สมการอดิศัย

สมการอดิศัย (transcendental equation) เป็นสมการที่ประกอบไปด้วยฟังก์ชันอดิศัย นั่นคือ ฟังก์ชันที่ไม่สามารถแสดงด้วยพหุนามหรือรากของตัวแปรอิสระในสมการได้ คำตรงข้ามของสมการอดิศัยคือ การแก้สมการอดิศัยไม่สามารถทำได้โดยใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการอดิศัยส่วนใหญ่ และเป็นการยากที่จะหา

หนังสือเกี่ยวกับการแก้สมการอดิศัยโดยจอห์น เฮอร์เชล ปี 1832

ตัวอย่าง

สมการต่อไปนี้เป็นสมการอดิศัยทั้งหมด เพราะมีฟังก์ชันอดิศัย เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน e หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

${\displaystyle e^{x}x=1}$

${\displaystyle x=\sin {x}}$

ในทางดาราศาสตร์ สมการเค็พเพลอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเฉลี่ย ${\displaystyle M}$ กับมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle E}$ ของวงโคจรก็เป็นสมการอดิศัย

${\displaystyle M=E-e\sin {E}}$

โดย ${\displaystyle e}$ คือ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

วิธีแก้

การแก้สมการอดิศัยสามารถแก้ได้โดยวิธีการวาดกราฟเอา หรือใช้การวิเคราะห์เชิงตัวเลข หากใช้วิธีการวาดกราฟ สูตรทั้งสองด้านของสมการสามารถมีค่าเท่ากับตัวแปรอื่นตามลำดับ (เช่น ${\displaystyle y}$ ) แล้ววาดกราฟทั้งสองเข้าด้วยกัน จุดตัดของกราฟทั้งสองคือคำตอบของสมการอดิศัย วิธีการเชิงตัวเลขก็ต่อยอดมาจากแนวคิดนี้เช่นกัน และตำแหน่งของจุดตัดของกราฟทั้งสองนั้นได้มาจากการใช้สูตรทางคณิตศาสตร์

ถ้าค่ามีขนาดเล็กมาก หรือทราบว่าผลเฉลยมีค่าใกล้เคียงค่าหนึ่ง อาจสามารถใช้เพื่อประมาณฟังก์ชันอดิศัยในรูปพหุนาม ดังนั้นสมการอดิศัยสามารถประมาณได้ด้วยสมการพีชคณิต แล้วค่อยหาผลเฉลยสำหรับสมการพีชคณิตนั้น คำตอบเชิงตัวเลขของสมการอดิศัยยังอาจสามารถหาได้โดยใช้

บางอย่างสามารถใช้แทนคำตอบของสมการอดิศัยได้ ตัวอย่างเช่น เช่น สมการอดิศัยนี้

${\displaystyle xe^{x}=1}$

มีผลเฉลยเป็น ${\displaystyle W(1)}$ ซึ่งมีค่าโดยประมาณคือ ${\displaystyle 0.56714329\dots }$ ()

อ้างอิง

1. 冯有前 (2005). 数值分析. 清华大学出版社. p. 11. ISBN .
2. 姜启源 (2005). 大学数学实验. 清华大学出版社. p. 113. ISBN .