อนุกรมอนันต์

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม (อังกฤษ: series) คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น ${\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},...}$ อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...}$ อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ ${\displaystyle \{1/2^{n}\}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }$

พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์(infinite series) อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

สมบัติพื้นฐาน

อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้

กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ เรานิยามให้

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}$

เราเรียก ${\displaystyle S_{N}}$ ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ของ อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน ${\displaystyle \{S_{N}\}}$

ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น

เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ ${\displaystyle \{S_{N}\}}$ ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น

${\displaystyle \sum a_{n}}$

หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้

และลู่ออก

อนุกรม ∑${\displaystyle a_{n}}$ จะเรียกว่า (converge) เมื่อลำดับ ${\displaystyle \{S_{N}\}}$ ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ ${\displaystyle S_{N}}$ เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}$

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ ${\displaystyle a_{n}}$ ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }$

อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2

นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้

${\displaystyle x=0.111\dots }$

เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม ${\displaystyle 0.1+0.01+0.001+...}$ แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)

ตัวอย่างอนุกรม

• อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}}$

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle |z|<1}$

• คืออนุกรมดังนี้

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}$

เป็นอนุกรมลู่ออก

• อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}}$

• สำหรับอนุกรมนี้

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ r > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ r ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ r ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

• สำหรับนี้

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ ${\displaystyle b_{n}}$ ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ ${\displaystyle b_{1}-L}$

สมบัติอื่น ๆ

อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้โดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ ${\displaystyle a_{n}}$ (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ ${\displaystyle a_{n}}$ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย

พจน์ที่ไม่เป็นลบ

เมื่อ ${\displaystyle a_{n}}$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ ${\displaystyle S_{N}}$ ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑${\displaystyle a_{n}}$ ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ ${\displaystyle S_{N}}$ ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}$

เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2}$

และทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2

การลู่เข้าสัมบูรณ์

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$

ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก

อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }$

เป็น (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นซึ่งลู่ออก กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า ${\displaystyle a_{n}}$ เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S

(Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$

เมื่อผลรวมบางส่วน ${\displaystyle B_{N}=b_{0}+...+b_{N}}$ ถูกจำกัดขอบเขต, ${\displaystyle \lambda _{n}}$ เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ ${\displaystyle \lambda _{n}B_{n}}$ มีลิมิต

${\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges}}}$

แล้วอนุกรม ∑${\displaystyle a_{n}}$ จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}$

โดยที่ ${\displaystyle 0<x<2\pi }$ วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน ${\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$ และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่า) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑${\displaystyle a_{n}}$ เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้

${\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}}$

อ้างอิง

• An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

ดูเพิ่ม

• อนุกรมเลขคณิต
• อนุกรมเรขาคณิต
• ปัญหาบาเซิล
• อนุกรมกรันดี