ในคณ ตศาสตร โดยเฉพาะอย างย งทฤษฎ จำนวน ทฤษฎ บทม ลฐานของเลขคณ ต ทฤษฎ บทหล กม ลของเลขคณ ต หร อ ทฤษฎ บทการแยกต วประกอบได อย

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (อังกฤษ: fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem) เป็นข้อความซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้นโดยไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 2³ · 3 · 17² หรือ 1200 = 2⁴ · 3 · 5²

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบที่สนใจเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น หากเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น $12=2\cdot 6=3\cdot 4$

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม (1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ) เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น $2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots$

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมไปถึง (principal ideal domain หรือ PID) (Euclidean domain) และเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

ประวัติ

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่เป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

บทประยุกต์

รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก

ทุกจำนวนเต็มบวก $n > 1$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว

n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}

เมื่อ $p 1 < p 2 < ... < p k$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $n i$ เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ $k = 0$ )

การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ $n$ หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น

999 = 3³×37,

1000 = 2³×5³,

1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ $p 0 = 1$ โดยไม่เปลี่ยนค่าของ $n$ (ตัวอย่างเช่น $1000 = 2 3 \times3 0 \times5 3$ ) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก

n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},

โดยมี $n i$ เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ

การดำเนินการทางเลขคณิต

รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

{\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}

อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

ฟังก์ชันเลขคณิต

ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์

การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

การมีอยู่

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดย ให้จำนวนนั้นคือ $n$ จะเห็นได้ว่า $n$ ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ $n$ คือผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $n$ จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

n=ab

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $n$ แต่ $n$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น ${\textstyle a=p_{1}\dotsb p_{j}}$ และ $b=q_{1}\dotsb q_{j}$ ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

n=ab=p_{1}\dotsc p_{j}q_{1}\dotsc q_{k}

ฉะนั้น $n$ เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิด

การเขียนได้แบบเดียว

เราจะใช้ที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก $n$ ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ ${\textstyle p_{1},\dotsc ,p_{j}}$ และ ${\textstyle q_{1},\dotsc ,q_{k}}$ สองแบบ

{\textstyle n=p_{1}\dotsb p_{j}=q_{1}\dotsb q_{k}}

จะเห็นว่า $p_{1}$ จะหาร $q_{1}\dotsb q_{k}$ ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด $p_{1}$ จะต้องหารตัวประกอบ $q_{i}$ ในผลคูณ $q_{1}\dotsb q_{k}$ ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น $q_{1}$ แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น $p_{1}$ จะต้องเท่ากับ $q_{1}$ ดังนั้นเราจึงตัด $p_{1}$ และ $q_{1}$ ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า

p_{2}\dotsb p_{j}=q_{2}\dotsb q_{k}

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด

หมายเหตุ

Long (1972, p. 44)
Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)
Hardy & Wright (2008, Thm 2)
In a , the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into .
Weil (2007, p. 5): "Even in Euclid, we fail to find a general statement about the uniqueness of the factorization of an integer into primes; surely he may have been aware of it, but all he has is a statement (Eucl.IX.I4) about the l.c.m. of any number of given primes."
A. Goksel Agargun and E. Mehmet Özkan. "A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic" (PDF). Historia Mathematica: 209. One could say that Euclid takes the first step on the way to the existence of prime factorization, and al-Farisi takes the final step by actually proving the existence of a finite prime factorization in his first proposition.
Rashed, Roshdi (2002-09-11). Encyclopedia of the History of Arabic Science (ภาษาอังกฤษ). Routledge. p. 385. ISBN . The famous physicist and mathematician Kamal al-Din al-Farisi compiled a paper in which he set out deliberately to prove the theorem of Ibn Qurra in an algebraic way. This forced him to an understanding of the first arithmetical functions and to a full preparation which led him to state for the first time the fundamental theorem of arithmetic.
อ้างอิงผิดพลาด: ป้ายระบุ <ref> ไม่ถูกต้อง ไม่มีการกำหนดข้อความสำหรับอ้างอิงชื่อ Gauss1801.loc=16
Long (1972, p. 45)
Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 55)
Hardy & Wright (2008, § 1.2)

อ้างอิง

หนังสือ ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน

Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), แปลโดย Clarke, Arthur A., New York: , ISBN
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition) (ภาษาเยอรมัน), แปลโดย Maser, H., New York: Chelsea, ISBN

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, vol. 2 (Books III-IX), Translated by (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN
; (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by and . Foreword by . (6th ed.), Oxford: , ISBN , 2445243, 1159.11001
Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: , LCCN 77-171950.
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: , LCCN 77-81766.
Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN
Weil, André (2007) [1984], , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN

ดูเพิ่ม

การแยกตัวประกอบ

ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก

Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at .
PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of from to the proof by .
"Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, , 2007.
Grime, James, "1 and Prime Numbers", Numberphile, , เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2021-12-11

[1] Long (1972, p. 44)

[2] Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

[3] Hardy & Wright (2008, Thm 2)

[4] In a , the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into .

[5] Weil (2007, p. 5): "Even in Euclid, we fail to find a general statement about the uniqueness of the factorization of an integer into primes; surely he may have been aware of it, but all he has is a statement (Eucl.IX.I4) about the l.c.m. of any number of given primes."

[6] A. Goksel Agargun and E. Mehmet Özkan. "A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic" (PDF). Historia Mathematica: 209. One could say that Euclid takes the first step on the way to the existence of prime factorization, and al-Farisi takes the final step by actually proving the existence of a finite prime factorization in his first proposition.

[7] Rashed, Roshdi (2002-09-11). Encyclopedia of the History of Arabic Science (ภาษาอังกฤษ). Routledge. p. 385. ISBN . The famous physicist and mathematician Kamal al-Din al-Farisi compiled a paper in which he set out deliberately to prove the theorem of Ibn Qurra in an algebraic way. This forced him to an understanding of the first arithmetical functions and to a full preparation which led him to state for the first time the fundamental theorem of arithmetic.

[Gauss1801.loc=16-8] อ้างอิงผิดพลาด: ป้ายระบุ <ref> ไม่ถูกต้อง ไม่มีการกำหนดข้อความสำหรับอ้างอิงชื่อ Gauss1801.loc=16

[9] Long (1972, p. 45)

[10] Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 55)

[11] Hardy & Wright (2008, § 1.2)