โคโดเมน อ งกฤษ codomain หร อ เซตเป าหมาย อ งกฤษ target set ของฟ งก ช น ค อเซตซ งผลล พธ ท ออกมาจากฟ งก ช นจะต องตกไปอย ภา

โคโดเมน (อังกฤษ: codomain) หรือ เซตเป้าหมาย (อังกฤษ: target set) ของฟังก์ชัน คือเซตซึ่งผลลัพธ์ที่ออกมาจากฟังก์ชันจะต้องตกไปอยู่ภายใต้เซตนั้น โคโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y คือเซต Y

โคโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y คือเซต Y (สีน้ำเงิน)

โคโดเมนเป็นส่วนหนึ่งของการนิยามฟังก์ชันรูปแบบใหม่เป็นสามสิ่งอันดับ (X, Y, F) ซึ่ง F คือเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน X × Y เซตของสมาชิกทั้งหมดที่ทำให้เกิด f (x) โดยที่ x เป็นสมาชิกบางส่วนของ X จะเรียกว่าเป็นของ f ซึ่งอิมเมจของฟังก์ชันนี้จะเป็นเซตย่อยของโคโดเมน โดยไม่สำคัญว่าจะต้องมีขนาดเท่ากับโคโดเมน นั่นคือสำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง จะยังคงมีสมาชิก y เหลืออยู่ในโคโดเมน ซึ่งทำให้สมการ f (x) = y ไม่มีคำตอบ

รูปแบบการนิยามฟังก์ชันแบบเก่าที่ไม่ได้ระบุโคโดเมนลงไปก็ยังเป็นที่นิยมอยู่ ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีเซต สามารถกำหนดได้ว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ X ซึ่งในกรณีดังกล่าวจะไม่มีสิ่งใดที่เหมือนสามสิ่งอันดับ (X, Y, F) และนิยามของฟังก์ชันนั้นจะไม่มีโคโดเมน ถึงแม้ว่าผู้แต่งตำราบางท่านยังคงใช้การนิยามฟังก์ชันในรูปแบบ f : X → Y อยู่เช่นเดิม

ตัวอย่าง

สำหรับฟังก์ชัน f : R → R ที่นิยามโดย f : x ↦ x² หรือเทียบเท่ากับ f (x) = x² โคโดเมนของ f คือ R แต่ f ไม่ได้ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบใด ๆ เลย ดังนั้นอิมเมจของ f คือเซต R₀⁺ นั่นคือช่วง [0, ∞)

กำหนดอีกฟังก์ชันเป็น g : R → R₀⁺ โดยที่ g : x ↦ x² ถึงแม้ว่า f และ g จะมีค่าที่ป้อนเข้าและให้ผลลัพธ์เหมือนกัน แต่ฟังก์ชันทั้งสองนี้ก็ไม่จัดว่าเหมือนกันในมุมมองแบบใหม่ เพราะต่างกันตรงที่โคโดเมนของ g คือ R₀⁺

กำหนดฟังก์ชันที่สาม h : x ↦ √x ฟังก์ชันนี้ต้องนิยามโดเมนให้เป็น R₀⁺ จึงจะสามารถใช้ได้ นั่นคือ h : R₀⁺ → R

สมมติว่า h ∘ f กับ h ∘ g ได้ถูกนิยามขึ้นแล้ว ฟังก์ชัน h ∘ f จะไม่มีประโยชน์อันใด เพราะถ้าหากไม่นิยามให้ดีแล้ว เราจะไม่ทราบว่าอิมเมจของ f คืออะไร ทราบเพียงว่าเป็นเซตย่อยของ R นั่นคืออาจมีความเป็นไปได้ว่าเมื่อใส่อาร์กิวเมนต์บางค่าลงใน h ∘ f แล้วจะไม่ให้ผลลัพธ์ใดออกมาเลย เช่นสมาชิกจำนวนลบสามารถใส่ได้ใน f แต่ไม่นิยามใน h ฟังก์ชันประกอบจะมีประโยชน์เมื่อโคโดเมน (ไม่ใช่อิมเมจ) ของฟังก์ชันข้างขวา เป็นเซตเดียวกับโดเมนของฟังก์ชันข้างซ้าย (โคโดเมนของ f คือ R แต่โดเมนของ h คือ R₀⁺)

อ้างอิง

Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, p. 10–11, ISBN
Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN ; quote 1, quote 2
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, p. 8, ISBN
Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, p. 232, ISBN
Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, p. 91, ISBN
Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, p. 89, ISBN

[1] Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, p. 10–11, ISBN

[2] Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN ; quote 1, quote 2

[3] Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, p. 8, ISBN

[4] Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, p. 232, ISBN

[5] Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, p. 91, ISBN

[6] Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, p. 89, ISBN