ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จากเซตหนึ่งที่เรียกว่าโดเมน ไปยังอีกเซตหนึ่งที่เรียกว่าโคโดเมน (บางครั้งคำว่าอาจถูกใช้แทน แต่เรนจ์นั้นมีความหมายอื่นด้วย "โคโดเมน" จึงเป็นที่นิยมมากกว่า เพราะไม่กำกวม) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ

แนวคิด

แนวคิดที่สำคัญที่สุดคือ ฟังก์ชันนั้นเป็น "กฎ" ที่กำหนดผลลัพธ์โดยขึ้นกับสิ่งที่นำเข้ามา ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

• แต่ละคนจะมีสีที่ตนชอบ (แดง, ส้ม, เหลือง, ฟ้า, น้ำเงิน, คราม หรือม่วง) สีที่ชอบเป็นฟังก์ชันของแต่ละคน เช่น จอห์นชอบสีแดง แต่คิมชอบสีม่วง ในที่นี้สิ่งที่นำเข้าคือคน และผลลัพธ์คือ 1 ใน 7 สีดังกล่าว
• มีเด็กบางคนขายน้ำมะนาวในช่วงฤดูร้อน จำนวนน้ำมะนาวที่ขายได้เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้าภายนอกมีอุณหภูมิ 85 องศาฟาเรนไฮด์ จะขายได้ 10 แก้ว แต่ถ้าอุณหภูมิ 95 องศา จะขายได้ 25 แก้ว ในที่นี้ สิ่งที่นำเข้าคืออุณหภูมิ และผลลัพธ์คือจำนวนน้ำมะนาวที่ขายได้
• ก้อนหินก้อนหนึ่งปล่อยลงมาจากชั้นต่างๆของตึกสูง ถ้าปล่อยจากชั้นที่สอง จะใช้เวลา 2 วินาที และถ้าปล่อยจากชั้นที่แปด จะใช้เวลา (เพียง) 4 วินาที ในที่นี้ สิ่งนำเข้าคือชั้น และผลลัพธ์คือระยะเวลาเป็นวินาที ฟังก์ชันนี้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง เวลาที่ก้อนหินใช้ตกถึงพื้นกับชั้นที่มันถูกปล่อยลงมา (ดู ความเร่ง)

"กฎ" ที่นิยามฟังก์ชันอาจเป็น สูตร, หรือเป็นแค่ตารางที่ลำดับผลลัพธ์กับสิ่งที่นำเข้า ลักษณะเฉพาะที่สำคัญของฟังก์ชันคือมันจะมีผลลัพธ์เหมือนเดิมตลอดเมื่อให้สิ่งนำเข้าเหมือนเดิม ลักษณะนี้ทำให้เราเปรียบเทียบฟังก์ชันกับ "เครื่องกล" หรือ "กล่องดำ" ที่จะเปลี่ยนสิ่งนำเข้าไปเป็นผลลัพธ์ที่ตายตัว เรามักจะเรียกสิ่งนำเข้าว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) และเรียกผลลัพธ์ว่า ค่า (value) ของฟังก์ชัน

ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากที่ทั้งอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันเป็นตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตร และจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่อาร์กิวเมนต์ลงในสูตร เช่น

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

ซึ่งจะได้ค่ากำลังสองของ x ใดๆ

โดยนัยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะสามารถมีได้มากกว่าหนึ่งอาร์กิวเมนต์ เช่น

${\displaystyle g(x,y)=xy}$

เป็นฟังก์ชันที่นำตัวเลข x และ y มาหาผลคูณ ดูเหมือนว่านี่ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆดังที่เราได้อธิบายข้างต้น เพราะว่า "กฎ" ขึ้นอยู่กับสิ่งนำเข้า 2 สิ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าเราคิดว่าสิ่งนำเข้า 2 สิ่งนี้เป็น คู่อันดับ ${\displaystyle (x,y)}$ 1 คู่ เราก็จะสามารถแปลได้ว่า g เป็นฟังก์ชัน โดยที่อาร์กิวเมนต์คือคู่อันดับ ${\displaystyle (x,y)}$ และค่าของฟังก์ชันคือ ${\displaystyle xy}$

ในวิทยาศาสตร์ เรามักจะต้องเผชิญหน้ากับฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนดขึ้นจากสูตร เช่นอุณหภูมิบนพื้นผิวโลกในเวลาใดเวลาหนึ่ง นี่เป็นฟังก์ชันที่มีสถานที่และเวลาเป็นอาร์กิวเมนต์ และให้ผลลัพธ์เป็นอุณหภูมิของสถานที่และเวลานั้นๆ

เราได้เห็นแล้วว่าแนวคิดของฟังก์ชันไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วยตัวเลขเท่านั้น และไม่ได้จำกัดอยู่แค่การคำนวณด้วย แนวคิดของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เป็นแนวคิดโดยทั่วไปและไม่ได้จำกัดอยู่แค่สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเท่านั้น แน่นอนว่าฟังก์ชันเชื่อมโยง "โดเมน" (เซตของสิ่งนำเข้า) เข้ากับ "โคโดเมน" (เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้) ดังนั้นสมาชิกแต่ละตัวของโดเมนจะจับคู่กับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของโคโดเมนเท่านั้น ฟังก์ชันนั้นนิยามเป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอน ดังที่จะกล่าวต่อไป เป็นเหตุจากลักษณะทั่วไปนี้ แนวคิดรวบยอดของฟังก์ชันจึงเป็นพื้นฐานของทุกสาขาในคณิตศาสตร์

ประวัติ

ในทางคณิตศาสตร์ "ฟังก์ชัน" บัญญัติขึ้นโดย ไลบ์นิซ ใน พ.ศ. 2237 เพื่ออธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง เช่น ความชันของเส้นโค้ง หรือจุดบนเส้นโค้ง ฟังก์ชันที่ไลบ์นิซพิจารณานั้นในปัจจุบันเรียกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และเป็นชนิดของฟังก์ชันที่มักจะแก้ด้วยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ สำหรับฟังก์ชันชนิดนี้ เราสามารถพูดถึงลิมิตและอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการทฤษฎีเซต พวกเขาได้พยายามนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย เซต และ ได้ให้นิยามสมัยใหม่ของฟังก์ชันออกมาเกือบพร้อมๆกัน

ในคำนิยามนี้ ฟังก์ชันเป็นเพียงกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม เป็นกรณีที่มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ความแตกต่างระหว่างคำนิยามสมัยใหม่กับคำนิยามของออยเลอร์นั้นเล็กน้อยมาก

แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่เป็นกฎในการคำนวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ในคณิตตรรกศาสตร์ และ ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง แคลคูลัสแลมบ์ดา ทฤษฎี และเครื่องจักรทัวริง

นิยามอย่างเป็นรูปนัย

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ จากข้อมูลนำเข้าในเซต ${\displaystyle X}$ ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต ${\displaystyle Y}$ (เขียนเป็น ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$) คือความสัมพันธ์ระหว่าง ${\displaystyle X}$ กับ ${\displaystyle Y}$ ซึ่ง

1. สำหรับทุกค่า ${\displaystyle x}$ ใน ${\displaystyle X}$ จะมี ${\displaystyle y}$ ใน ${\displaystyle Y}$ ซึ่ง ${\displaystyle xfy}$ ( ${\displaystyle x}$ มีความสัมพันธ์ ${\displaystyle f}$ กับ ${\displaystyle y}$) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน ${\displaystyle Y}$ อย่างน้อย ${\displaystyle 1}$ ผลลัพธ์เสมอ
2. ถ้า ${\displaystyle xfy}$ และ ${\displaystyle xfz}$ แล้ว ${\displaystyle y=z}$ นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่านำเข้า ${\displaystyle x}$ แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ ${\displaystyle y}$ จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย ${\displaystyle f(x)}$

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก ${\displaystyle X}$ ไปยัง ${\displaystyle Y}$ คือเซตย่อย ${\displaystyle f}$ ของผลคูณคาร์ทีเซียน ${\displaystyle X\times Y}$ โดยที่แต่ละค่าของ ${\displaystyle x}$ ใน ${\displaystyle X}$ จะมี ${\displaystyle y}$ ใน ${\displaystyle Y}$ ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ ${\displaystyle (x,y)}$ อยู่ใน ${\displaystyle f}$

เซตของฟังก์ชัน ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ทุกฟังก์ชันแทนด้วย ${\displaystyle Y^{X}}$ เรียกว่า สังเกตว่า ${\displaystyle |Y^{X}|=|Y|^{|X|}}$ (อ้างถึง )

ความสัมพันธ์ระหว่าง ${\displaystyle X}$ กับ ${\displaystyle Y}$ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือ ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง ${\displaystyle X}$ กับ ${\displaystyle Y}$ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือ ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างต่อไปนี้

สมาชิก ${\displaystyle 3}$ ใน ${\displaystyle X}$ สัมพันธ์กับ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ ใน ${\displaystyle Y}$ ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

สมาชิก 1 ใน ${\displaystyle X}$ ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน ${\displaystyle Y}$ ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก ${\displaystyle X}$ ไปยัง ${\displaystyle Y}$ เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น ${\displaystyle f=\{(1,d),(2,d),(3,c)\}}$ หรือเป็น

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}d,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$

โดเมน, โคโดเมน และเรนจ์

X ซึ่งคือเซตข้อมูลนำเข้าเรียกว่า โดเมนของ f และ Y ซึ่งคือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เรียกว่า โคโดเมน ของ f คือเซตของผลลัพธ์จริงๆ {f (x) : x ในโดเมน} ระวังว่าบางครั้งโคโดเมนจะถูกเรียกว่าเรนจ์ เนื่องจากความผิดพลาดจากการจำแนกระหว่างผลที่เป็นไปได้กับผลจริงๆ

ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน

คือฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นเซตเดียวกัน

ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ของอาร์กิวเมนต์และค่าที่คืนกลับมาระบุโดเมนและโคโดเมน (ตามลำดับ) ของ ดังนั้นโดเมนและโคโดเมนจะถูกกำหนดไว้ในแต่ละฟังก์ชัน แต่เรนจ์จะเกี่ยวกับว่าค่าที่คืนกลับมาจะเป็นอย่างไร

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชันทั่วถึง และฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

เราสามารถแบ่งฟังก์ชันตามลักษณะความสัมพันธ์ได้ดังนี้

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1) ฟังก์ชันจะคืนค่าที่ไม่เหมือนกันหากนำเข้าค่าคนละค่ากัน กล่าวคือ ถ้า x₁ และ x₂ เป็นสมาชิกของโดเมนของ f แล้ว f (x₁) = f (x₂) ก็ต่อเมื่อ x₁ = x₂

• ฟังก์ชันทั่วถึง (แบบ onto) ฟังก์ชันจะมีเรนจ์เท่ากับโคโดเมน กล่าวคือ ถ้า y เป็นสมาชิกใดๆของโคโดเมนของ f แล้วจะมี x อย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง f (x) = y

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันทั่วถึง มักจะใช้แสดงว่าเซต X และเซต Y มีขนาดเท่ากัน

ภาพ และบุพภาพ

(image) ของ xโดยที่ x ∈ X ภายใต้ f คือผลลัพธ์ f (x)

ภาพของเซตย่อย A⊂X ภายใต้ f คือเซตย่อย Y ซึ่งมีนิยามดังนี้

f[A] = {f (x)  | x อยู่ใน A}

บางครั้ง อาจใช้ f (A) แทน f[A]

สังเกตว่าเรนจ์ของ f คือภาพ f (X) ของโดเมนของมัน. ในฟังก์ชันข้างบน ภาพของ {2, 3} ภายใต้ f คือ f ({2, 3}) = {c, d} และเรนจ์ของ f คือ {c, d}

(preimage) (หรือ ภาพผกผัน) ของเซต B ⊂ Y ภายใต้ f คือเซตย่อยของ X ซึ่งมีนิยามคือ

f ⁻¹ (B)  = {x อยู่ใน X | f (x) ∈B}

สำหรับฟังก์ชันข้างบน บุพภาพของ {a, b} คือ f ⁻¹ ({a, b}) = {1}

ตัวอย่างฟังก์ชัน

• ความสัมพันธ์ wght ระหว่างบุคคลกับน้ำหนักในเวลาใดเวลาหนึ่ง
• ความสัมพันธ์ cap ระหว่างประเทศกับเมืองหลวงของประเทศนั้น
• ความสัมพันธ์ sqr ระหว่างจำนวนธรรมชาติ n กับกำลังสอง n²
• ความสัมพันธ์ ln ระหว่างจำนวนจริงบวก x กับ ln (x) แต่ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจริงกับลอการิทึมฐานธรรมชาตินั้นไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะว่าจำนวนจริงทุกจำนวนไม่ได้มีลอการิทึมฐานธรรมชาติ นั่นคือเป็นความสัมพันธ์ไม่ทั้งหมด
• ความสัมพันธ์ dist ระหว่างจุดบนระนาบ R² กับระยะทางจากจุดกำเนิด (0,0)

ชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร พหุนาม เลขยกกำลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่คำนี้จะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน () เช่น และฟังก์ชันแกมมา

คุณสมบัติของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันอาจเป็น

• ฟังก์ชันคู่หรือคี่
• ฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันเชิงซ้อน
• หรือ

ฟังก์ชันแบบ n-ary : ฟังก์ชันหลายตัวแปร

ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่ และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ triple ((x,y,z)) ของจำนวนจริง

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันหนึ่งเป็นเซตย่อยของ ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ n เซต แล้ว เราเรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชัน n-ary ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน dist มีโดเมน ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ จึงเป็น ในกรณีนี้ dist ((x,y)) เขียนอย่างง่ายเป็น dist (x,y)

การดำเนินการ ก็เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรชนิดหนึ่ง ในพีชคณิตนามธรรม ตัวดำเนินการเช่น "*" นั้นนิยามจากฟังก์ชันทวิภาค เมื่อเราเขียนสูตรเช่น x*y ในสาขานี้ เสมือนกับว่าเราเรียกใช้ฟังก์ชัน * (x,y) โดยปริยาย เพียงแต่เขียนในรูป (infix notation) ซึ่งสะดวกกว่า

ตัวอย่างที่สำคัญทางทฤษฎีตัวอย่างหนึ่งคือ ซึ่งใช้แนวคิดของฟังก์ชันเป็นศูนย์กลาง ด้วยวิธีนี้ การจัดการฟังก์ชันหลายตัวแปรทำได้เหมือนเป็นการดำเนินการ ซึ่งแคลคูลัสแลมบ์ดา มีวากยสัมพันธ์ (syntax) ให้เรา

การประกอบฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน f: X → Y และ g:Y → Z สามารถประกอบกันได้ ซึ่งจะได้ผลเป็น g o f: X → Z ซึ่งมีนิยามคือ (g o f) (x) = g (f (x)) สำหรับทุกค่าของ x ใน X ตัวอย่างเช่น สมมติว่าความสูงของเครื่องบินที่เวลา t เป็นไปตามฟังก์ชัน h (t) และความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศที่ความสูง x เป็นไปตามฟังก์ชัน c (x) ดังนี้น (c o h) (t) จะบอกความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศรอบๆเครื่องบินที่เวลา t

ฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน f: X → Y เป็น แล้ว พรีอิเมจของสมาชิก y ใดๆในโคโดเมน Y จะเป็นเซตโทน ฟังก์ชันจาก y ∈ Y ไปยังพรีอิเมจ f ⁻¹ (y) ของมัน คือฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน ของ f เขียนแทนด้วย f ⁻¹

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันผกผันสำหรับ f (x) = 2x คือ f ⁻¹ (x) = x/2 ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันที่ย้อนการกระทำของฟังก์ชันต้นแบบของมัน ดู

บางครั้งฟังก์ชันผกผันก็หายากหรือไม่มี พิจารณา ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันเมื่อโดเมนของ ${\displaystyle f}$ คือ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. {{-->-->-->}}