบบจำลองการไหลปั่นป่วน (เช่น แบบจำลอง k-ε) คือวิธีที่ใช้ในทางปฏิบัติของ CFD เพื่อการจำลองการไหลแบบปั่นป่วน วิธีอื่นที่ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือ Large-eddy simulation (LES) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เวลาและหน่วยความจำมากกว่า RANS แต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า เนื่องจากขนาดสเกลของการไหลแบบปั่นป่วนชัดเจนกว่า

ขอบเขตการใช้งาน

การใช้สมการนาเวียร์–สโตกส์ ร่วมกับสมการที่นำมาเสริม (เช่น กฎการอนุรักษ์มวล) และการกำหนดสภาวะขอบเขตที่ดี แบบจำลองที่ได้ดูเหมือนว่าจะเป็นแบจำลองการเคลื่อนไหวของของไหลที่แม่นยำ แม้แต่การไหลแบบปั่นป่วน (ด้วยการอ้างอิงค่าเฉลี่ย) ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามที่ปรากฏในความเป็นจริง

สมการนาเวียร์–สโตกส์สมมติว่าของไหลที่สนใจอยู่ในภาวะต่อเนื่องไม่เคลื่อนไหวในเชิงกลศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพ ณ สเกลขนาดเล็กมาก ๆ หรือสภาวะสุดขั้ว ของไหลจริงนั้นเกิดจากการรวมตัวของโมเลกุลที่ไม่มีความต่อเนื่อง จะส่งผลที่แตกต่างไปจากแบบจำลองที่สร้างมาด้วยสมมติฐานว่าของไหลมีความต่อเนื่อง ทั้งนี้ทั้งนั้น ขึ้นอยู่กับของปัญหา ซึ่งกลศาสตร์เชิงสถิติ หรือ กลศาสตร์โมเลกุล อาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า

ข้อจำกัดอีกประการของสมการนาเวียร์–สโตกส์คือธรรมชาติอันซับซ้อนยากแก่การทำความเข้าใจของสมการ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเวลามีปรากฏในกลุ่มของไหลทั่ว ๆ ไป แต่ในการใช้งานสมการนาเวียร์–สโตกส์นี้ การทำให้ความเป็นสากลนี้ลดลงไป ทำให้ได้สูตรที่ซับซ้อน ดังนั้น สมการนาเวียร์–สโตกส์มักจะใช้สำหรับของไหลจำพวก

เชิงอรรถ

1. คำว่า"นาเวียร์" (Navier–Stokes equations) ในชื่อสมการ"นาเวียร์–สโตกส์" นี้ มาจากการอ่านคำว่า "Navier" ในแบบภาษาอังกฤษ แต่ทว่า ในการสะกดแบบภาษาฝรั่งเศสจะอ่านได้ว่า "นาวีเย" อย่างไรก็ตาม การเรียกว่า "สมการนาเวียร์–สโตกส์"นั้นเป็นที่ใช้อย่างกว้างขวาง
2. ข้อแตกต่างระหว่าง rate of change of pressure และ pressure gradient คือ ตัวแรกเป็นปริมาณสเกลาร์ที่มีเพียงขนาดไม่มีทิศทาง แต่ตัวที่สองเป็นปริมาณเวกเตอร์อันมีขนาดและทิศทาง

เชิงอรรถอ้างอิง

1. , , คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-01-08, สืบค้นเมื่อ 2009-06-24
2. Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot "Transport Phenomena" 2nd edition John Wiley & Sons, Inc. page 84

บรรณานุกรม

• Acheson, D. J. (1990), Elementary Fluid Dynamics, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, , ISBN 
• (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), Fluid mechanics, Course of Theoretical Physics, vol. 6 (2^nd revised ed.), Pergamon Press, ISBN , OCLC 15017127
• Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne
• Polyanin, A.D.; Kutepov, A.M.; Vyazmin, A.V.; Kazenin, D.A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN 

แหล่งข้อมูลอื่น

• Simplified derivation of the Navier–Stokes equations 2017-11-29 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf 2012-04-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Millennium Prize problem description.
• CFD online software list A compilation of codes, including Navier–Stokes solvers.