อนุพันธ์อันดับสอง

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

อนุพันธ์อันดับสองของ มีค่าคงที่

ใน$${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$$โดยที่ a คือความเร่ง, v คือความเร็ว, t คือเวลา, x คือตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$ คืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง (x) เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับ หรือของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง

กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}}$$

สัญกรณ์

อนุพันธ์อันดับสองของ ${\displaystyle f(x)}$ โดยมากจะเขียนเป็น ${\displaystyle f''(x)}$ ซึ่งคือ $${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$

เมื่อใช้สำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม y เทียบตัวแปรอิสระ x จะเขียนได้ว่า$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$$ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$$

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$$อนุพันธ์ของ f คือฟังก์ชัน$${\displaystyle f'(x)=3x^{2}}$$อนุพันธ์อันดับสองของ f คืออนุพันธ์ของ ${\displaystyle f'}$ กล่าวคือ$${\displaystyle f''(x)=6x}$$

ความสัมพันธ์กับกราฟ

กราฟของ ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ จาก ${\displaystyle -\pi /4}$ ถึง ${\displaystyle 5\pi /4}$ - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0, ${\displaystyle \pi }$ /2, และ ${\displaystyle \pi }$)

ความเว้า

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ f ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน จะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

จุดเปลี่ยนเว้า

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ ${\displaystyle f'(x)=0}$ ) ว่าใช่หรือไหม

• ถ้า ${\displaystyle f''(x)<0}$, แล้ว ${\displaystyle f}$ มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ ${\displaystyle x}$
• ถ้า ${\displaystyle f''(x)>0}$, แล้ว ${\displaystyle f}$ มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ ${\displaystyle x}$
• ถ้า ${\displaystyle f''(x)=0}$ การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด ${\displaystyle x}$ นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

ลิมิต

สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}$$ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}}$$ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ซึ่งนิยามว่า$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0\end{cases}}}$$ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ ${\displaystyle x=0}$ หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ ${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}}$$

การประมาณกำลังสอง

เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับ อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน f เป็นซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ f ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ f รอบ ๆ จุด x = a คือ$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}}$$การประมาณกำลังสองคืออันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

จำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ ${\displaystyle x\in [0,L]}$ และเอกพันธ์ุ (เช่น ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ โดยที่ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ) คือ ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ จะได้ ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ เมื่อ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่

การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น

เมทริกซ์เฮสเซียน

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน f: R³ → R อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$และอนุพันธ์ย่อยผสม$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}}$$ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตรเรียกว่าเมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ )

ตัวดำเนินการลาปลาส

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสองคือตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (หรือ ${\displaystyle \Delta }$ ) ที่กำหนดโดย$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

ดูเพิ่ม

• อนุพันธ์อันดับสองของ
• ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง

อ้างอิง

1. "Content - The second derivative". amsi.org.au. สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.
2. "Second Derivatives". Math24 (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.^[]
3. A. Zygmund (2002). . Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN .
4. Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN .

อ่านเพิ่มเติม

สิ่งพิมพ์

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 
• (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 
• (September 8, 1998), (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 

หนังสือออนไลน์

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

แหล่งข้อมูลอื่น

• อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน