จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (อังกฤษ: Integer, เยอรมัน: Ganze Zahl, ฝรั่งเศส: nombre entier) คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 51/2, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เศษของจำนวนเต็มเป็นเศษย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, ...) ศูนย์ (0) และตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (−1, −2, −3, ...)

เครื่องหมายตัวหนากระดานดำ ℤ มักใช้เพื่อแสดงเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด (ดูเพิ่มที่ (รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์))

เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา (หรือ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , ℤ U+2124) มาจากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen [ˈtsaːlən] แปลว่าจำนวน

จำนวนเต็ม (พร้อมด้วยการดำเนินการการบวก) ก่อร่างเป็นกรุปเล็กที่สุดอันประกอบด้วยเชิงการบวกของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มก่อให้เกิดเซตอนันต์นับได้เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ในทำให้เข้าใจได้โดยสามัญว่า จำนวนเต็มซึ่งฝังตัวอยู่ในฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจากที่ได้นิยามไว้กว้างกว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนนับ

สมบัติทางพีชคณิต

Z เป็นสำหรับการดำเนินการการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ ผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนเต็ม แต่ Z ยังเป็นเซตปิด เมื่อรวมจำนวนธรรมชาติลบและ 0 ด้วย แต่ Z ไม่เป็นเซตปิดสำหรับการหาร เนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มไม่เปิดเซตปิดภายใต้การยกกำลัง ซึ่งต่างจากจำนวนธรรมชาติ (เพราะเมื่อยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นบวกจะได้เศษส่วน)

ตารางด้านล่างแสดงสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม ${\displaystyle a,b}$ และ ${\displaystyle c}$ ใด ๆ

กรณีการคูณ นิยมเขียน ${\displaystyle a\times b}$ ด้วย ${\displaystyle ab}$

สมบัติการบวกและการคูณจำนวนเต็ม

	การบวก	การคูณ
ปิด:	${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle ab\in \mathbb {Z} }$
การเปลี่ยนหมู่:	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$	${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
การสลับที่:	${\displaystyle a+b=b+a}$	${\displaystyle ab=ba}$
การมีสมาชิกเอกลักษณ์:	${\displaystyle a+0=a=0+a}$	${\displaystyle a1=a=1a}$
การมี:	${\displaystyle a+(-a)=0=-a+a}$	ไม่มีตัวผกผันสำหรับการคูณ
การแจกแจง:	${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ และ ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$
ไม่มี: (*)		ถ้า ${\displaystyle ab=0}$ แล้ว ${\displaystyle a=0}$ หรือ ${\displaystyle b=0}$

ตามศัพท์ของพีชคณิตนามธรรม คุณสมบัติห้าข้อแรกข้างบนสามารถบอกได้ว่าเซต Z กับการบวกเป็น กรุปสลับที่ หรือ อาบิเลียนกรุป

สมบัติการเรียงลำดับ

Z เป็น ที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

จำนวนเต็มใด ๆ จะเป็นจำนวนบวก เมื่อมีค่ามากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ เมื่อมีค่าน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

การเรียงลำดับจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต ดังนี้

1. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d
2. ถ้า a < b และ 0 < c แล้ว ac < bc
3. ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc.

จำนวนเต็มในการคำนวณ

จำนวนเต็มมักเป็นชนิดข้อมูลพื้นฐานในภาษาโปรแกรม แต่จำนวนเต็มในภาษาโปรแกรมมีความจุจำกัด และมักมีจำนวนบิตที่ตายตัว ทำให้สามารถเก็บค่าได้แค่บางส่วนจากจำนวนเต็มทั้งหมดทางคณิตศาสตร์ แต่ในอีกด้านหนึ่ง แบบจำลองทางทฤษฎีทางคำนวณ เช่น เครื่องจักรทัวริง สมมุติให้เครื่องคำนวณมีความจุไม่มีที่สิ้นสุด (a+)-b

อ้างอิง

1. https://www.techtarget.com/whatis/definition/integer#:~:text=An%20integer%20(pronounced%20IN%2Dtuh,%2C%20.09%2C%20and%205%2C643.1.
2. Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". สืบค้นเมื่อ 2010-09-20.

แหล่งข้อมูลอื่น

• The Positive Integers - divisor tables and numeral representation tools