รากที่สาม

ในจำนวน x คือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้ว นำไปคูณตัวมันเองอีกครั้ง จะได้ค่า x ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะว่า 2 × 2 × 2= 8 โดยทั่วไปแล้วจำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะมีรากที่สามอยู่ 3 จำนวน คือ จำนวนจริง 1 จำนวน และ จำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนซึ่งเป็นสังยุคกัน ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ

กราฟของสมการ ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}={\begin{cases}\ \ 2\\-1+i{\sqrt {3}}\\-1-i{\sqrt {3}}\end{cases}}}$

การดำเนินการหารากที่สามเป็นกับ และเป็นการแจกแจงกับการคูณ และการหาร แต่นี่ไม่ได้เปลี่ยนหมู่หรือแจกแจงกับการบวก หรือ การลบแต่อย่างใด

นิยาม

รากที่สามของจำนวน x และ y ที่เป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้

${\displaystyle y^{3}=x\,}$

สมบัติ

จำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนจริง y เพียงหนึ่งจำนวนเสมอ ที่ y³ = x เนื่องจากฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่ให้ค่าซ้ำจากจำนวนที่ต่างกัน และยังเป็นฟังก์ชันที่เรนจ์ครอบคลุมเซตของจำนวนจริง นั่นคือฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และมีฟังก์ชันผกผันที่หนึ่งต่อหนึ่งเช่นเดียวกัน จากนิยาม จำนวนจริงบวกจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงบวก และจำนวนจริงลบจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงลบ

หากอนุญาตให้ y เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ จะพบว่าสมการ y³ = x มี 3 คำตอบที่ต่างกันเสมอ (เว้นแต่กรณี x = 0 ซึ่งให้ y = 0 ค่าเดียว) โดยค่าหนึ่งเป็นจำนวนจริงดังกล่าวมาแล้ว อีกสองค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นสังยุคกันเสมอ เช่น รากที่สามของ 1 ได้แก่:

${\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$

รากที่สามของ 1 เหล่านี้แสดงความสัมพันธ์ของรากที่สามทั้งสามตัวของจำนวนจริงใด ๆ โดยหากมีจำนวนหนึ่งเป็นรากที่สามของอีกจำนวนหนึ่งแล้ว รากที่สามที่เหลือทั้งสองตัวสามารถหาได้จากการนำรากตัวแรกไปคูณกับรากที่สามของ 1 ที่เป็นเชิงซ้อนแต่ละตัว

จำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน x ใด ๆ เราสามารถเขียน

${\displaystyle x=r\exp(i\theta )}$

โดยที่ r เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบและ

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

ซึ่งจะได้ว่า

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}$

โดยปกติแล้วปกติจะนิยามรากที่สามมุขสำคัญ เป็นรากตัวที่มีส่วนจริงมากที่สุด หรือทียบเท่ากับการมีค่าสัมบูรณ์ของต่ำสุด ซึ่งตามด้านบนจะเป็นรากที่สามตัวบนสุด

ค่านี้สัมพันธ์กับค่ามุขสำคัญของลอการิทึมตามสมการ

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=\exp {\left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right)}}$

ควรสังเกตว่า โดยนิยามนี้ รากที่สามของจำนวนจริงลบ จะมีค่ามุขสำคัญเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่น ค่ามุขสำคัญของ ³√−8 เป็น 1 + i√3 ไม่ใช่ - 2