ทฤษฎีบทของโรลล์

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทของโรลล์ หรือ บทแทรกของโรล กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น หรืออีกนัยหนึ่งคือ จะต้องมีจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์ นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับแรก

ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ แล้วจะมีจำนวนจริง ${\displaystyle c}$ ในช่วง ${\displaystyle (a,b)}$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ ${\displaystyle f'(c)=0}$

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทของโรลล์ — ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ (โดยที่ ${\displaystyle a<b}$) และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ แล้วจะมีจำนวนจริง ${\displaystyle c}$ ในช่วง ${\displaystyle (a,b)}$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ ${\displaystyle f'(c)=0}$

ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ อีกด้วย

ประวัติ

แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย ชาวเยอรมันในปี 1834 และ ชาวอิตาลีในปี 1846

ตัวอย่าง

ครึ่งวงกลมรัศมี ${\displaystyle r}$

ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม

กำหนดรัศมี ${\displaystyle r>0}$ พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r]}$

กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [-r,r]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (-r,r)}$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย ${\displaystyle -r}$ และ ${\displaystyle r}$ ทั้งสอง

เนื่องจาก ${\displaystyle f(-r)=f(r)}$ เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ ${\displaystyle f}$ เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น

ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

${\displaystyle f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1]}$

พบว่า ${\displaystyle f(-1)=f(1)}$ แต่ไม่มีค่า ${\displaystyle c}$ ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ ${\displaystyle f'(c)=0}$ ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด ${\displaystyle x=0}$ ไม่ได้

สังเกตว่าอนุพันธ์ของ ${\displaystyle f}$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด ${\displaystyle x=0}$ แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า ${\displaystyle f}$ มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว

กรณีทั่วไป

 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:

ทฤษฎีบทของโรลล์แบบทั่วไป — พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle f}$ บนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ถ้าหากสำหรับทุก ${\displaystyle x}$ ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ พบว่า

${\displaystyle f'(x^{+}):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

และอนุพันธ์ทางซ้าย

${\displaystyle f'(x^{-}):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

หาค่าได้บน ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ แล้วจะมีจำนวนจริง ${\displaystyle c}$ ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ ที่ทำให้ลิมิตค่าหนึ่งจากในสองค่า

${\displaystyle f'(c^{+})\quad {\text{และ}}\quad f'(c^{-})}$

มีค่า ≥ 0 และอีกค่าที่เหลือ ≤ 0 (บนเส้นจำนวนจริงขยาย)

ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก ${\displaystyle x}$ แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์

ข้อสังเกต

• ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันเว้าหรือฟังก์ชันนูน แล้วอนุพันธ์ทางขวาและอนุพันธ์ทางซ้ายจะหาได้ทุกจุด ดังนั้นลิมิตขางต้นย่อมหาได้และเป็นจำนวนจริง
• รูปแบบทั่วไปนี้เพียงพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นถ้าอนุพันธ์ทางเดียวเป็น

${\displaystyle f'(x^{-})\leq f'(x^{+})\leq f'(y^{-}),\qquad x<y}$

อ้างอิง

1. Besenyei, A. (September 17, 2012). "A brief history of the mean value theorem" (PDF).
2. See . A History of Mathematics. p. 224.
3. (1964) [1931], The Gamma Function, แปลโดย Butler, Michael, , pp. 3–4

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ลิงก์ภายนอก

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Rolle theorem", , , ISBN 
• Rolle's and Mean Value Theorems ที่.
• บทพิสูจน์ใน proof: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2