ในทางคณ ตศาสตร ทศน ยมซ ำ 0 999 ซ งสามารถเข ยนได ในร ป 0 9 0 9 displaystyle 0 bar 9 0 dot 9 หร อ 0 9 displaystyle 0 9 ม ค

ในทางคณิตศาสตร์ ทศนิยมซ้ำ 0.999... ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป $0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}$ หรือ $\ 0.(9)$ มีค่าเท่ากับจำนวนจริง 1 หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งคือ "0.999..." เป็นการนำเสนอจำนวนเดียวกันกับสัญลักษณ์ "1"

หรือจะกล่าวอีกแบบก็คือ ทุกๆจำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำ (ที่ไม่ใช่ 0) จะสามารถเขียนได้สองรูปแบบ (เช่น 8.32 = 8.31999...)

การพิสูจน์

${\begin{aligned}0.999\ldots &={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\cdots \\&=-9+\left({\frac {9}{1}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\cdots \right)\\&=-9+9\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}\\&=-9+9\left({\frac {10}{9}}\right)\\&=1\\\end{aligned}}$

ซ.ต.พ.

การพิสูจน์เชิงพีชคณิต

การดำเนินการทางพีชคณิต

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

${\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x-x&=9.999\ldots -0.999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\\end{aligned}}$

หรือง่ายกว่านี้ :

${\begin{aligned}0.333\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0.111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}$

หรือ

${\begin{aligned}N&=0.999...-(1)\\10N&=9.999...-(2)\\(2)-(1);10N-N&=9.999...-0.999...\\9N&=9\\N&={\frac {9}{9}}=1\\\end{aligned}}$

ช่วงของจำนวนจริง

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999... , 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

เศษส่วน

เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

${\begin{aligned}1/9&=0.111\ldots \\2/9&=0.222\ldots \\3/9&=0.333\ldots \\\vdots &\qquad \vdots \\9/9&=0.999\ldots =1\\\end{aligned}}$

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... =