อนุพันธ์สมมาตร

ในคณิตศาสตร์ อนุพันธ์สมมาตรเป็นการดำเนินการที่วางนัยทั่วไปกับอนุพันธ์สามัญ

นิยามว่า$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$$

นิพจน์ภายในลิมิตบางทีเรียกว่าสมมาตร ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จุด x ถ้าอนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่จุดนั้น

ถ้า (ในความหมายทั้วไป) ที่จุดนั้น จุดนั้นก็จะหาอนุพันธ์สมมาตรได้ แต่ไม่จำเป็นจะเป็นจริงในทางกลับกัน ตัวอย่างค้านที่พบบ่อยคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ${\textstyle f(x)=|x|}$ จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ ${\textstyle x=0}$ แต่สามารถหาาอนุพันธ์สมมาตรได้ 0 สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ผลหารผลต่างสมมาตรให้ได้ดีกว่าผลหารผลต่างปกติ

อนุพันธ์สมมาตร ณ จุด ๆ หนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของที่จุดนั้น ถ้าหาค่าสองอย่างนั้นได้^: 6

ทั้งทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นจะเป็นจริงสำหรับอนุพันธ์สมมาตร บางประพจน์ที่คล้ายกันแต่อ่อนกว่าได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง

กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ สังเกตการหักมุมที่ x = 0 นำไปสู่การหาค่าอนุพันธ์ได้ที่ x = 0 ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่ x = 0 ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ x = 0

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle f_{s}(x)}$ สำหรับอนุพันธ์สมมาตร ที่ ${\displaystyle x=0}$ จะได้

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\\\end{aligned}}}$$

ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรจึงหาค่าได้ที่ ${\displaystyle x=0}$ แล้ามีค่าเป็น 0 แม้ว่าอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่จุดนั้นก็ตาม (เนื่องจากการหักมุมในกราฟที่ ${\displaystyle x=0}$)

สังเกตว่าในตัวอย่างนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่ 0 หาค่าได้เป็น -1 และ +1 ตามลำดับ ต่าเฉลี่ยจึงได้ 0 ตามที่คาดไว้

กราฟของ y = 1/x² สังเกตความไม่ต่อเนื่องที่ x = 0 ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่ x = 0 ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ x = 0

ฟังก์ชัน x⁻²

สำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ ที่ ${\displaystyle x=0}$ จะได้

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันนี้อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ ${\displaystyle x=0}$ ส่วนอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่ ${\displaystyle x=0}$ เนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในส่วนโค้งที่จุดนั้น นอกจากนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาเป็นอนันต์ที่ 0 เป็นตัวอย่างของ

ฟังก์ชันดิริชเลต์

นิยามว่า$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}}$$

สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ทุก ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$ ใด ๆ หรือสามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จำนวนตรรกยะแต่ไม่ได้ทีจำนวนอตรรกยะ

การวางนัยทั่วไป

แนวคิดนี้สามารถการวางนัยทั่วไปยังอนุพันธ์สมมาตรอันดับสูงอื่น ๆ และทั้ง n-มิติ

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองสามารถนิยามได้ดังนี้^: 1$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}$$

ถ้าอนุพันธ์สามัญอันดับสองหาค่าได้ แล้วอนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้ และจะมีค่าเท่ากัน อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะหาค่าไม่ได้ก็ตามดังตัวอย่าง พิจารณาฟังก์ชันเครื่องหมาย ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ซึ่งได้นิยามไว้ว่า$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\0&,x=0\\1&,x>0\end{cases}}}$$ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์สามัญอันดับสองสไหรับ ${\displaystyle x=0}$ จะหาค่าไม่ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้สำหรับ ${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.}$$

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสมมาตร

อ้างอิง

1. Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN .
2. Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN .
3. Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Calculus With Applications. Springer. p. 213. ISBN .
4. Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN .
5. Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN .
6. A. Zygmund (2002). . Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN .
7. Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN .

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Symmetric derivative", , , ISBN 
• Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)