สูตรของเฮรอน

ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร (อังกฤษ: Heron's formula) จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (triangle) อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠${\displaystyle a,}$⁠⁠ ${\displaystyle b}$⁠ และ ${\displaystyle c}$⁠ โดยกำหนดให้ ⁠${\displaystyle s}$⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม () จะได้ว่า ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ทำให้ได้พื้นที่ ⁠${\displaystyle A}$⁠ เป็น

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่า เฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

ตัวอย่าง

กำหนดให้ ⁠${\displaystyle \triangle ABC}$⁠ มีด้านทั้งสามยาว ${\displaystyle a=4,}$ ${\displaystyle b=13}$ และ ${\displaystyle c=15}$ โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}$ จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24\end{aligned}}}$

จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ

สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่ ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}}$ และ ${\displaystyle c^{2}}$

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ Cayley–Menger determinant

${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

ประวัติ

สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย ( ราว ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ เมตริกา (Metrica) ของเขา นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก Metrica คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น

สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

บทพิสูจน์

มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์

จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta }$ และ ${\displaystyle \gamma }$ ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c

จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}$

โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น ${\displaystyle a}$ มีความยาวเป็น ${\displaystyle b\sin \gamma }$ และจะได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}$

การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว h ซึ่งลากตัดฐานยาว c ทำให้ c เป็น d + (c − d)

หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ และ ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}$ ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ ${\displaystyle d}$ ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้ ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}}$ จากนั้นทำการแทนค่า ${\displaystyle d}$ จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}$

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์

นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ s − a, s − b และ s − c ตามกฎของโคแทนเจนต์

ถ้า ${\displaystyle r}$ เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ ${\displaystyle r}$ และมีฐานยาว ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs}$

โดยที่ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง ${\displaystyle r}$ และมีฐานยาว ${\displaystyle s-a,}$ ${\displaystyle s-b}$ และ ${\displaystyle s-c}$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์ )

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\end{aligned}}}$

ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$${\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}$ ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ () ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}}$

เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

${\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

ความเสถียรเชิงตัวเลข

สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข () สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้ ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ จากการคำนวณได้ว่า

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}}$

จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย

อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน

ขั้นตอนแรก กำหนดให้ ${\displaystyle m_{a},}$ ${\displaystyle m_{b}}$ และ ${\displaystyle m_{c}}$⁠ คือ เส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$ จะได้

${\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$

ถัดไป ให้ ${\displaystyle h_{a},}$ ${\displaystyle h_{b}}$ และ ${\displaystyle h_{c}}$ คือความสูงจากด้าน ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}$ จะได้

${\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}}$

จะได้ว่า ให้ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta }$ และ ${\displaystyle \gamma }$ เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}$ จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}$

โดย ${\displaystyle D}$ คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยม (circumcircle) ${\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }}$ สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

การสรุปโดยทั่วไป

รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)

สูตรของเฮรอนเป็นกรณีพิเศษของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม () สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์

จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่ ${\displaystyle K}$ เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ และ ${\displaystyle d}$ ทำให้ได้

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

โดย ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์

สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วย Cayley–Menger determinant ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}$

แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับ Tartaglia's formula สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า

ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์

สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน

ให้ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v}$ และ ${\displaystyle w}$ เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย ${\displaystyle u}$ ตรงข้ามกับ ${\displaystyle U}$ และต่อไปตามลำดับ) จะได้

${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane)อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ และ ${\displaystyle c}$ และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ และมีพื้นที่เป็น ${\displaystyle S}$ ตามสูตรดังกล่าวจะได้

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}$

ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}}$

ดูเพิ่มเติม

• Shoelace formula

เชิงอรรถและรายการอ้างอิง

1. Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?". . 107 (5): 402–415. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR 2695295.  1763392. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2024-05-29. สืบค้นเมื่อ 2021-12-27.
2. Havel, Timothy F. (1991). "Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry". . 11 (5–6): 579–593. doi:10.1016/S0747-7171(08)80120-4.
3. Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). "A medieval proof of Heron's formula". . 62 (7): 585–587. doi:10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR 27958225.  0256819.
4. Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. Vol. II. Oxford University Press. pp. 321–323.
5. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Heron's Formula" จากแมทเวิลด์.
6. 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积". 數學九章 (四庫全書本).
7. "Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle". 15 December 1997. สืบค้นเมื่อ 25 September 2020.
8. Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula". The Mathematical Intelligencer (ภาษาอังกฤษ). 43 (2): 37–39. doi:10.1007/s00283-020-09996-8. ISSN 0343-6993.
9. Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. pp. 7–8.
10. Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44: 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093.
11. Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: . ISBN .
12. William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF).
13. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
14. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
15. Mitchell, Douglas W. (2009). "A Heron-type area formula in terms of sines". Mathematical Gazette. 93: 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X.
16. Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Disentangling a triangle" (PDF). American Mathematical Monthly. 116: 228–237. doi:10.1080/00029890.2009.11920932.
17. D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
18. W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.
19. Alekseevskij, D. V.; Vinberg, E. B.; Solodovnikov, A. S. (1993). "Geometry of spaces of constant curvature". ใน Gamkrelidze, R. V.; Vinberg, E. B. (บ.ก.). Geometry. II: Spaces of constant curvature. Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. p. 66. ISBN .

แหล่งข้อมูลอื่น

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J. H. Conway discussion on Heron's Formula
• "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"
• A Geometric Proof of Heron's Formula
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron