คณ ตว เคราะห อ งกฤษ mathematical analysis เป นสาขาหน งในว ชาคณ ตศาสตร ท ม ศ กษาการเปล ยนแปลงอย างต อเน องของฟ งก ช น และ

คณิตวิเคราะห์ (อังกฤษ: mathematical analysis) เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีศึกษาการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน และรวมไปถึงสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องนั้น เช่น ลิมิต, อนุกรมเลข, อนุพันธ์, ปริพันธ์ รวมไปถึงหัวข้อที่ลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น เช่น ทฤษฎีเมเชอร์และ โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิตแต่ทั้งนี้สามารถใช้ในการวิเคราะห์ปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความใกล้หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้

ในรูปคือแนววิถีของสมการเชิงอนุพันธ์สมการหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสาขาสำคัญของคณิตวิเคราะห์ที่มีการประยุกต์ใช้ใน วิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ มากมาย

ประวัติ

คณิตวิเคราะห์ในยุคโบราณ

ผลลัพธ์แรกๆในคณิตวิเคราะห์ปรากฏโดยนัยในคณิตศาสตร์ของชาวกรีกยุคแรกๆ ต่อมา เช่นและอาร์คิมิดีส ได้ใช้หลักการลิมิตและการลู่เข้าที่ชัดแจ้งแต่ไม่เป็นทางการเมื่อเขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของขอบเขตหรือของแข็ง ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 12 ได้ยกตัวอย่างของอนุพันธ์และได้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของโรลล์

คณิตวิเคราะห์ในยุคกลาง

ในช่วงศตวรรษที่ 14 Madhava of Sangamagrama ได้พัฒนาวิธีการขยายอนุกรม เช่นและของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และ และฟังก์ชัน นอกจากการพัฒนาอนุกรมเทเลอร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เขายังคาดคะเนความมากน้อยของเทอมผิดพลาดที่เกิดจากการลดทอนอนุกรมหล่าวนี้ได้อีกด้วย อีกทั้งยังสามารถประมาณค่าของอนุกรมอนันต์ในรูปแบบตรรกยะได้ ต่อมามีการพัฒนาต่อยอดไปอีกในช่วงศตวรรษที่ 20

คณิตวิเคราะห์สมัยใหม่

ในยุปโรปในช่วงศตวรรษที่ 17 ตอนปลาย นิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาโดยเอกเทศแต่ได้บทสรุปเหมือนกันที่ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยงานประยุกต์ที่มีต่อๆไปในช่วงศตวรรษที่ 18 เช่น, และ, , และ ในช่วงเวลานี้ เทคนิกทางแคลคูลัสได้รับการประยุกต์ใช้เพื่อประมาณค่าทางวิยุตคณิตโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในช่วงศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้คิดค้นแนวคิดฟังก์ชันคณิตศาสตร์ คณิตวิเคราะห์จำนวนจริงได้เริ่มต้นขึ้นโดยเอกเทศเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนคิดค้นคำนิยามของคำว่าความต่อเนื่องในปี 1816 แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้อย่างกว้างขวางก่อนช่วงปี 1870 ในปี 1821 ได้เริ่มสร้างพื้นทางให้กับแคลคูลัสโดยเลิกคำนึงถึงความทั่วไปของพิชคณิตซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์ให้ความสนใจมากก่อนหน้านี้ โคชีใช้แนวคิดกณิกนันต์และแนวคิดทางเรขาคณิตมาใช้ในแคลคูลัส จนทำให้เกิดคำพูดที่ว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากๆของค่า x ส่งผลให้ค่า y เปลี่ยนแปลงอย่างน้อยๆเช่นกัน เขาเริ่มใช้แนวคิดและทฤษฎีใหม่ล่าสุดในตอนนั้นซึ่งคือ ปัวซอง, , และนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆเริ่มศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อยและ นั่นส่งผลให้พัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

ในช่วงกลางศตวรรษ ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มมีความกังวลเกี่ยวกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนจริงอยู่บนเส้นจำนวนจริงที่ต่อเนื่องเพราะว่าไม่มีการพิสูจน์ จึงได้สร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้ซึ่งทำให้สามารถนิยามจำนวนอตรรยะได้เป็นอย่างดี ซึ่งส่งผลให้เซตตัวเลขสมบูรณ์ ต่อมามีความพยายามที่จะพัฒนาต่อยอดงานของรีมันน์โดยการศึกษาขนาดของเซตที่ไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันจำนวนจริง

หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึง ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซต แก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และได้คิดค้นเพื่อแก้ ได้เป็นพื้นฐานให้กับในเวลาต่อมาในช่วง 1920 ผ่านงานของ

สาขาย่อย

คณิตวิเคราะห์มีสาขาย่อยหลัก ๆ ดังต่อไปนี้

การวิเคราะห์เชิงจริง

การวิเคราะห์เชิงซ้อน

สมการเชิงอนุพันธ์

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีเมเชอร์

การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

นอกจากนี้ยังมีหัวข้ออื่น ๆ ที่เป็นสาขาย่อยของคณิตวิเคราะห์ลงไปอีก ได้แก่

หมายเหตุ

"Analysis | mathematics". Encyclopedia Britannica (ภาษาอังกฤษ).
"Mathematical analysis - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
(2004). "Infinite Series". p. 170. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series {{}}: |title= ไม่มีหรือว่างเปล่า ((help))
(Smith, 1958)
Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. p. 17.
* (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 379. ISBN . Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)

อ้างอิง

Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley. .
Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
Nikol'skii, S. M. 2002. "Mathematical analysis". In Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor). Springer-Verlag. .
Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. .
. 1976. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), .
Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. .
Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. .
and . 1927. . 4th edition. Cambridge University Press. .
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf

ดูเพิ่ม

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)

[1] "Analysis | mathematics". Encyclopedia Britannica (ภาษาอังกฤษ).

[2] "Mathematical analysis - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.

[3] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965

[Stillwell_Infinite_Series_Early_Results-4] (2004). "Infinite Series". p. 170. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series ¹⁄₂ + ¹⁄₂² + ¹⁄₂³ + ¹⁄₂⁴ + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + ¹⁄₄ + ¹⁄₄² + ¹⁄₄³ + ... = ⁴⁄₃. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series {{}}: |title= ไม่มีหรือว่างเปล่า ((help))

[5] (Smith, 1958)

[function-6] Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. p. 17.

[7] * (1997). "Beyond the Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 379. ISBN . Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)