ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับใน Rn โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซต (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส
ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์
ข้อความ
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ — ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า
พิสูจน์
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน
ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์ ใน
มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว
เราจะเรียกดัชนีค่าบวก ของลำดับว่าเป็น จุดพีค ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ
สำหรับทุก
สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี
และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า
. ดังนั้น ลำดับอนันต์
ใน
มีลำดับทางเดียวคือ
นั้น
แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย
ที่มีดัชนีตัวแรกคือ
จะเงื่อนไขได้ว่า
ไม่เป็นจุดพีค เพราะ
มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี
ที่ซึ่ง
และ
เช่นกัน จาก มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี
ที่ซึ่ง
และทำให้
ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด
ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ
ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์
ใน
มีลำดับย่อยทางเดียว
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า เป็นลำดับมีขอบเขต ใน
โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า
สำหรับกรณีทั่วไป () จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดใน
ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด
ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า
บทพิสูจน์แบบอื่น
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้ เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต :
- เพราะ
มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง
และขอบเขตบน
.
- เราใช้
เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
- จากนั้นแบ่ง
ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
- เนื่องจากลำดับ
เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง
- จากนั้นเราก็แบ่ง
อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
- เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ
อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม
- เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ (
)
เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดย ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่
) แล้วอินเตอร์เซคชัน
จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า
เป็นของ
กำหนดย่านใกล้เคียง ของ
ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง
ที่เป็นสับเซตแท้ของ
เนื่องจาก
บรรจุสมาชิกของ
เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ
, ดังนั้น
บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ
ทำให้ได้ว่า
เป็นจุดเกาะกลุ่มของ
ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ
ที่ลู่เข้า
ดูเพิ่ม
อ้างอิง
- Bartle and Sherbert 2000, p. 78 (for R).
- Fitzpatrick 2006, p. 52 (for R), p. 300 (for Rn).
- Fitzpatrick 2006, p. xiv.
- Bartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.
- Garling 2013, pp. 94-95
บรรณานุกรม
- ; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley.
- Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN .
- Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . OCLC 842256400.
- Pugh, C. C. (2015). Real mathematical analysis (2nd ed.). Springer. ISBN . OCLC 915757451.
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
inkhnitsastrodyechphaainkarwiekhraahechingcring thvsdibthbxlthsaon iwexxrchtras epnthvsdibthphunthanekiywkbkarluekhakhxngladbin Rn odyklawwa thukladbmikhxbekhtin Rn camiladbyxythiluekha xiknyhnungkhux sbestkhxng Rn caepnest sequentially compact ktxemuxestnnepnestpidaelamikhxbekht thvsdibthnibangkhrngeriykwa thvsdibthkhwamkrachbechingladb thvsdibthnitngchuxtam aebrnarth bxlthsaon aela kharl iwexxrchtrasprawtikhwamepnmaaelakhwamsakhythvsdibthbxlthsaon iwexxrchtrastngchuxtamnkkhnitsastr aebrnarth bxlthsaon aela kharl iwexxrchtras odyphisucnkhrngaerkidodybxlthsaoninpi kh s 1817 ichepnbthtnginkarphisucnthvsdibthkharahwangklang pramanhasibpitxma iwexxrchtrasehnwathvsdibthnimikhwamsakhyintwmnexngaelaphisucnidxikkhrnghnung nbaetnnmacungidklayepnthvsdibthsakhyinkhnitwiekhraahkhxkhwamthvsdibthbxlthsaon iwexxrchtras sahrb Rn displaystyle mathbb R n thukladbmikhxbekhtin Rn camiladbyxythiluekhaphisucnkxnxuneraphisucnthvsdibthnisahrb R1 displaystyle mathbb R 1 estkhxngcanwncring sunginkrninierasamarthichkareriyngladbkhxngcanwncringbn R displaystyle mathbb R id thaihidbthtngtxipni bthtng thukladbxnnt xn displaystyle x n in R displaystyle mathbb R miladbyxythiepnladbthangediyw phisucn eracaeriykdchnikhabwk n displaystyle n khxngladbwaepn cudphikh khxngladb ktxemuxemux xm lt xn displaystyle x m lt x n sahrbthuk m gt n displaystyle m gt n smmutiwaladbmicudphikhepnxnnt aeplwamiladbyxythisrangcakdchnin1 lt n2 lt n3 lt lt nj lt displaystyle n 1 lt n 2 lt n 3 lt dots lt n j lt dots aelasxdkhlxngkbenguxnikhwa xn1 gt xn2 gt xn3 gt gt xnj gt displaystyle x n 1 gt x n 2 gt x n 3 gt dots gt x n j gt dots dngnn ladbxnnt xn displaystyle x n in R displaystyle mathbb R miladbthangediywkhux xnj displaystyle x n j nn aetthaladbmicudphikhephiyngcanwncakdtw ih N displaystyle N epncudphikhsudthaykhxngladb caknnphicarnaladbyxy xnj displaystyle x n j thimidchnitwaerkkhux n1 N 1 displaystyle n 1 N 1 caenguxnikhidwa n1 displaystyle n 1 imepncudphikh ephraa n1 displaystyle n 1 mathihlngcudphikhsudthaythiepnipid dngnncatxngmi n2 displaystyle n 2 thisung n1 lt n2 displaystyle n 1 lt n 2 aela xn1 xn2 displaystyle x n 1 leq x n 2 echnkn cak n2 displaystyle n 2 mathihlngcudphikhsudthay catxngmi n3 displaystyle n 3 thisung n2 lt n3 displaystyle n 2 lt n 3 aelathaih xn2 xn3 displaystyle x n 2 leq x n 3 thaechnniiperuxy caidladbimld xn1 xn2 xn3 displaystyle x n 1 leq x n 2 leq x n 3 leq ldots sungepnladbyxykhxng xn displaystyle x n dngnncungphisucnidwathukladbxnnt xn displaystyle x n in R displaystyle mathbb R miladbyxythangediyw eracaphisucnthvsdibthbxlthsaon iwexxrchtras smmtiwa xn displaystyle x n epnladbmikhxbekht in R displaystyle mathbb R odybthtngkhangtncamiladbyxythangediywsungaennxnwacatxngmikhxbekhtdwy cakladbyxynntxngluekha sahrbkrnithwip Rn displaystyle mathbb R n caphisucniddngni kahndin Rn displaystyle mathbb R n ladbthiidcakphikdtwaerkcaepnladbkhxngcanwncringthimikhxbekht dngnncamiladbyxythiluekhacakphlkhangtn caknnerasamarthhaladbyxkhxngladbyxynnthiphikdthisxngluekha thaechnniiperuxy cnkhrbcanwnphikd n displaystyle n khrng caidladbyxykhxngladbedimthismachikinaetlakhuxndbluekha dngnnladbyxyniluekhabthphisucnaebbxunthvsdibthbxlthsaon iwexxrchtrasmibthphisucnxikhlayaebb twxyangdanlangich eraerimtndwyladbthimikhxbekht xn displaystyle x n ephraa xn n N displaystyle x n n in mathbb N mikhxbekht ladbnicungmikhxbekhtlang s displaystyle s aelakhxbekhtbn S displaystyle S eraich I1 s S displaystyle I 1 s S epnchwngaerkinkarphisucn caknnaebng I1 displaystyle I 1 xxkepnsxngchwngyxythimikhnadethaknthikungklang enuxngcakladb xn n N displaystyle x n n in mathbb N epncanwnsmachikepnxnnt catxngmi xyangnxy hnunginsxngchwngyxythimismachikepnxnnt eraihchwngyxyniepnchwngthisxng I2 displaystyle I 2 caknnerakaebng I2 displaystyle I 2 xikkhrngihepnchwngyxythimikhnadethaknsxngchwng echnkn inchwngyxyehlanicamichwngyxyxyangnxyhnungxnthimismachikkhxng xn n N displaystyle x n n in mathbb N xyuepncanwnxnnt eraihchwngyxyniepnchwngyxythisam I3 displaystyle I 3 eradaeninkartamkhntxnniiperuxy caidchwngyxythisxnknepnxnnt I1 I2 I3 displaystyle I 1 supset I 2 supset I 3 dotsb enuxngcakeraldkhwamyawkhxngchwnglngkhrunghnunginaetlakhntxn limitkhxngkhwamyawchwngcungepnsuny ody sungklawwawatha In n N an bn n N displaystyle I n n in mathbb N a n b n n in mathbb N epnladbkhxngchwngpidthimikhxbekht odythi an bn displaystyle a n leq b n aelwxinetxreskhchn n NIn textstyle bigcap n in mathbb N I n caimepnestwang eracaphisucnwa x n NIn textstyle x in bigcap n in mathbb N I n epnkhxng xn displaystyle x n kahndyaniklekhiyng U displaystyle U khxng x displaystyle x id ma enuxngcakkhwamyawkhxngchwngluekhasuepnsuny cungmichwngIN displaystyle I N thiepnsbestaethkhxng U displaystyle U enuxngcak IN displaystyle I N brrcusmachikkhxng xn displaystyle x n epncanwnxnntcakkarsrang aela IN U displaystyle I N subseteq U dngnn U displaystyle U brrcusmachikmakmaynbimthwnkhxngladb xn displaystyle x n thaihidwa x displaystyle x epncudekaaklumkhxng xn displaystyle x n dngnncungmiladbyxykhxng xn displaystyle x n thiluekha x displaystyle x duephimxangxingBartle and Sherbert 2000 p 78 for R Fitzpatrick 2006 p 52 for R p 300 for Rn Fitzpatrick 2006 p xiv Bartle and Sherbert 2000 pp 78 79 Garling 2013 pp 94 95brrnanukrm Sherbert Donald R 2000 Introduction to Real Analysis 3rd ed New York J Wiley Fitzpatrick Patrick M 2006 Advanced Calculus 2nd ed Belmont CA Thomson Brooks Cole ISBN 0 534 37603 7 Garling D J H 2013 A course in mathematical analysis Volume 1 Foundations and elementary real analysis Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 1 107 31469 6 OCLC 842256400 Pugh C C 2015 Real mathematical analysis 2nd ed Springer ISBN 978 3 319 17771 7 OCLC 915757451