กฎยกกำลัง

ในแคลคูลัส สูตรหรือกฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ เมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle r}$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับเนื่องจากเชื่อมโยงกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ประพจน์ของกฎยกกำลัง

ให้ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ สำหรับทุก ${\displaystyle x}$ ที่ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ แล้ว

$${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}$$ กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า $${\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$$ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ${\displaystyle r\neq -1}$ กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็น

บทพิสูจน์

พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

ให้ ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ เมื่อ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ทำให้ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

แล้ว

${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$

อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน ${\displaystyle x}$

${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$

แก้หา ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}}$

เนื่องาก ${\displaystyle y=x^{p/q}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}}$

ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}}$

ให่้ ${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$ สามารถสรุปได้ว่า ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$ เมื่อ ${\displaystyle r}$ เป็นจำนวนตรรกยะ

การนำไปใช้กับพหุนาม

พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}$

${\displaystyle \int \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ ${\displaystyle x^{100}}$ ก็คือ ${\displaystyle 100x^{99}}$ และปริพันธ์ของ ${\displaystyle x^{100}}$ คือ ${\displaystyle {\frac {x^{101}}{101}}+c}$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น จะได้

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\mathrm {d} \left(a_{r}x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}.}$

ดังนั้นจะต้องหา ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle r}$ ใดๆ ซึ่งมี โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ ${\displaystyle r=1}$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(ax^{k}\right)=akx^{k-1}}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

พิสูจน์โดย ทฤษฎีบททวินาม (จำนวนธรรมชาติ)

หมายเหตุ

1. ถ้า ${\displaystyle r}$ เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งมีเศษส่วนอย่างต่ำที่ตัวส่วนเป็นจำนวนคี่ แล้วโดเมนของ ${\displaystyle f}$ ได้รับการเข้าใจว่าเป็น ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ไม่เช่นนั้นโดเมนจะเป็น ${\displaystyle (0,\infty )}$.

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. .