รากที่ n

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ n ของจำนวน x คือจำนวน r ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง n แล้วจะเท่ากับ x นั่นคือ

${\displaystyle r^{n}=x\,}$

ตัวแปร n คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี n จะเรียกว่ารากที่ n เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่า รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น

• 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 2² = 4
• −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)² = 4

รากที่ n ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ x เขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ รากที่สามเขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ รากที่สี่เขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}$ เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญ (principal n-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่าเสิร์ด (surd) หรือราก (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่ารูต (root)

ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{(1/n)}}$

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งเป็นตัวพิจารณาของ รากที่ n อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 () ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง จำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

ประวัติ

ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์, เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว r, ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า radix ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม. ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ Die Coss โดย นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน.

คุณสมบัติทั่วไป

1. ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
2. ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อยๆ อย่างเช่น ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562373095048...}$ จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
3. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$
4. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}$
5. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}={\sqrt[{n-1}]{a}}}$
6. ${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {+...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a+1}}}{2}}}$
7. ${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {a-{\sqrt {a+{\sqrt {-...}}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4a-3}}}{2}}}$
8. ${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}\neq }$ ${\displaystyle \pm \left|a\right|}$ เมื่อ ${\displaystyle a<0}$

ปฏิบัติการมูลฐาน

• การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad ;a\geq 0,b\geq 0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad ;a\geq 0,b>0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}$ ; a > 0, b > 0

• ขณะที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนบวก.

และทุกๆ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ , จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง bⁿ = a, ดังนั้นการใช้ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้. รากที่ n ของ จึงมีความสำคัญยิ่ง.

จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้, โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}$

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}\,}$

ตัวอย่าง:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{\frac {25+12}{15}}=a^{\frac {37}{15}}}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt[{4}]{a}}}=a^{\frac {1}{2}}a^{\frac {-1}{4}}=a^{\frac {4-2}{8}}=a^{\frac {2}{8}}=a^{\frac {1}{4}}}$

• การที่จะรื้อออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}$

${\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

${\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

อ้างอิง

1. Bansal, R.K. (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. p. 25. ISBN .
2. Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN .
3. Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (ภาษาละติน).