Quantum mechanics

กลศาสตร์ควอนตัม (อังกฤษ: quantum mechanics) เป็นทฤษฎีพื้นฐานทฤษฎีหนึ่งในฟิสิกส์ที่อธิบายปรากฏการณ์ธรรมชาติในระดับอะตอมและเล็กกว่าอะตอม^: 1.1 ถือเป็นรากฐานของ ฟิสิกส์ควอนตัม (quantum physics) ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วย ทฤษฎีสนามควอนตัม และ

ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในอะตอมของไฮโดรเจนที่ระดับพลังงานที่ต่างกัน กลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถทำนายพิกัดที่แน่นอนของอนุภาคในพื้นที่ได้ สามารถทำนายได้แค่ความน่าจะเป็นในการเจอในแต่ละที่ พื้นที่สว่างแทนความน่าจะเป็นที่น่าจะเจออิเล็กตรอนสูง

กลศาสตร์ควอนตัมสามารถใช้อธิบายระบบมากมายที่ฟิสิกส์ดั้งเดิมไม่สามารถอธิบายได้ ฟิสิกส์ดั้งเดิมสามารถอธิบายลักษณะต่าง ๆ ของธรรมชาติได้ดีในมาตราส่วนปกติ กล่าวคือระดับมหทรรศน์ไปจนถึงจุลทรรศน์ที่ตามองเห็นได้ แต่ไม่เพียงพอเมื่อต้องการอธิบายธรรมชาติในมาตราส่วนที่เล็กกว่าจุลทรรศน์ กล่าวคือระดับอะตอมและเล็กกว่าอะตอม ทฤษฎีในฟิสิกส์ดั้งเดิมส่วนใหญ่สามารถสืบย้อนมาจากกลศาสตร์ควอนตัมได้ในฐานะค่าประมาณที่ใช้ได้สำหรับมาตราส่วนขนาดใหญ่

ระบบควอนตัมมีสถานะจำกัดขอบเขต (bound states) ซึ่งถูกทำให้เป็นควอนตัมหรือ "แจงหน่วย" (quantized) กลายเป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่อง (discrete values) ของปริมาณพลังงาน โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม และปริมาณอื่น ๆ ตรงข้ามกับระบบฟิสิกส์ดั้งเดิมที่สามารถวัดค่าปริมาณเหล่านี้ได้โดยต่อเนื่อง การวัดปริมาณของระบบควอนตัมจะแสดงคุณสมบัติทั้งของอนุภาคและคลื่น (ทวิภาคคลื่น–อนุภาค) และยังมีข้อจำกัดเรื่องความแม่นยำของการทำนายค่าในปริมาณฟิสิกส์ก่อนการวัดเมื่อให้มีชุดเงื่อนไขเริ่มต้นที่สมบูรณ์ (หลักความไม่แน่นอน)

กลศาสตร์ควอนตัมถูกพัฒนาขึ้นเป็นลำดับจากทฤษฎีที่ใช้อธิบายค่าสังเกตที่ไม่สอดคล้องกับฟิสิกส์ดั้งเดิม เช่น วิธีการของมัคส์ พลังค์เพื่อแก้ปัญหาการแผ่รังสีของวัตถุดำในปี ค.ศ. 1900 ความสมนัยระหว่างพลังงานกับความถี่ในงานตีพิมพ์ของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เมื่อปี ค.ศ. 1905 ซึ่งสามารถอธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกได้ ทฤษฎีเหล่านี้ถือเป็นความพยายามแรก ๆ เพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์ในโลกจุลทรรศน์ ที่ปัจจุบันเรียกว่าเป็น "" ซึ่งต่อมานำไปสู่การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมอย่างเต็มรูปแบบในช่วงกลางทศวรรษที่ 1920 โดยนักฟิสิกส์ นิลส์ โปร์, แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์, แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์ค, มัคส์ บอร์น, พอล ดิแรก เป็นต้น ทฤษฎีควอนตัมใหม่ถูกจัดรูปแบบขึ้นโดยใช้รูปแบบต่าง ๆ หนึ่งในนั้นคือ (wave function) ซึ่งแสดงข้อมูลในรูปของแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นจากการวัดปริมาณพลังงาน โมเมนตัม และคุณสมบัติฟิสิกส์อื่น ๆ ที่อาจตรวจวัดได้ของอนุภาคใด ๆ

ภาพรวมและแนวคิดพื้นฐาน

กลศาสตร์ควอนตัมใช้คำนวณคุณสมบัติและพฤติกรรมของระบบฟิสิกส์ โดยทั่วไปจะใช้กับระบบจุลทรรศน์ซึ่งได้แก่ โมเลกุล อะตอม และอนุภาคย่อยของอะตอม มีการพิสูจน์แล้วว่าทฤษฎีนี้ยังสามารถใช้กับโมเลกุลซับซ้อนที่ประกอบด้วยอะตอมนับพันได้ แต่การประยุกต์ใช้กับมนุษย์โดยตรงอาจทำให้เกิดคำถามเชิงปรัชญา เช่น การทดลองทางความคิด "" การประยุกต์ใช้กับเอกภพทั้งเอกภพล้วนแล้วแต่เป็นเพียงการคาดเดา การทำนายที่เกิดจากกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการตรวจสอบด้วยการทดลองแล้วว่ามีสูงยวดยิ่ง เช่น การแบ่งละเอียดทางกลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้สำหรับปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงกับสสารที่เรียกว่า (quantum eletrodynamics, QED) สอดคล้องกับผลการทดลองในระดับ 1 ส่วน 10⁸ สำหรับคุณสมบัติเชิงอะตอมบางอย่าง

ลักษณะเด่นที่เป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมคือ กลศาสตร์ควอนตัมมักไม่สามารถทำนายได้อย่างแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น โดยจะให้เพียงค่าความน่าจะเป็นเท่านั้น พูดในทางคณิตศาสตร์คือ ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเท่ากับยกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน หรือรู้จักเช่นเดียวกันว่าเป็น แอมพลิจูดความน่าจะเป็น (probability amplitude) ทั้งหมดนี้คือ ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ มัคส์ บอร์น เช่น เราสามารถอธิบายระบบของอนุภาคควอนตัมเช่นอิเล็กตรอนได้ด้วยฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเชื่อมแต่ละจุดในปริภูมิเข้าด้วยแอมพลิจูดความน่าจะเป็น เมื่อใช้กฎของบอร์นกับแอมพลิจูดเหล่านี้จะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ซึ่งบอกตำแหน่งที่เราสามารถพบอิเล็กตรอนได้เมื่อทำการทดลองเพื่อวัดค่า นี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ทฤษฎีสามารถทำได้ ทฤษฎีนี้ไม่สามารถบอกเราได้ว่าจะพบอิเล็กตรอนแน่ ๆ ตรงไหน สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการที่ใช้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างชุดแอมพลิจูดความน่าจะเป็นในเวลาหนึ่งกับชุดแอมพลิจูดความน่าจะเป็นในอีกเวลาหนึ่ง

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของกฎคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์ควอนตัมคือการได้อย่างเสียอย่างของความสามารถที่จะทำนายค่าระหว่างปริมาณที่วัดได้ปริมาณต่าง ๆ นี่คือหลักความไม่แน่นอน รูปแบบที่มีชื่อเสียงที่สุดจากหลักนี้กล่าวว่า ไม่ว่าอนุภาคควอนตัมจะถูกเตรียมมาอย่างไร หรือถูกทำการทดลองอย่างพิถีพิถันเพียงใด เราไม่สามารถทำนายค่าที่แม่นยำของตำแหน่งและโมเมนตัมในเวลาเดียวกันได้เลย

ผลอีกประการหนึ่งคือปรากฏการณ์การแทรกสอดเชิงควอนตัม มักสาธิตด้วย ในการทดลองเวอร์ชันพื้นฐานจะใช้แหล่งกำเนิดแสงอาพันธ์ (coherent light source) เช่น ลำแสงเลเซอร์ ส่องไปยังแผ่นที่ถูกเจาะด้วยช่องขนานเล็ก ๆ สองช่อง แสงที่ผ่านช่องสองช่องนี้จะตกกระทบฉากด้านหลัง และจึงทำการสังเกต^{: 102–111 : 1.1–1.8} แสงที่ผ่านช่องสองช่องนี้จะแทรกสอดกันเนื่องจากธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง ทำให้เกิดแถบสว่างและมืดสลับกันไปบนฉาก ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ควรเกิดขึ้นได้ตามหลักฟิสิกส์ดั้งเดิมที่ถือว่าแสงเป็นอนุภาค แต่แสงก็ยังคงมีคุณสมบัติของอนุภาคอยู่ด้วย โดยฉากจะดูดซับแสงเป็นจุด ๆ แยกกันไม่ต่อเนื่องเสมอ ดังอนุภาคเดี่ยว ไม่ใช่คลื่น รูปแบบการแทรกสอดจะเกิดขึ้นจากความแตกต่างของความหนาแน่นของอนุภาคที่ตกกระทบฉาก ในการทดลองอีกเวอร์ชันหนึ่งที่มีการติดตั้งเครื่องตรวจจับไว้ที่ช่องแคบจะพบว่าโฟตอนที่ถูกตรวจจับได้จะวิ่งผ่านช่องใดช่องหนึ่งเท่านั้น (นั่นคือพฤติกรรมของอนุภาค) และจะไม่ผ่านช่องสองช่องพร้อมกัน (เหมือนพฤติกรรมของคลื่น)^: 109 การทดลองนี้บอกเราว่าอนุภาคจะไม่ทำให้เกิดรูปแบบการแทรกสอดถ้าใช้เครื่องตรวจจับและทราบว่าอนุภาควิ่งผ่านช่องแคบใด นี่คือคุณสมบัติทวิภาคคลื่น–อนุภาค ที่เกิดขึ้นได้กับทั้งแสง (โฟตอน) อิเล็กตรอน อะตอม และแม้กระทั่งโมเลกุล

ปรากฏการณ์อีกอย่างที่กลศาสตร์ควอนตัมทำนายได้แต่กลศาสตร์ดั้งเดิมทำนายไม่ได้คือ อนุภาคสามารถวิ่งชนกำแพงศักย์และทะลุผ่านไปได้ แม้ว่าอนุภาคนั้นจะมีพลังงานจลน์น้อยกว่าค่าสูงสุดของศักย์ก็ตาม เมื่อใช้หลักกลศาสตร์ดั้งเดิม อนุภาคนี้จะติดอยู่และไม่สามารถทะลุกำแพงศักย์ได้ ปรากฏการณ์อุโมงค์ควอนตัมช่วยอธิบายธรรมชาติของการสลายตัวกัมมันตรังสี ปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชันในดาวฤกษ์ และยังสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในเชิงเทคโนโลยีเช่น กล้องจุลทรรศน์แบบส่องกราดในอุโมงค์ และ

เมื่อระบบควอนตัมมีปฏิสัมพันธ์กันอาจเกิดผลลัพธ์เป็นการพัวพันเชิงควอนตัม ที่คุณสมบัติของพวกมันจะเกี่ยวพันกันจนไม่สามารถอธิบายรายละเอียดทั้งหมดของแต่ละส่วนแยกกันได้อีกต่อไป นักฟิสิกส์แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ เรียกการพัวพัน (entanglement) ว่าเป็น "... ลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม ลักษณะที่บังคับให้ออกพ้นไปจากวิธีคิดแบบดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์" ปรากฏการณ์พัวพันเชิงควอนตัมช่วยเปิดโลกของ (quantum computing) และยังเข้าไปเป็นส่วนหนึ่งของเกณฑ์วิธีการสื่อสารเชิงควอนตัม เช่น และ แต่การพัวพันเชิงควอนตัมไม่สามารถทำให้สัญญาณส่งถึงกันได้ด้วยได้ ดังที่เป็นความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ปัญหานี้ได้รับการอธิบายไว้ใน (no-communication theorem)

ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งที่ตามมาหลังการค้นพบการพัวพันเชิงควอนตัมคือการทดสอบ "" (hidden variables) ซึ่งเป็นคุณสมบัติสมมุติที่มีความเป็นมูลฐานมากกว่าปริมาณที่ระบุในทฤษฎีควอนตัมเอง ความรู้ในเรื่องนี้อาจนำไปสู่การทำนายที่แม่นยำกว่าที่ทฤษฎีควอนตัมจะทำได้ ผลจากการรวบรวมผลการทดลอง โดยมีส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดคือ ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่กล่าวถึงโดยกว้างนั้นแท้จริงแล้วเข้ากันไม่ได้กับฟิสิกส์ควอนตัม ตามทฤษฎีบทของเบลล์ หากธรรมชาติประพฤติตัวถูกต้องตามทฤษฎีตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่ (local) ใด ๆ จะทำให้ผลลัพธ์จาก จะถูกจำกัดในทางเฉพาะที่วัดปริมาณได้ มีการทดสอบเบลล์หลายครั้งและทุกครั้งก็แสดงผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้กับข้อจำกัดที่กำหนดโดยตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่

มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเสนอแนวคิดของกลศาสตร์ควอนตัมเหล่านี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยที่ไม่แตะต้องคณิตศาสตร์ การทำความเข้าใจกลศาสตร์ควอนตัมต้องมีความเข้าใจในเรื่องจำนวนเชิงซ้อน พีชคณิตเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีกรุป และหัวข้อขั้นสูงอื่น ๆ บทความนี้จะนำเสนอการจัดสูตรคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม และการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้กับตัวอย่างที่มีประโยชน์และมีการศึกษาอยู่บ่อยครั้ง

สมการการแผ่รังสีของวัตถุดำ (Blackbody Radiation Equation)

เมื่อวัตถุถูกทำให้ร้อน มันจะปล่อยรังสีความร้อน ในรูปแบบของการแผ่รังสีแม่เหล็กย่านอินฟราเรด (ใต้แดง) เมื่อวัตถุกลายเป็นวัตถุแดงร้อน (red-hot) เราจะสามารถเห็นความยาวคลื่นสีแดงได้ แต่รังสีความร้อนส่วนใหญ่ที่แผ่ออกมายังคงเป็นอินฟราเรด จนกระทั่งวัตถุร้อนเท่ากับพื้นผิวของดวงอาทิตย์ (ประมาณ 6000 °C ที่ที่แสงส่วนใหญ่เป็นสีขาว)

สูตรการแผ่รังสีของวัตถุดำ เป็นผลงานแรกๆ ของทฤษฎีควอนตัม ในกลางคืน วันอาทิตย์ที่ 7 ตุลาคม พ.ศ. 2443 โดยพลังก์ มันมาจากรายงานของ (Rubens) จากการค้นพบล่าสุดในการค้นหาอินฟราเรด คืนนั้นเองพลังก์เขียนสูตรลงบนโปสการ์ด รูเบนส์ ได้รับโปสการ์ดนั้นในเช้าวันถัดมา

${\displaystyle E=nhf\!}$

เมื่อ

• n = เลขควอนตัม
• E = พลังงาน
• f = ความถี่ single mode ที่แผ่รังสีจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (บางตำราจะใช้ตัวอักษร ν (อ่านว่า นิว))
• h= Planck’s Constant (ค่าคงตัวของพลังค์) โดยมีค่าประมาณ 6.626 x 10^(-34) Js

วันที่มีการค้นพบควอนตัม

จากการทดลอง พลังก์ค้นพบค่าของ h และ k ดังนั้นเขาสามารถรายงานในการประชุม the German Physical Society ในวันที่ 14 ธันวาคม พ.ศ. 2443 ที่ซึ่งการแจงหน่วย หรือ quantization (ของพลังงาน) ถูกเปิดเผยเป็นครั้งแรก ค่าของเลขอโวกาโดร (the Avogadro-Loschmidt number) , จำนวนของโมเลกุลในโมล (mole) และหน่วยของประจุไฟฟ้า มีความถูกต้องมากขึ้นหลังจากนั้นจนถึงปัจจุบัน

ควอนตัม เอนแทงเกิลเมนต์ (Quantum Entanglement)

ควอนตัม เอนแทงเกิลเมนต์ ครั้งหนึ่งเคยถูกมองเป็นเรื่องซับซ้อนและลึกลับเกินกว่าจะเป็นจริงได้ มาปัจจุบันกำลังกลายเป็นเรื่องที่ตื่นเต้นมาก และมีแนวโน้มจะเป็นหนึ่งในหลักการสำคัญของเทคโนโลยีแห่งศตวรรษที่ 21 อนุภาคที่พัวพันกัน กำลังจะถูกใช้ในการสร้างระบบการสื่อสารที่เป็นความลับ อาจเป็นพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ควอนตัมความเร็วสูงพิเศษ และแม้แต่เครื่อง "Teleportation" ในสไตล์ของภาพยนตร์ชุดสตาร์เทรค นักทฤษฎีในปัจจุบันคิดว่า เอนแทงเกิลเมนต์อาจเป็นปรากฏการณ์ค่อนข้างทั่วไปในธรรมชาติ ความคิดที่นำมาสู่ความเป็นไปได้ว่า เรากำลังอาศัยอยู่ในใยคอสมิกจริงๆ ที่เชื่อมโยงถึงกันและกัน ข้ามมิติของตำแหน่งและเวลา

การทะลุผ่านเชิงควอนตัม (Quantum Tunneling)

การทะลุผ่านเชิงควอนตัม (อังกฤษ: quantum tunneling) เป็นปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัม ที่ฟังก์ชันคลื่นสามารถทะลุผ่านกำแพงศักย์ไปได้

การทะลุผ่านกำแพงนั้นแปรผันแบบเอกซ์โพเนนเชียลอยู่กับความสูงและความกว้างของกำแพง ฟังก์ชันคลื่นสามารถหายไปจากอีกฝั่งและไปปรากฏที่อีกฝั่งได้ ฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับแรกของมันนั้นเป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง ในสภาวะคงตัวฟลักซ์ของความน่าจะเป็นในทิศทางข้างหน้าจะมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ ไม่มีอนุภาคหรือคลื่นที่หายไป การทะลุผ่านเกิดขึ้นเมื่อกำแพงศักย์มีความหนาประมาณ 1-3 นาโนเมตรหรือเล็กกว่า

ผู้เขียนบางคนก็จัดไว้ว่าการทะลุผ่านของฟังก์ชันคลื่นเพียงเล็กน้อยผ่านกำแพงโดยไม่มีการส่งผ่านไปยังอีกด้านเป็นปรากฏการณ์การทะลุผ่าน การทะลุผ่านเชิงควอนตัมนั้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยกลศาสตร์แบบดั้งเดิม เนื่องจากการทะลุผ่านกำแพงศักย์จำเป็นจะต้องใช้พลังงานจลน์

การทะลุผ่านเชิงควอนตัมมีบทบาทสำคัญในปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์หลายๆอย่างเช่น นิวเคลียร์ฟิวชั่น นอกจากนี้ยังมีการนำไปใช้ในวงจร tunnel diode, การคำนวณเชิงควอนตัม และ scanning tunneling microscope

ปรากฏการณ์นี้ถูกทำนายไว้ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 และถูกยอมรับเป็น ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ทั่วไปในช่วงกลางศตวรรษ

การทะลุผ่านเชิงควอนตัมนั้นสร้างข้อจำกัดให้กับขนาดของทรานซิสเตอร์เนื่องจากอิเล็กตรอนสามารถทะลุผ่านทรานซิสเตอร์ที่มีขนาดเล็กเกินไปได้

การทะลุผ่านสามารถอธิบายในเชิงของหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก นั้นคือวัตถุเชิงควอนตัมสามารถถูก รับรู้ ได้เป็นคลื่นหรือเป็นอนุภาคโดยทั่วไป หรือก็คือความไม่แน่นอนในพิกัดของอนุภาคทำให้อนุภาคพวกนี้ไม่เป็นไปตามกฎของกลศาสตร์ดั้งเดิมและเคลื่อนที่ในพื้นที่ได้โดยไม่จำเป็นต้องผ่านกำแพงศักย์(บางคนตีความตามหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กว่าวัตถุอาจหยุดนิ่งอย่างสงบ หรือ อาจไม่เคลื่อนที่)

การทะลุผ่านเชิงควอนตัมอาจเป็นหนึ่งในกลไกของการสลายตัวของโปรตอน

อ้างอิง

• Speakable and unspeakable in Quantum mechanics by John Bell (Cambridge UP, 1989)
• Quantum: A guide for the perplexed by Jim Al-Khalili ( Weidenfeld & Nicolson, 2003)
• 25 ความคิดพลิกโลก (วี.วิชช์.สำน้กพิมพ์, 2551)

1. Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3. California Institute of Technology. ISBN . สืบค้นเมื่อ 19 December 2020.
2. Jaeger, Gregg (September 2014). "What in the (quantum) world is macroscopic?". American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
3. Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patrick Zwick; Filip Kiałka; Sebastian Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (September 2019). "Quantum superposition of molecules beyond 25 kDa". Nature Physics. 15 (12): 1242–1245. Bibcode:2019NatPh..15.1242F. doi:10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID 203638258.
4. Bojowald, Martin (2015). "Quantum cosmology: a review". Reports on Progress in Physics. 78 (2): 023901. :1501.04899. Bibcode:2015RPPh...78b3901B. doi:10.1088/0034-4885/78/2/023901. PMID 25582917. S2CID 18463042.
5. Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T. (2011). Quantum Physics for Poets. US: Prometheus Books. ISBN .
6. Müller-Kirsten, H. J. W. (2006). Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. US: World Scientific. p. 14. ISBN .
7. Plotnitsky, Arkady (2012). Niels Bohr and Complementarity: An Introduction. US: Springer. pp. 75–76. ISBN .
8. (1995). . Prentice Hall. ISBN .
9. Trixler, F. (2013). "Quantum tunnelling to the origin and evolution of life". Current Organic Chemistry. 17 (16): 1758–1770. doi:10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233. PMID 24039543.
10. (2019). "Quantum entanglement". ใน Zalta, Edward N. (บ.ก.). . Metaphysics Research Lab, Stanford University.
11. (2015). "Quantum Information Science: Emerging No More". ใน Kelley, Paul; Agrawal, Govind; Bass, Mike; Hecht, Jeff; Stroud, Carlos (บ.ก.). OSA Century of Optics. . pp. 320–323. :1302.1864. Bibcode:2013arXiv1302.1864C. ISBN .
12. (October 2015). "Death by experiment for local realism". Nature (ภาษาอังกฤษ). 526 (7575): 649–650. doi:10.1038/nature15631. ISSN 0028-0836. PMID 26503054.
13. (7 February 2017). "Experiment Reaffirms Quantum Weirdness". (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 8 February 2020.
14. (20 March 2020). "How to Learn Math and Physics". University of California, Riverside. สืบค้นเมื่อ 19 December 2020. there's no way to understand the interpretation of quantum mechanics without also being able to solve quantum mechanics problems – to understand the theory, you need to be able to use it (and vice versa)
15. Sagan, Carl (1996). . Ballantine Books. p. 249. ISBN . "For most physics students, (the "mathematical underpinning" of quantum mechanics) might occupy them from, say, third grade to early graduate school – roughly 15 years. [...] The job of the popularizer of science, trying to get across some idea of quantum mechanics to a general audience that has not gone through these initiation rites, is daunting. Indeed, there are no successful popularizations of quantum mechanics in my opinion – partly for this reason.
16. Lerner; Trigg (1991). Encyclopedia of Physics (2nd ed.). New York: VCH. p. 1308. ISBN .
17. Serway; Vuille (2008). College Physics. Vol. 2 (Eighth ed.). Belmont: Brooks/Cole. ISBN .
18. Taylor, J. (2004). Modern Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. p. 234. ISBN .
19. Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. pp. 4, 462. ISBN .
20. . youtube.com. Kurzgesagt. 2017-12-08. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2017-12-30. สืบค้นเมื่อ 2017-12-30.{{}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown ()
21. "Quantum Effects At 7/5nm And Beyond". Semiconductor Engineering (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 2018-07-15.
22. Talou, P.; Carjan, N.; Strottman, D. (1998). "Time-dependent properties of proton decay from crossing single-particle metastable states in deformed nuclei". Physical Review C. 58 (6): 3280–3285. :nucl-th/9809006. Bibcode:1998PhRvC..58.3280T. doi:10.1103/PhysRevC.58.3280. S2CID 119075457.
23. Trixler, F. (2013). "Quantum Tunnelling to the Origin and Evolution of Life". Current Organic Chemistry. 17 (16): 1758–1770. doi:10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233. PMID 24039543.
24. "adsabs.harvard.edu".