หลักเกณฑ์โลปีตาล

ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (อังกฤษ: L'Hôpital's rule) หรือ กฎของแบร์นูลลี (อังกฤษ: ฺBernoulli's rule) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าที่อยู่ใน (อังกฤษ: indeterminate forms) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ ${\displaystyle {\color {orange}f(x)}=\color {orange}\sin(x)}$ และ ${\displaystyle {\color {red}g(x)}=\color {red}-0.5x}$ ของฟังก์ชัน ${\displaystyle {\color {brown}h(x)}={\color {orange}f(x)}/{\color {red}g(x)}}$ จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง x = 0 แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ โดยนิยามให้ .${\displaystyle {\color {brown}h(0)}={\color {teal}f'(0)}/{\color {blue}g'(0)}=-2}$

กฏของโลปีตาล — ฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ ที่บนช่วงเปิด ${\displaystyle I}$ ยกเว้นเมื่อที่จุด ${\displaystyle c}$ อยู่ใน ${\displaystyle I}$

ถ้า ${\displaystyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0}$ หรือ ${\displaystyle \pm \infty }$ และ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ สำหรับทุก ${\displaystyle x}$ ใน ${\displaystyle I}$ ที่ ${\displaystyle x\neq c}$ และ ${\displaystyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ หาค่าได้

แล้ว ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

ประวัติ

กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปีพ.ศ.2239 (ค.ศ.1696) ในหนังสือชื่อ เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อ

รูปทั่วไป

รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ ${\displaystyle c}$ และ ${\displaystyle L}$ เป็น (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ ${\displaystyle I}$ เป็นที่มี ${\displaystyle c}$ อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี ${\displaystyle c}$ เป็นจุดปลาย (สำหรับ หรือ ถ้า ${\displaystyle c}$ เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ บน ${\displaystyle I}$ อาจยกเว้นที่ ${\displaystyle c}$ และ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ บน ${\displaystyle I}$ อาจยกเว้นที่ ${\displaystyle c}$ ด้วย ยังสมมติให้ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าไกล้ ${\displaystyle c}$

ถ้า

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

หรือ

${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=L}$

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป ${\displaystyle x\to c}$ ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว (${\displaystyle x\to c^{+}}$ หรือ ${\displaystyle x\to c^{-}}$) เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจุดปลายจำกัดของ ${\displaystyle I}$

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ ${\displaystyle f}$ ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดั้งนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

สมมุติฐานที่ว่า ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่งคือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle I}$ อาจยกเว้นที่ ${\displaystyle c}$ อีกวิธีคือให้ทั้ง ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี ${\displaystyle c}$ อยู่

ตัวอย่าง

• ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ ที่ ${\displaystyle x=0}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1\end{aligned}}}$$
• ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6\end{aligned}}}$$

• ตัวอย่างที่เป็น ${\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}}$$
  ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า ${\displaystyle n}$ เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า ${\displaystyle n}$ เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
• ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
  $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}$$
• สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า ${\displaystyle f}$ หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ ${\displaystyle x}$ และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x)\end{aligned}}}$$
• บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้ ${\displaystyle f(x)+f'(x)}$ ลู่เข้าเมื่อ ${\displaystyle x\to \infty }$ และ ${\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}$ ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้ว
  $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}$$
  ดังนั้นถ้า ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ หาค่าได้ แล้ว ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0}$

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น ${\displaystyle 1^{\infty }}$ ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle \infty ^{0}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ และ ${\displaystyle \infty -\infty }$ สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี ${\displaystyle \infty -\infty }$ โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}$

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4)

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}}$

ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง ${\displaystyle x}$ "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}$ อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0}$ ดังนั้น ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1}$

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล

รูปแบบยังไม่กำหนด	เงื่อนไข	การแปลงเป็น ${\displaystyle 0/0}$
$${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—
$${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
$${\displaystyle 0\cdot \infty }$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$
$${\displaystyle \infty -\infty }$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$
$${\displaystyle 0^{0}}$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
$${\displaystyle 1^{\infty }}$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
$${\displaystyle \infty ^{0}}$$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$

บทพิสูจน์กฎโลปีตาล

กรณีพิเศษ

การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด ${\displaystyle c}$ และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ

ให้ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง ${\displaystyle c}$ โดย ${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$ และ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$ แล้ว

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\end{aligned}}}$$

มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่ ${\displaystyle c}$ ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

บทพิสูจน์ทั่วไป

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของเทย์เลอร์ (1952) harvtxt error: no target: CITEREFเทย์เลอร์1952 () ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ และ ${\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$ เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู๋ในเลตเทินมาเยอร์ (1936) harvtxt error: no target: CITEREFเลตเทินมาเยอร์1936 () และวาเซวสกี (1949) harvtxt error: no target: CITEREFวาเซวสกี1949 ()

ให้ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย ${\displaystyle c}$ พิจรณาให้ ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ บนช่วงนี้ และ ${\displaystyle g}$ ต่อเนื่อง สามารถเลือก ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ที่เล็กกว่าที่ทำให้ ${\displaystyle g}$ ไม่เป็นศูนย์บน ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ได้

สำหรับทุก ${\displaystyle x}$ ในช่วง นิยามให้ ${\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$และ ${\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ โดยที่ ${\displaystyle \xi }$ มีค่าอยู่ระหว่าง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle c}$ (ฟังก์ขัน ${\textstyle \inf }$ กับ ${\textstyle \sup }$ คือกับตามลำดับ)

จากการหาอนุพันธ์ได้ของ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ บน ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ใน ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ จะมี ${\displaystyle \xi }$ ระหว่างค่า ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$ ส่งผลให้ ${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}$ สำหรับทุกตัวเลือกค่า ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ที่แตกต่างในช่วง

ค่า ${\displaystyle g(x)-g(y)}$ ไม่เป็นศูนย์เมื่อ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี ${\displaystyle p}$ ที่อยู่ระหว่าง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle g'(p)=0}$

จากนิยามของ ${\displaystyle m(x)}$ และ ${\displaystyle M(x)}$ ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น ${\textstyle \pm \infty }$ ได้ ในกรณีต่อไปนี้ ${\displaystyle m(x)}$ และ ${\displaystyle M(x)}$ จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$

กรณีที่ 1 ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$

สำหรับทุก ${\displaystyle x}$ ในช่วง ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ และจุด ${\displaystyle y}$ ระหว่าง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}$

และเมื่อ ${\displaystyle y}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle c}$ ทั้ง ${\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}$ และ ${\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}$ จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้

${\textstyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x)}$

กรณีที่ 2 ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

สำหรับทุก ${\displaystyle x}$ บนช่วง ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ นิยาม ${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y}$ อยู่ระหว่าง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle c\}}$ สำหรับทุกจุด ${\displaystyle y}$ ระหว่าง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x)}$

โดยที่เมือ ${\displaystyle y}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle c}$ ทั้ง ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}$ และ ${\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}$ จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

${\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}$

และนั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ยังไม่ได้รับการยืนยัน

แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่

${\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$

และ

${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ และ${\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

ในกรณีแรก บอกได้ว่า ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ หาค่าได้และเท่ากับ ${\displaystyle L}$ ในกรณีที่สอง ยังบอกได้ว่า ${\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$ ดังนั้น ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$ หาค่าได้และเท่ากับ ${\displaystyle L}$ นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์

ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า ${\displaystyle f(x)}$ ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า ${\displaystyle |g(x)|}$ ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ ${\displaystyle x}$ เข้าใกล้ ${\displaystyle c}$ และทั้ง${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว ${\displaystyle f(x)}$ ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ ${\displaystyle f(x)}$ อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

อ้างอิง

1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. สืบค้นเมื่อ 21 December 2008.{{}}: CS1 maint: url-status ()
2. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011-01-25). A History of Mathematics (ภาษาอังกฤษ) (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN .
3. (Chatterjee 2005, p. 291)
4. (Krantz 2004, p.79)
5. "L'Hopital's Theorem". IMOmath. .

แหล่งข้อมูล

• Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 
• Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN ,  2015447
• Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59 (1): 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, JSTOR 2307183,  0044602
• Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (ภาษาฝรั่งเศส), 47: 117–128,  0034430
• Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, doi:10.1515/crll.1936.174.246, S2CID 199546754