การนำความร อน อ งกฤษ Thermal conduction ม กแทนด วย k λ หร อ κ เป นการถ ายโอน Internal energy ผ านการชนของอน ภาคในระด บจ

...การนำความร้อน (อังกฤษ: Thermal conduction; มักแทนด้วย k, λ หรือ κ) เป็นการถ่ายโอน (Internal energy) ผ่านการชนของอนุภาคในระดับจุลทรรศน์และการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนภายในวัตถุ ๆ หนึ่ง อนุภาคที่มีการชนกันนี้ซึ่งรวมถึงโมเลกุล อะตอม และอิเล็กตรอนถ่ายโอนพลังงานศักย์และจลน์อย่างไม่เป็นระเบียบในระดับจุลทรรรศน์ซึ่งรวมกันเรียกว่าพลังงานภายใน การนำเกิดขึ้นในทุกสถานะ (phase (matter)) ของสสาร ได้แก่ของแข็ง ของเหลว แก๊ส และคลื่น

ความร้อนไหลจากวัตถุที่ร้อนกว่าไปสู่วัตถุที่เย็นกว่าตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นความร้อนจะถูกนำจากแผ่นให้ความร้อนของเตาไฟฟ้าไปหาด้านใต้ของกระทะที่วางไว้ด้านบน หากไม่มีแหล่งพลังงานจากภายนอก ภายใน หรือระหว่างวัตถุซึ่งคอยขับเคลื่อนอยู่ ความแตกต่างของอุณหภูมิก็จะสลายลงเมื่อเวลาผ่านไปและเข้าสู่สภาวะ (thermal equilibrium) นั่นก็คืออุณหภูมิมีความเป็นเอกรูปหรือสม่ำเสมอ

ในการนำนั้นความร้อนไหลอยู่ภายในและไหลผ่านตัววัตถุเอง ในทางกลับกันความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านการแผ่รังสีความร้อนนั้นถูกถ่ายเทระหว่างวัตถุที่อาจอยู่ห่างกัน หรือความร้อนอาจถูกถ่ายเทได้ด้วยทั่งสองวิธีผสมกัน ส่วนการพาความร้อนนั้น (convection) พลังงานภายในถูกขนส่งระหว่างวัตถุด้วยวัสดุที่เป็นพาหะเคลื่อนที่ การนำความร้อนภายในของแข็งเป็นการรวมกันระหว่างการสั่นและการชนกันของโมเลกุล การแผ่และการชนกันของโฟนอน กับการแพร่และการชนกันของ (free electron model) การนำความร้อนภายในของไหลเช่นแก็สและของเหลวเกิดจากการชนกันและ (molecular diffusion) ระหว่างที่เคลื่อนไหลแบบสุ่ม โฟตอนในบริบทนี้ไม่ชนกันและดังนั้นความร้อนที่ถูกถ่ายเทผ่านรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจึงแตกต่างในทางแนวคิดจากการนำความร้อนโดยการแพร่และการชนกันของอนุภาคและโฟนอนในระดับจุลทรรศน์ แต่ความแตกต่างนั้นไม่สามารถสังเกตได้ง่ายเว้นแต่วัสดุนั้นกึ่งโปร่งใส

ในศาสตร์ทางด้านวิศวกรรม การถ่ายเทความร้อนรวมกระบวนการการแผ่รังสีความร้อน การพาความร้อน และการถ่ายเทมวลในบางครั้ง แต่โดยทั่วไปแล้วในสถานการณ์ใด ๆ ก็มักจะเกิดกระบวนการเหล่านี้อย่างน้อยมากกว่าหนึ่งแบบ

สัญลักษณ์สัญนิยมของ (thermal conductivity) คือ k

ภาพรวม

การนำความร้อนในระดับจุลทรรศน์ถือว่าเกิดขึ้นในวัตถุที่นิ่ง หมายความว่าพลังงานศักย์และจลน์จากการเคลื่อนที่ของวัตถุจะนำมาพิจารณาแยกกัน พลังงานภายในแพร่ไปผ่านการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอะตอมหรือโมเลกุลที่เคลื่อนที่อย่างรวดเร็วกับอนุภาคใกล้เคียงซึ่งเป็นการถ่ายเทพลังงานจลน์และศักย์ระดับจุลทรรศน์ให้กัน และปริมาณเหล่านี้ถูกนิยามสัมพัทธ์กับวัตถุซึ่งเราถือว่าอยู่นิ่ง การถ่ายเทความร้อนผ่านการนำเกิดจากการชนกันของอะตอมหรือโมเลกุลที่อยู่เคียงกัน การเคลื่อนที่ไปมาอย่างไม่เป็นระเบียบระหว่างอะตอมของอิเล็กตรอนซึ่งไม่ก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้าในระดับมหทรรศน์ หรือการชนและการกระเจิงของโฟตอน

(Thermal contact conductance) เป็นการศึกษาการนำความร้อนระหว่างวัตถุแข็งซึ่งสัมผัสกัน อุณหภูมิมักจะมีความต่างกันที่หน้าสัมผัสระหว่างผิวทั้งสอง ปรากฏการณ์นี้เป็นผลมาจากความต้านทานของสัมผัสทางความร้อนที่มีอยู่ระหว่างผิวสัมผัส (Interfacial thermal resistance) เป็นการวัดความต้านทานของหน้าสัมผัสต่อการไหลของความร้อนและต่างจากความต้านทานของสัมผัสเพราะยังมีอยู่แม้ในหน้าสัมผัสที่สมบูรณ์แบบแล้วในระดับอะตอม การทำความเข้าใจความต้านทางทางความร้อนที่หน้าสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่างเป็นส่วนที่มีความสำคัญหลักในการศึกษาสมบัติทางความร้อนของวัสดุนั้น หน้าสัมผัสมักส่งผลต่อสมบัติของวัสดุที่เราจะสังเกตเห็นอย่างมีนัยสำคัญ

การถ่ายเทพลังงานระหว่างโมเลกุลอาจเกิดขึ้นจากการชนกันแบบยืดหยุ่นเช่นแบบของไหล หรือผ่านการแพร่ของอิเล็กตรอนอิสระแบบในโลหะ หรือผ่านการสั่นโฟนอนแบบในฉนวน การไหลของพลังงานความร้อน (ฟลักซ์ความร้อน) ในฉนวนความร้อนเกิดขึ้นจากการสั่นโฟนอนเกือบทั้งหมด

โลหะ (เช่น ทองแดง ทองคำขาว ทองคำ ฯลฯ) ส่วนใหญ่นำพลังงานความร้อนได้ดีเนื่องเพราะลักษณะของพันธะเคมีของโลหะ: พันธะโลหะ (ตรงข้ามกับพันธะโคเวเลนต์หรือพันธะไอออนิก) มีอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ได้อิสระซึ่งสามารถถ่ายเทพลังงานความร้อนผ่านโลหะได้อย่างรวดเร็ว อิเล็กตรอนเหลวของโลหะแข็งที่เป็นตัวนำเป็นตัวที่นำฟลักซ์ความร้อนผ่าน ฟลักซ์โฟนอนยังมีอยู่แต่ถ่ายเทพลังงานน้อยกว่า นอกจากนั้นอิเล็กตรอนยังเป็นสิ่งที่นำกระแสไฟฟ้าผ่านตัวนำของแข็ง ตัวนำไฟฟ้าที่ดีเช่นทองแดงก็นำความร้อนได้ดีเช่นกัน (Thermoelectricity) เกิดจากปฏิสัมพันธ์ของฟลักซ์ความร้อนกับกระแสไฟฟ้า การนำความร้อนภายในของแข็งเทียบได้โดยตรงกับการแพร่ของอนุภาคในของเหลวที่ไม่มีกระแสการไหล

การถ่ายเทความร้อนภายในแก็สเกิดจากการชนกันของโมเลกุลแก็ส ในกรณีที่ไร้การพาความร้อนซึ่งปกติแล้วข้องเกี่ยวกับเฟสแก็สหรือของไหลที่เคลื่อนที่ การนำความร้อนผ่านเฟสแก็สขึ้นอยู่กับองค์ประกอบและความดันของเฟสเป็นหลัก กล่าวโดยเฉพาะคือมันขึ้นอยู่กับเส้นทางอิสระเฉลี่ยของโมเลกุลแก็สเมื่อเทียบกับขนาดของช่องว่างของแก็สตามที่ถูกกำหนดโดย (Knudsen number) $K_{n}$

วิศวกรนำ k มาใช้เพื่อบ่งบอกความสามารถในการนำของสื่อกลาง นิยามของ k คือ "ปริมาณความร้อน Q ที่ถ่ายเทตามเวลา (t) ผ่านความหนา (L) ในทิศแนวฉากกับพื้นที่ผิว (A) ซึ่งเกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิ (ΔT) [...]" สภาพนำความร้อนเป็นสมบัติของวัสดุที่ขึ้นอยู่กับเฟส อุณหภูมิ ความหนาแน่น และพันธะโมเลกุลของสื่อกลางตัวนั้นเป็นหลัก เป็นจำนวนซึ่งหาได้จากสภาพนำความร้อนและถูกนำมาใช้เพื่อวัดความสามารถในการแลกเปลี่ยนพลังงานความร้อนกับภาวะแวดล้อมของวัตถุนั้น

การนำความร้อนในสภาวะคงที่

การนำความร้อนในสภาวะคงที่ (อังกฤษ: Steady-state conduction) เป็นการนำความร้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเกิดขึ้นเมื่อความแตกต่างของอุณหภูมิซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนนั้นมีค่าคงตัว โดยหลังเวลาสมดุล (Equilibration time) ผ่านไปการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิ (สนามอุณหภูมิ) ในวัตถุซึ่งนำความร้อนนั้นไม่เปลี่ยนแปลงอีก ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของอุณหภูมิเทียบกับปริภูมินั้นสามารถมีค่าได้ทั้งที่เป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์แต่อนุพันธ์ของอุณหภูมิเทียบกับเวลานั้นเท่ากับศุนย์โดยทั่วกัน ปริมาณของความร้อนซึ่งเข้าสู่บริเวณใด ๆ ของวัตถุนั้นเท่ากับปริมาณความร้อนซึ่งออกไปในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอุณหภูมิของวัตถุอาจสูงขึ้นหรือต่ำลงขณะที่พลังงานถูกนำออกหรือกักไว้ในบริเวณนั้น)

ตัวอย่างเช่น วัตถุแท่งหนึ่งอาจเย็นที่ปลายหนึ่งและร้อนที่อีกปลาย และหลังจากอยู่ในสภาวะของการนำความร้อนในสภาวะคงที่แล้วเกรเดียนต์เชิงพื้นที่ของอุณหภูมิตามแนวของแท่งนั้นก็จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกแม้เวลาผ่านไปและอุณหภูมิที่หน้าตัดตามแนวฉากของการถ่ายเทความร้อน ณ จุดใด ๆ ของแท่งนั้นก็จะมีค่าคงตัว โดยอุณหภูมินี้มีการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นตามตำแหน่งในปริภูมิในกรณีที่ไม่มีการผลิตความร้อนในแท่งนั้น

กฎต่าง ๆ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไฟฟ้ากระแสตรงนั้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับ "กระแสความร้อน" ในการนำความร้อนในสภาวะคงที่ได้โดยตรง เราจึงสามารถเทียบ "ความต้านทานความร้อน" ได้กับความต้านทานไฟฟ้า อุณหภูมิทำหน้าที่คล้ายแรงดันไฟฟ้าและความร้อนที่ถูกถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (กำลังความร้อน) สามารถเทียบได้กับกระแสไฟฟ้า ระบบสภาวะคงที่สามารถถูกจำลองเป็นเครือข่ายของความต้านความร้อนที่ต่อกันแบบอนุกรมและขนานซึ่งสามารถเทียบได้กับเครือข่ายของตัวต้านทานกระแสไฟฟ้า สำหรับตัวอย่างของเครือข่ายแบบนี้ ดู (Lumped-element model)

การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่

การนำความร้อนชั่วครู่ (อังกฤษ: Transient conduction) คือวิธีการไหลของพลังงานความร้อนซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนตามเวลา ณ บริเวณใด ๆ ของวัตถุ การนำความร้อนชนิดนี้มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" ซึ่งหมายถึงสนามอุณหภูมิของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงขึ้นกับเวลา สภาวะไม่คงที่เกิดขึ้นหลังจากที่อุณหภูมิตรงขอบของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลง หรือยังสามารถเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิภายในวัตถุซึ่งเป็นผลจากแหล่งกำเนิดหรือแหล่งระบายความร้อนที่ถูกใส่เข้าไปในวัตถุและทำให้อุณหภูมิที่อยู่รอบแหล่งนั้นเปลี่ยนแปลงตามเวลา

เมื่อมีการรบกวนของอุณหภูมิในลักษณะนี้ อุณหภูมิในระบบก็จะเปลี่ยนแปลงตามเวลาและเคลื่อนไปหาสมดุลใหม่พร้อมกับเงื่อนไขใหม่ หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงอีกครั้งหลังถึงจุดสมดุลแล้ว ความร้อนที่ไหลเข้าระบบและไหลออกจากระบบจะเท่ากันและอุณหภูมิที่จุดใด ๆ ของวัตถุก็ไม่เปลี่ยนแปลงอีก เมื่อกระบวนการทั้งหมดเกิดขึ้นแล้ว การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะจบลงแต่การนำความร้อนในสภาวะคงที่อาจเกิดขึ้นต่อไปได้หากมีการไหลของความร้อนต่อไป

หากอุณหภูมิภายนอกหรือการผลิตความร้อนภายในมีการเปลี่ยนแปลงที่ฉับไวมากเกินไปจนสมดุลของอุณหภูมิไม่สามารถเกิดขึ้นได้แล้ว ระบบนั้นก็จะไม่มีวันกลับไปสู่สภาวะที่การกระจายตัวของอุณหภูมิไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและจะคงอยู่ในสภาวะไม่คงที่

การติดเครื่องยนต์ในยานพาหนะเป็นตัวอย่างอันหนึ่งของแหล่งของความร้อนที่ "ถูกเปิด" ภายในวัตถุซึ่งก่อให้เกิดการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ และจะเปลี่ยนจากการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่เป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่เมื่อเครื่องยนต์ถึง (Operating temperature) แล้ว อุณหภูมิในเครื่องยนต์และส่วนอื่นของยานพาหนะต่างกันอย่างมากในสมดุลสภาวะคงที่ แต่ไม่มีบริเวณใดในยานพาหนะที่อุณหภูมิจะมีการเปลี่ยนแปลง การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จบลงหลังจากได้เกิดสภาวะนี้แล้ว

ภาวะภายนอกแบบใหม่สามารถทำให้กระบวนการนี้เกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น แท่งทองแดงซึ่งมีการนำความร้อนในสภาวะคงที่ก็จะกลายเป็นการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ทันทีที่ปลายข้างหนึ่งมีอุณหภูมิที่ต่างจากเดิม เมื่อเวลาผ่านไปสนามของอุณหภูมิภายในแท่งก็จะอยู่ในสภาวะคงที่ใหม่ซึ่งมีเกรเดียนต์ของอุณหภูมิที่คงตัว โดยปกติแล้วก็จะเข้าใกล้เกรเดียนต์ของสภาวะคงที่อันใหม่ในแบบชี้กำลังตามเวลา เมื่อเฟสของ "การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่" จบลง ความร้อนยังสามารถไหลด้วยแรงสูงได้ตราบใดที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ

ตัวอย่างของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ซึ่งไม่จบด้วยการเปลี่ยนเป็นการนำความร้อนในสภาวะคงที่แต่จบด้วยการไม่มีการนำความร้อนต่อเช่น ลูกบอลทองแดงร้อน ๆ ที่ปล่อยลงในหม้อนำมันที่มีอุณหภูมิต่ำ สนามของอุณหภูมิภายในวัตถุเริ่มเปลี่ยนแปลงตามเวลาขณะที่ความร้อนถูกนำออกไปจากโลหะ และความสนใจอยู่ที่การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของอุณหภูมิภายในวัตถุตามเวลาจนเกรเดียนต์ใด ๆ หายไปทั้งหมด (หรือก็คือลูกบอลมีอุณหภูมิเดียวกันกับน้ำมัน) ในทางคณิตศาสตร์ภาวะนี้ก็จะเข้าใกล้ในแบบชี้กำลัง (approached exponentially) ในทางทฤษฎีก็ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ แต่ในทางปฏิบัติถือว่าจบลงแล้วด้วยระยะเวลาที่สั้นกว่าอย่างมาก ที่จุดจบของกระบวนการไม่มีแหล่งระบายความร้อนอื่นนอกจากส่วนในของลูกบอล (ซึ่งมีอยู่จำกัด) จึงไม่มีการนำความร้อนในสภาวะคงที่เกิดขึ้นต่อ สภาวะนี้ไม่มีวันเกิดขึ้นในเหตุการณ์แบบนี้และกระบวนการจะจบลงเมื่อไม่มีการนำความร้อนใด ๆ เลย

การวิเคราะห์ระบบของการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่นั้นซับซ้อนกว่าระบบในสภาวะคงที่อย่างมาก หากวัตถุนำความร้อนมีรูปร่างแบบง่าย แล้วการแสดงออกและคำตอบทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์จะสามารถทำได้อย่างแม่นยำ (ดูสมการความร้อนสำหรับแนวทางเชิงวิเคราะห์) อย่างไรก็ตามเรามักจำเป็นต้องนำทฤษฎีแบบประมาณมาใช้หรือต้องพึ่งพาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของคอมพิวเตอร์เนื่องด้วยที่มีความแตกต่างกันเองภายในวัตถุรูปร่างซับซ้อน (นั่นคือ วัตถุที่ซับซ้อนส่วนใหญ่ กลไก หรือเครื่องต่าง ๆ ของวิศวกรรม) วิธีการทางกราฟที่เป็นที่นิยมแบบหนึ่งคือการใช้ (Heisler Chart)

บางครั้งปัญหาเกี่ยวกับการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่จะง่ายลงอย่างมากถ้าสามารถระบุบริเวณที่ร้อนขึ้นหรือเย็นลงได้ เพราะในบริเวณนั้นมีค่ามากกว่าของวิถีความร้อนที่เข้าบริเวณนั้น บริเวณที่มีสภาพนำสูงจึงสามารถถูกปฏิบัติเป็น (lumped capacitance model) ได้ โดยถือได้ว่าเป็น "ก้อน" ของวัสดุที่มีความจุความร้อนแบบง่ายซึ่งประกอบไปด้วย (heat capacity) รวมของมัน บริเวณนี้ร้อนขึ้นหรือเย็นลงระหว่างกระบวนการแต่ไม่มีการแปรผันของอุณหภูมิที่มีนัยสำคัญภายในขอบเขตของบริเวณ (เมื่อเทียบกับส่วนอื่น ๆ ของระบบ) นี่เป็นเพราะความนำที่สูงกว่าอย่างมาก ดังนั้นระหว่างการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่อุณหภูมิตลอดบริเวณที่นำความร้อนจะเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอในปริภูมิและใช้เวลาแบบชี้กำลังง่าย ๆ ตัวอย่างของระบบเหล่านี้คือระบบที่ปฏิบัติตัวตาม (Newton's law of cooling) ระหว่างการเย็นลงในสภาวะไม่คงที่ (หรือในทางกลับกันระหว่างการทำความร้อน) วงจรความร้อนที่สมมูลกับระบบนี้ประกอบไปด้วยตัวเก็บ (capacitor) ที่ต่อแบบอนุกรมกับตัวต้านทาน ส่วนที่เหลือของระบบซึ่งมีความต้านทานความร้อนสูง (สภาพนำที่ต่ำกว่าเมื่อเทียบกัน) ทำหน้าที่เป็นตัวต้านทานในวงจรนั้น

การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ

ทฤษฎี (อังกฤษ: Relativistic conduction) เป็นแบบจำลองที่เข้ากันกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ตลอดเวลาส่วนใหญ่ของศตวรรษที่ผ่านมา สมการฟูริเอร์เป็นที่รู้จักว่าขัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพเพราะมีการยอมรับถึงความเร็วของการแพร่สัญญาณความร้อนที่มีค่าเป็นอนันต์ ตัวอย่างตามสมการฟูริเอร์เช่น จุดที่อยู่ไกลเป็นอนันต์จะสามารถรู้สึกถึงพัลส์ของความร้อนที่จุดกำเนิดได้ทันที อัตราเร็วของการแพร่ข้อมูลเร็วกว่าอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศซึ่งไม่สามารถยอมรับได้ในกรอบของสัมพัทธภาพ

การนำความร้อนเชิงควอนตัม

(Second sound) เป็นปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมที่การถ่ายเทความร้อนเกิดขึ้นผ่านการเคลื่อนที่คล้ายแทนการแพร่ซึ่งเป็นกลไกปกติ ความร้อนแทนตัวเป็นความดันในคลื่นเสียงปกติ นี่นำไปสู่ที่สูงมาก "เสียงที่สอง" มีชื่อเรียกเป็นอย่างนี้เพราะการเคลื่อนที่แบบคลื่นของความร้อนนั้นคล้ายกับการแพร่ของคลื่นเสียงในอากาศ

กฎของฟูริเอร์

กฎของฟูริเอร์ (อังกฤษ: Fourier's law) หรือกฎของการนำความร้อนกล่าวว่าอัตราการถ่ายเทความร้อนผ่านวัสดุกับเกรเดียนต์ลบของอุณหภูมิและพื้นที่ตั้งฉากกับเกรเดียนต์ที่ความร้อนไหลผ่าน เราสามารถแสดงกฎนี้เป็นรูปแบบสมมูลสองรูปแบบ: รูปปริพันธ์ซึ่งเราดูที่ปริมาณของพลังงานที่ไหลเข้าหรือออกกจากวัตถุรวมทั้งหมด และรูปอนุพันธ์ซึ่งเราดูที่อัตราไหลหรือของพลังงานเฉพาะบริเวณ (local)

เทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์แบบวิยุต (discrete) ในขณะที่กฎของโอห์มเทียบได้เป็นกฎของฟูริเอร์สำหรับไฟฟ้า และ (Fick's laws of diffusion) ก็เทียบได้เป็นแบบสำหรับเคมี

รูปอนุพันธ์

กฎการนำความร้อนของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์แสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของ (heat flux) เฉพาะบริเวณ $\mathbf {q}$ เท่ากับผลคูณของ $k$ และเกรเดียนต์ลบเฉพาะบริเวณของอุณหภูมิ $-\nabla T$ ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนคือปริมาณของพลังงานที่ไหลผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา

\mathbf {q} =-k{\nabla }T

โดย (รวมหน่วย SI)

\mathbf {q}

คือความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเฉพาะบริเวณ W·m⁻²

{\big .}k{\big .}

คือของวัสดุ W·m⁻¹·K⁻¹,

{\big .}\nabla T{\big .}

คือเกรเดียนต์อุณหภูมิ K·m⁻¹.

สภาพนำความร้อน $k$ มักถูกถือว่าเป็นค่าคงตัวแต่ก็ไม่เป็นจริงเสมอไป ถึงแม้สภาพนำความร้อนของวัสดุโดยทั่วไปแล้วจะแปรผันกับอุณหภูมิ การแปรผันมีขนาดเล็กแม้อุณหภูมิจะเปลี่ยนไปอย่างมีนัยสำคัญสำหรับวัสดุทั่ว ๆ ไป ส่วนสภาพนำความร้อนของวัสดุแอนไอโซทรอปิก (Anisotropy) โดยปกติเปลี่ยนแปลงตามทิศทางของวัตถุ ในกรณีนี้ $k$ ถูกแทนเป็น (tensor) อันดับสอง ส่วน $k$ ในวัสดุไม่สม่ำเสมอ (non-uniform) เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในปริภูมิ

สำหรับการใช้งานแบบง่าย กฎของฟูริเอร์ในรูปมิติเดียวมักถูกนำมาใช้ ในทิศทาง x

q_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}

ในวัสดุไอโซทรอปิก กฎของฟูริเอร์นำไปสู่สมการความร้อน:

${\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}}\right)$

และมีผลเฉลยหลักมูล (fundamental solution) ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อ (heat kernel)

รูปปริพันธ์

เมื่อปริพันธ์กฎของฟูริเอร์รูปอนุพันธ์ตามพื้นผิวทั้งหมดของวัสดุ $S$ เราจะได้กฎของฟูริเอร์รูปปริพันธ์:

{\frac {\partial Q}{\partial t}}=-k

\scriptstyle S

{\nabla }T\cdot \,dS

โดย (รวมหน่วย SI):

${\big .}{\frac {\partial Q}{\partial t}}{\big .}$ คือปริมาณของความร้อนที่มีการถ่ายเทต่อหน่วยเวลา (หน่วย W) และ
$dS$ คือส่วนประกอบพื้นที่ผิวที่มีทิศทาง (หน่วย m²)

เมื่อเราปริพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ด้านบนระหว่างจุดปลายสองจุดสำหรับวัสดุเอกพันธุ์ (homogeneous) หนึ่งมิติที่อุณหภูมิคงตัว จะได้อัตราไหลของความร้อนเป็น:

{\big .}{\frac {Q}{\Delta t}}=-kA{\frac {\Delta T}{\Delta x}}

โดย

\Delta t

คือช่วงเวลาที่ความร้อนปริมาณ

Q

ใช้ไหลผ่านหน้าตัดขวางของวัสดุ

A

คือพื้นที่หน้าตัด

\Delta T

คือความแตกต่างของอุณหภูมิที่จุดปลาย

\Delta x

คือระยะทางระหว่างจุดปลาย

กฎนี้เป็นรากฐานสำหรับการอนุพัทธ์หาสมการความร้อน

ความนำความร้อน

กฎของฟูริเอร์สามารถเขียนได้เป็น:

{\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=UA\,(-\Delta T).

เมื่อ

{\big .}U={\frac {k}{\Delta x}},\quad

โดย U คือความนำความร้อน (conductance) หน่วยเป็น W/(m² K).

ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน (resistance) ${\big .}R$ โดยกำหนดว่า:

{\big .}R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{k}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}}.

ความต้านทานบวกรวมกันเมื่อมีชั้นนำความร้อนหลายชั้นอยู่ระหว่างบริเวณร้อนและเย็นเพราะ A และ Q ของทุก ๆ ชั้นมีค่าเท่ากัน

{\big .}R=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots

ในทางเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างความนำรวมกับความนำของแต่ละชั้นคือ:

{\big .}{\frac {1}{U}}={\frac {1}{U_{1}}}+{\frac {1}{U_{2}}}+{\frac {1}{U_{3}}}+\cdots

ดังนั้นสูตรดังต่อไปนี้มักถูกนำมาใช้เมื่อเผชิญกับการนำความร้อนผ่านผนังหลายชั้น:

{\big .}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{{\frac {\Delta x_{1}}{k_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{k_{2}}}+{\frac {\Delta x_{3}}{k_{3}}}+\cdots }}.

ในส่วนของการนำความร้อนจากของไหลสู่ของไหลผ่านผนังกั้นชนิดหนึ่ง บางครั้งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาความนำความร้อนของ (thin film) ของไหลบาง ๆ ที่อยู่นิ่งข้างแผ่นกั้น ของไหลที่เป็นฟิล์มบางนี้จำกัดปริมาณได้ยากเพราะลักษณะต่าง ๆ นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ซับซ้อนเช่นความปั่นป่วน (turbulence) และความหนืด แต่บางครั้งเมื่อต้องจัดการกับผนังกั้นที่มีความนำสูง แผ่นฟิล์มของไหลนี้ก็สามารถส่งผลต่อคุณสมบัติความนำได้อย่างมีนัยสำคัญ

การแทนด้วยคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับปริมาณ

สมการที่ให้นิยามความนำไว้ด้านบนด้วย (extensive properties) สามารถถูกนำมาจัดรูปใหม่ให้ใช้นิยามจากได้ (intensive properties) สูตรสำหรับความนำความร้อนในอุดมคตินั้นควรผลิตค่าที่มีมิติซึ่งเป็นอิสระจากระยะทาง อย่างเช่นสูตรของความต้านทานไฟฟ้า $R=V/I\,\!$ และความนำไฟฟ้า $G=I/V\,\!$ ในกฎของโอห์ม

จากสูตรเรื่องไฟฟ้า $R=\rho x/A\,\!$ โดย ρ คือสภาพต้านทาน, x คือความยาว และ A คือพื้นที่หน้าตัด กับ $G=kA/x\,\!$ โดย G คือความนำ, k คือสภาพนำ, x คือความยาว และ A คือพื้นที่หน้าตัด

ในส่วนของความร้อนนั้น

{\big .}U={\frac {kA}{\Delta x}},\quad

โดย U คือความนำความร้อน

เราสามารถเขียนกฎของฟูริเอร์ได้เป็นอีกแบบ:

{\big .}{\dot {Q}}=U\,\Delta T,\quad

ซึ่งเทียบได้กับกฎของโอห์ม $I=V/R\,\!$ หรือ $I=VG\,\!.$

ส่วนกลับของความนำคือความต้านทาน R ซึ่งถูกกำหนดเป็น:

{\big .}R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},\quad

เทียบได้กับกฎของโอห์ม $R=V/I\,\!.$

กฎของการรวมความต้านแทนและความนำของการไหลของความร้อนและกระแสไฟฟ้า (ต่อกันแบบอนุกรมหรือขนาน) เป็นแบบเดียวดัน

เปลือกทรงกระบอก

การนำความร้อนผ่านเปลือกทรงกระบอก (เช่น ท่อ) สามารถคำนวณได้จากรัศมีภายใน $r_{1}$ , รัศมีภายนอก $r_{2}$ , ความยาว $\ell$ และความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างผนังภายในและภายนอก $T_{2}-T_{1}$ .

พื้นที่ผิวของทรงกระบอกคือ $A_{r}=2\pi r\ell$

เมื่อเรานำมาใส่ในกฎของฟูริเอร์:

{\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=-2k\pi r\ell {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}

และจัดรูปใหม่:

{\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\mathrm {d} r=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}\mathrm {d} T

อัตราการถ่ายเทความร้อนจะเท่ากับ:

{\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}

ความต้านทานความร้อนคือ:

R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}

และ ${\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}$ โดย $r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}$ เป็นรัศมีเฉลี่ยแบบล็อก

เปลือกทรงกลม

เราสามารถคำนวณการนำความร้อนผ่านพื้นผิวทรงกลมได้ในลักษณะเดียวกันจากรัศมีภายใน $r_{1}$ และรัศมีภายนอก $r_{2}$

ของทรงกลมคือ: $\!A=4\pi r^{2}.$

และเมื่อแก้สมการในลักษณะเดียวกันกับที่ทำสำหรับเปลือกทรงกระบอก (ดูข้างบน) แล้วจะได้: ${\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}$

การนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่

การถ่ายโอนความร้อนระหว่างผิว

^[]

การถ่ายเทความร้อนที่ผิวสัมผัสถือว่าเป็นการไหลของความร้อนในสภาวะไม่คงที่ (Biot number) เป็นสิ่งสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมของระบบสำหรับการวิเคราะห์ปัญหานี้ โดยเลขบิโอต์ถูกกำหนดเป็น: ${\textit {Bi}}={\frac {hL}{k}}$ หากเลขบิโอต์ของระบบมีค่าน้อยกว่า 0.1 วัสดุนั้นจะประพฤติตามการเย็นตัวแบบนิวตันหรือเราสามารถเพิกเฉยต่อเกรเดียนต์ของอุณหภูมิภายในวัสดุได้ หากเลขบิโอต์มีค่ามากกว่า 0.1 ระบบนั้นจะประพฤติตามผลเฉลยแบบอนุกรม โปรไฟล์อุณหภูมิเทียบกับเวลาสามารถอนุพัทธ์มาได้จากสมการ

q=-h\,\Delta T,

ซึ่งกลายเป็น

{\frac {T-T_{f}}{T_{i}-T_{f}}}=\operatorname {exp} \left[{\frac {-hAt}{\rho C_{p}V}}\right].

(heat transfer coefficient) h มีหน่วยเป็น $\mathrm {\frac {W}{m^{2}K}}$ และแทนการถ่ายเทของความร้อนที่ผิวสัมผัสระหว่างวัสดุสองอย่าง ค่านี้ต่างกันไปตามแต่ละผิวสัมผัสและเป็นสิ่งที่สำคัญในการทำความเข้าใจการไหลของความร้อนที่ผิวสัมผัส

เราสามารถวิเคราะห์ผลเฉลยแบบอนุกรม (series solution) ได้ด้วย (nomogram) ในโนโมแกรมมีอุณหภูมิสัมพัทธ์เป็นพิกัด y และ (Fourier number) ซึ่งคำนวณจาก

{\textit {Fo}}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}.

ยิ่งเลขบิโอต์มีค่ามากขึ่น เลขฟูริเอร์จะมีค่าน้อยลง เพื่อหาโปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับเวลาเราต้องทำตามห้าขั้นตอนดังต่อไปนี้

คำนวณหาเลขบิโอต์
กำหนดว่าความลึกสัมพัทธ์อันไหนส่งผลมากที่สุด x หรือ L.
แปลงเวลาเป็นเลขฟูริเอร์
แปลง $T_{i}$ เป็นอุณหภูมิสัมพัทธ์พร้อมกับเงื่อนไขขอบเขต
เปรียบเทียบจุดต่าง ๆ ที่กำหนดและตามรอยหาเลขบิโอต์ที่กำหนดไว้บนโนโมแกรม

การประยุกต์ใช้การนำความร้อน

การชุบแข็งแบบสาด

(อังกฤษ: Splat cooling) เป็นวิธีการทำให้ละอองของวัสดุหลอมเหลวขนาดเล็กเย็นตัวลงอย่างรวดเร็วผ่านการสัมผัสพื้นผิวเย็นอย่างฉับพลัน อนุภาคของวัสดุนี้ผ่านกระบวนการเย็นตัวลงที่มีลักษณะพิเศษ โดยมีโปรไฟล์อุณหภูมิที่ $t=0$ เป็นอุณหภูมิเริ่มต้นและอุณหภูมิสูงสุดที่ $x=0$ และที่ $x=-\infty$ และ $x=\infty$ อุณหภูมิ $T=0$ และมีโปรไฟล์ความร้อนที่ $t=\infty$ ของ $-\infty \leq x\leq \infty$ เป็นเงื่อนไขขอบเขต การชุบแข็งแบบสาดจบลงที่อุณหภูมิในสภาวะคงที่ และมีรูปแบบคล้ายกับสมการการแพร่แบบเกาส์ (Gaussian diffusion equation) โปรไฟล์ของอุณหภูมิเทียบกับตำแหน่งและเวลาของการเย็นตัวแบบนี้แปรผันกับ:

$T(x,t)-T_{i}={\frac {T_{i}\Delta X}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right)$

การชุมแข็งแบบสาดเป็นแนวคิดพื้นฐานที่มีการนำไปใช้ในทางปฏิบัติในรูปของการพ่นเคลือบด้วยความร้อน เราสามารถเขียนสัมประสิทธิ์ (thermal diffusivity) ซึ่งแทนด้วย $\alpha$ เป็น $\alpha ={\frac {k}{\rho C_{p}}}$ ได้ ซึ่งแปลว่าค่านี้เปลี่ยนแปลงไปตามชนิดของวัสดุ

การชุบแข็งโลหะ

โลหะ (อังกฤษ: Metal quenching) เป็นกระบวนการถ่ายเทความร้อนในสภาวะไม่คงที่แบบหนึ่งซึ่งแสดงด้วย (Isothermal transformation diagram) (TTT) เราสามารถควบคุมกระบวนการเย็นตัวได้เพื่อปรับเปลี่ยนเฟสของวัสดุที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การชุบแข็งเหล็กกล้าอย่างเหมาะสมสามารถแปลงสาร (austenite) เป็น (martensite) ในสัดส่วนที่ต้องการได้ซึ่งทำให้ได้ผลเป็นวัสดุที่แข็งและทนทานมาก เพื่อให้ได้ผลดังนี้เราจำเป็นต้องชุบแข็งที่ "จมูก" (หรือ (Eutectic)) ของแผนภาพ TTT เวลาที่วัสดุต่าง ๆ ใช้ชุบแข็งหรือนั้นต่างกันไปในทางปฏิบัติเพราะวัสดุต่าง ๆ มีต่างกัน อุณหภูมิชุบแข็งของเหล็กกล้า (steel) มีค่าตั้งแต่ 200 °C ถึง 600 °C เราจำเป็นต้องกำหนดเลขฟูริเอร์จากเวลาการชุบแข็งที่ต้องการ อุณหภูมิลดสัมพัทธ์ (temperature drop) ที่ต้องการ และเลขบิโอต์เพื่อให้สามารถควบคุมเวลาชุบแข็งและเลือกสื่อในการชุบแข็งที่เหมาะสมได้ เราสามารถหาของเหลวที่เหมาะสมต่อการเป็นสื่อในการชุบแข็งได้ผ่านการคำนวณสัมประสิทธิ์ของการถ่ายเทความร้อนจากเลขบิโอต์

กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์

กฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์ (อังกฤษ: Zeroth law of thermodynamics) สามารถถูกกล่าวในแบบที่มุ่งความสนใจในเรื่องของการนำความร้อนโดยตรง เบลิน (1994) เขียนว่า "... กฎข้อที่ศูนย์สามารถถูกกล่าวเป็น:

ผนังไดอะเทอร์มัลทุกอันสมมูลกัน"

ผนังไดอะเทอร์มัล (diathermal wall) คือการเชื่อมต่อทางกายภาพซึ่งให้ความร้อนเคลื่อนระหว่างวัตถุสองวัตถุได้ ในที่นี้ผนังไดอะเทอร์มัลของเบลินหมายถึงผนังที่เชื่อมต่อวัตถุสองวัตถุเท่านั้นเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะผนังนำ (conductive wall)

'กฎข้อที่ศูนย์' ซึ่งถูกกล่าวแบบนี้เป็นข้อความเชิงทฤษฎีในอุดมคติ และผนังทางกายภาพของจริงนั้นอาจมีความผิดปกติซึ่งทำให้ไม่ประพฤติตามความทั่วไป

ตัวอย่างเช่น วัสดุของผนังนั้นจะต้องไม่เปลี่ยนเฟสที่อุณหภูมิซึ่งนำความร้อนไม่ว่าเป็นการระเหยหรือการหลอมละลาย แต่ก็ต่อเมื่อพิจารณาเพียงสมดุลความร้อนและไม่เร่งรีบกับเวลาเท่านั้น แล้วสภาพนำความร้อนของวัสดุต่าง ๆ ก็ไม่มีความสำคัญมากนักและตัวนำความร้อนใด ๆ ก็ดีพอกัน กลับกัน อีกแง่มุมของกฎข้อที่ศูนย์คือผนังไดอะเทอร์มัลหนึ่งจะเมินเฉยต่อสภาวะและลักษณะของอ่างความร้อน (heat bath) เมื่อกำหนดข้อจำกัดที่เหมาะสม เช่นหลอดแก้วของปรอทวัดอุณหภูมิทำหน้าที่เป็นผนังไดอะเทอร์มัลไม่ว่าจะใช้ในแก๊สหรือของเหลว แต่ก็ต่อเมื่อแก้วไม่ละลายหรือถูกกัดกร่อน

ความแตกต่างเหล่านี้เป็นหนึ่งในลักษณะพิเศษซึ่งเป็นนิยามของการถ่ายเทความร้อน ในแง่หนึ่ง มันเป็น (Symmetry (physics)) ของการถ่ายเทความร้อน

อุปกรณ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำความร้อน

เครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า

คุณสมบัติการนำความร้อนของแก๊สใด ๆ ภายใต้ความดันและอุณหภูมิภาวะมาตรฐานเป็นค่าคงที่ เราขึงสามารถนำคุณสมบัตินี้ของแก๊สหรือส่วนผสมของแก๊สอ้างอิงที่รู้จักชนิดหนึ่งมาใช้ในการรับรู้ (sensor) เช่นเครื่องวิเคราะห์สภาพนำไฟฟ้า (Thermal conductivity analyzer)

เครื่องนี้ทำงานบนหลักการของวงจรสะพานแบบวีตสโตน (Wheatstone bridge) ซึ่งประกอบด้วยเส้นใยสี่เส้นที่มีความต้านทานไฟฟ้าเท่ากัน เมื่อใดที่มีแก๊สไหลผ่านเครือข่ายเส้นใยนี้แล้วความต้านทานของพวกมันจะเปลี่ยนตามสภาพนำความร้อนที่เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงทำให้เอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิของวงจรสะพานเปลี่ยนไป และเราสามารถนำเอาต์พุตความต่างศักย์ที่ได้ไปเทียบกับฐานข้อมูลเพื่อระบุว่าแก๊สตัวอย่างนั้นเป็นแก๊สชนิดใด

ตัวรับรู้แก๊ส

หลักการของสภาพนำความร้อนของแก๊สยังสามารถนำมาใช้วัดความเข้มข้นของแก๊สชนิดหนึ่งในส่วนผสมระหว่างแก๊สสองชนิดได้

หลักการทำงานของตัวรับรู้แก๊ส (Gas sensor) คือ หากแก๊สชนิดเดียวกันมีอยู่ตลอดทั้งเส้นใยของวงจรสะพานแล้ว เส้นใยทุกเส้นจะคงอุณหภูมิไว้เท่ากันและจึงคงความต้านทานไฟฟ้าไว้เท่าเดิม วงจรสะพานจึงสมดุล แต่ทว่าหากตัวอย่างแก๊สที่ต่างกัน (หรือส่วนผสมของแก๊ส) ถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ผ่านเส้นใยสองเส้นชุดหนึ่งและแก๊สที่เรานำมาใช้อ้างอิงถูกปล่อยผ่านเส้นใยอีกชุดหนึ่งแล้ว วงจรสะพานจะเสียสมดุลและเอาต์พุตความต่างศักย์สุทธิที่ได้ออกมาจากวงจรก็จะสามารถนำไปเทียบในฐานข้อมูลเพื่อระบุส่วนประกอบของแก๊สตัวอย่างได้

ด้วยกลวิธีนี้ เราสามารถระบุตัวอย่างแก๊สที่ไม่รู้จักหลายชนิดได้ด้วยการเปรียบเทียบสภาพนำความร้อนของพวกมันกับแก๊สอ้างอิงอื่น ๆ ที่เรารู้สภาพนำความร้อนของมัน แก๊สอ้างอิงที่ถูกใช้บ่อยที่สุดคือแก๊สไนโตรเจนเพราะสภาพนำความร้อนของแก๊สที่พบเจอได้ทั่วไปส่วนใหญ่ (ยกเว้นแก๊สไฮโดรเจนและฮีเลียม) มีค่าใกล้เคียงกับของแก๊สไนโตรเจน

ดูเพิ่ม

(List of thermal conductivities)
การนำไฟฟ้า
(Convection diffusion equation)
(R-value (insulation))
ท่อความร้อน
(Fick's law of diffusion)
(Relativistic heat conduction)
(Churchill–Bernstein equation)
(Fourier number)
(Biot number)
(False diffusion)

อ้างอิง

Dai; และคณะ (2015). "Effective Thermal Conductivity of Submicron Powders: A Numerical Study". Applied Mechanics and Materials. 846: 500–505. doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.846.500. S2CID 114611104.
Bergman, Theodore L.; Lavine, Adrienne S.; Incropera, Frank P.; Dewitt, David P. (2011). Fundamentals of heat and mass transfer (7th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN . OCLC 713621645.
Exact Analytical Conduction Toolbox มีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายสำหรับการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ รวมไปถึงขั้นตอนวิธีและโค้ดคอมพิวเตอร์ที่ไว้หาค่าตัวเลขที่แม่นยำ
Sam Zhang; Dongliang Zhao (19 November 2012). Aeronautical and Aerospace Materials Handbook. CRC Press. pp. 304–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.
Martin Eein (2002). Drop-Surface Interactions. Springer. pp. 174–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.
Rajiv Asthana; Ashok Kumar; Narendra B. Dahotre (9 January 2006). Materials Processing and Manufacturing Science. Butterworth–Heinemann. pp. 158–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.
George E. Totten (2002). Handbook of Residual Stress and Deformation of Steel. ASM International. pp. 322–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.
Bailyn, M. (1994). A Survey of Thermodynamics, American Institute of Physics, New York, ISBN , หน้า 23.

Dehghani, F 2007, CHNG2801 – Conservation and Transport Processes: Course Notes, University of Sydney, Sydney
John H Lienhard IV and John H Lienhard V, 'A Heat Transfer Textbook', Fifth Edition, Dover Pub., Mineola, NY, 2019 [1]

แหล่งข้อมูลอื่น

Heat conduction – Thermal-FluidsPedia
Newton's Law of Cooling โดย Jeff Bryant อิงจากโปรแกรมโดย , .

[1] Dai; และคณะ (2015). "Effective Thermal Conductivity of Submicron Powders: A Numerical Study". Applied Mechanics and Materials. 846: 500–505. doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.846.500. S2CID 114611104.

[2] Bergman, Theodore L.; Lavine, Adrienne S.; Incropera, Frank P.; Dewitt, David P. (2011). Fundamentals of heat and mass transfer (7th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN . OCLC 713621645.

[3] Exact Analytical Conduction Toolbox มีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายสำหรับการนำความร้อนในสภาวะไม่คงที่ รวมไปถึงขั้นตอนวิธีและโค้ดคอมพิวเตอร์ที่ไว้หาค่าตัวเลขที่แม่นยำ

[ZhangZhao2012-4] Sam Zhang; Dongliang Zhao (19 November 2012). Aeronautical and Aerospace Materials Handbook. CRC Press. pp. 304–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.

[Eein2002-5] Martin Eein (2002). Drop-Surface Interactions. Springer. pp. 174–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.

[AsthanaKumar2006-6] Rajiv Asthana; Ashok Kumar; Narendra B. Dahotre (9 January 2006). Materials Processing and Manufacturing Science. Butterworth–Heinemann. pp. 158–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.

[Totten2002-7] George E. Totten (2002). Handbook of Residual Stress and Deformation of Steel. ASM International. pp. 322–. ISBN . สืบค้นเมื่อ 7 May 2013.

[8] Bailyn, M. (1994). A Survey of Thermodynamics, American Institute of Physics, New York, ISBN , หน้า 23.