มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง (eccentric anomaly) เป็นหนึ่งในตัวแปรค่ามุมที่แสดงตำแหน่งของวัตถุบน นิยามโดยเป็นมุม ${\displaystyle E=\angle FCP'}$ ในรูปด้านขวา โดย C คือจุดศูนย์กลางวงโคจร F คือตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล (จุดโฟกัส) และมุม ${\displaystyle f=\angle AFP}$ คือมุมกวาดจริง

มุมกวาดเยื้องศูนย์กลางคือมุม E ในรูปนี้

ภาพรวม

สมการของวงรีที่มี กึ่งแกนเอก ${\displaystyle a}$ และกึ่งแกนโท ${\displaystyle b}$ คือ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

และอาจเขียนโดยใช้ตัวแปรเสริมได้เป็น

${\displaystyle x=a\cos E}$

และ

${\displaystyle y=b\sin E}$

โดย E ก็คือค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวล (จุดโฟกัส) ${\displaystyle r}$ สามารถแสดงโดยใช้ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร ${\displaystyle e}$ และกึ่งแกนเอก ${\displaystyle a}$ ซึ่งเป็นตัวแปรที่กำหนดลักษณะของวงโคจรวงรีได้โดย

${\displaystyle r=a(1-e\cos E)}$

และค่ามุมกวาดจริง ${\displaystyle \nu }$ จะคำนวณได้โดย

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$

สมการเค็พเพลอร์

มุมกวาดเฉลี่ย ${\displaystyle M}$ สามารถคำนวณได้จากมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางเป็น

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมการเค็พเพลอร์

ในการคำนวณมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางจากมุมกวาดเฉลี่ยนั้น กรณีที่ค่า ${\displaystyle e}$ มีขนาดเล็ก (${\displaystyle e<0.6627434}$) สามารถคำนวณโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ${\displaystyle E_{i+1}=M+e\sin E_{i}}$ โดยเริ่มต้นจาก ${\displaystyle E_{0}=M}$

เขียน ${\displaystyle E}$ในรูปของ ${\displaystyle e}$ พจน์แรก ๆ ได้เป็น

${\displaystyle E=M+e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+{\frac {e^{3}}{8}}(3\sin 3M-\sin M)+\dots }$

อ้างอิง

1. George Albert Wentworth (1914). "The ellipse §126". Elements of analytic geometry (2nd ed.). Ginn & Co. p. 141.