ในทางเรขาคณ ต เส นส มผ ส tangent line หร อ tangent ก บเส นโค งในระนาบท จ ดหน ง หมายถ งเส นตรงท ส มผ ส เส นโค งน นท จ ดน

ในทางเรขาคณิต เส้นสัมผัส (tangent line หรือ tangent) กับเส้นโค้งในระนาบที่จุดหนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "สัมผัส" เส้นโค้งนั้นที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นที่ผ่านจุดคู่หนึ่งที่อยู่ใกล้กันอย่าง กณิกนันต์ บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด x = c หากเส้นนั้นผ่านจุด (c, f(c)) บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ f'(c) ซึ่ง f' คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งใน n-มิติได้เช่นกัน

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง คือเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยไม่ตัดผ่านเส้นโค้งในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น เส้นสีแดงในภาพเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดซึ่งถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง.

จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งพบหรือจุดตัด เรียกว่าจุดสัมผัส เส้นสัมผัสกล่าวกันว่า ไปในทิศทางเดียวกัน กับเส้นโค้ง และดังนั้นจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีที่สุดของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดหนึ่งบนเส้นโค้งที่มีอนุพันธ์สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือกราฟของ ที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่กำหนด

ในทำนองเดียวกัน ระนาบสัมผัสกับที่จุดหนึ่งคือระนาบที่สัมผัส พื้นผิวนั้นเพียงที่จุดนั้น แนวคิดของเส้นสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดใน และได้รับการขยายความในหลายกรณี เช่น

ประวัติ

ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของ (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้

อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น

ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง $f(x+h)$ และ $f(x)$ แล้วหารด้วยกำลังของ $h$ เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า method of normals โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ

วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน และ ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของ และ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ

ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง". นิยามนี้ป้องกันไม่ให้ มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด $P$ บนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด $P$

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ

แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด A และ B ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด A คือขีดจำกัดเมื่อจุด B เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ A การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด B" เข้าใกล้จุดยอด

ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์

ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ—ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า

คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย

สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด p = (a, f(a)) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง q = (a + h, f(a + h)) บนเส้นโค้ง ความชันของ ที่ผ่านจุด p และ q จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:

{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

เมื่อจุด q เข้าใกล้ p มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ h เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน kซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด p หากทราบว่า k คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:

y-f(a)=k(x-a).\,

More rigorous description

เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า k อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด p และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ p ดังนั้นจะมีค่า k เฉพาะที่ทำให้เมื่อ h เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ k มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ h ถ้า h เล็กพอ

นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน f ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x = a ซึ่งเขียนว่า f ′(a) ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:

y=f(a)+f'(a)(x-a).\,

แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส

วิธีการที่อาจล้มเหลว

คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน f ถือว่าเป็น non-differentiable หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้

กราฟ y = x^1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ a = 0 เท่ากับ h^1/3/h = h^−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ h เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง

กราฟ y = x^2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต h เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ a = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ x ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ y = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า double tangent

กราฟ y = |x| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า corner

สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง กล่าวว่า ความไม่ต่อเนื่อง หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด

สมการ

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) ความชันของเส้นสัมผัสคือ $dy/dx$ ดังนั้นตาม (สูตรจุด-ความชัน) สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) คือ

y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)

โดยที่ (x, y) เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่ $x=X$ .

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก โดยการหาร $f,(x)$ ด้วย $(x-X)^{2}$ ; หากเศษที่เหลือคือ $g(x)$ สมการของเส้นสัมผัสคือ

y=g(x).

เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ f(x, y) = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ซึ่งให้

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.

สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) ซึ่ง f(X, Y) = 0 คือ

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.

สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก

{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,

ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม

{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด (X, Y) ถือเป็น

สำหรับ การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น g(x, y, z) = 0 ซึ่ง g เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ n ดังนั้นหาก (X, Y, Z) อยู่บนเส้นโค้ง กล่าว

${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$

ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ

{\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.

สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง z=1 ในสมการนี้.

เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน f(x, y) เป็น

f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0},

โดยที่แต่ละ u_r เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ r สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ

g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.,

การใช้สมการข้างต้นและตั้ง z=1 จะให้

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0

เป็นสมการของเส้นสัมผัส. สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้.

หากเส้นโค้งถูกกำหนด โดย

x=x(t),\quad y=y(t)

ความชันของเส้นสัมผัสคือ

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}

ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่ $,t=T,,X=x(T),,Y=y(T)$ เป็น

{\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).

หาก

{\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง

เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า เส้นปกติ ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ y = f(x) ความชันของเส้นปกติคือ : $-1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}$ และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ : $(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.$ ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ f(x, y) = 0 สมการของเส้นปกติคือ : ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.$

หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย : $x=x(t),\quad y=y(t)$ สมการของเส้นปกติคือ : ${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$

มุมระหว่างเส้นโค้ง

มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน

เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว

เส้นโค้งที่มีเส้นสัมผัสสองเส้นที่จุดกำเนิด

สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้

ตัวอย่างเช่น สมการของ ที่แสดงทางขวาคือ : $(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).,$ การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้ : $a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0,$ ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น : $y=\pm {\sqrt {3}}x.$ ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด.

เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง, เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง y = |x | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ x = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา.

บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง y = x ^2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ x = 0 เป็นอนันต์; ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ x = 0

วงกลมสัมผัส

วงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น

หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี $r_{1},r_{2}$ และ $(x_{1},y_{1})$ และศูนย์กลางที่ $(x_{2},y_{2})$ จะสัมผัสกันเมื่อ:

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.

วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า สัมผัสภายนอก หาก (ระยะทาง) ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.

หรือ สัมผัสภายใน หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี:

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.

ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว

แผ่นสัมผัส (Tangent Plane) ต่อพื้นผิวที่จุดกำหนด p ถูกกำหนดในลักษณะคล้ายกับเส้นสัมผัสในกรณีของเส้นโค้ง มันเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของพื้นผิวโดยแผ่นที่จุด p และสามารถหามาได้จากตำแหน่งจำกัดของแผ่นที่ผ่านจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิวที่ใกล้เคียงกับ p เมื่อตำแหน่งของจุดเหล่านี้เข้าใกล้ p ในทางคณิตศาสตร์ หากพื้นผิวถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ สมการของแผ่นสัมผัสที่จุด $(x_{0},y_{0},z_{0})$ สามารถเขียนได้ว่า:

$z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$ .

ในที่นี้ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ และ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ คืออนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน $f$ ตาม $x$ และ $y$ ตามลำดับ, ที่ประเมินที่จุด $(x_{0},y_{0})$ โดยพื้นฐานแล้ว, แผ่นสัมผัสจับพฤติกรรมท้องถิ่นของพื้นผิวที่จุดเฉพาะ p เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญในการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในท้องถิ่นบนพื้นผิว

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

Thomas L. Hankins (1985). วิทยาศาสตร์และยุคแห่งการตรัสรู้. Cambridge University Press. p. 23. ISBN .
Dan Sloughter (2000) . "Best Affine Approximations"
Euclid. "Euclid's Elements". สืบค้นเมื่อ 1 June 2015.
Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). p. 2.8. สืบค้นเมื่อ 1 June 2015.
Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. p. 510. ISBN .
Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381. JSTOR 2695381.
Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. pp. 512–514. ISBN .
Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]
Edwards Art. 191
Edwards Art. 192
Edwards Art. 193
Edwards Art. 196
Edwards Art. 194
Edwards Art. 195
Edwards Art. 197
Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็น คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

[1] Thomas L. Hankins (1985). วิทยาศาสตร์และยุคแห่งการตรัสรู้. Cambridge University Press. p. 23. ISBN .

[2] Dan Sloughter (2000) . "Best Affine Approximations"

[3] Euclid. "Euclid's Elements". สืบค้นเมื่อ 1 June 2015.

[Shenk-4] Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). p. 2.8. สืบค้นเมื่อ 1 June 2015.

[5] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. p. 510. ISBN .

[6] Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381. JSTOR 2695381.

[7] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. pp. 512–514. ISBN .

[8] Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]

[E191-9] Edwards Art. 191

[E192-10] Edwards Art. 192

[E193-11] Edwards Art. 193

[E196-12] Edwards Art. 196

[E194-13] Edwards Art. 194

[E195-14] Edwards Art. 195

[E197-15] Edwards Art. 197

[16] Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.