Complex number

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ${\displaystyle i}$ ซึ่งทำให้สมการ ${\displaystyle i^{2}+1=0}$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z}$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป ${\displaystyle x+iy}$ โดยที่ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ${\displaystyle z}$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยาม

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ ${\displaystyle (a,b)}$ ทั้งหมดโดยที่ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ ${\displaystyle +}$ (การบวก) และ ${\displaystyle \cdot }$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ ${\displaystyle (a,b)}$ และ ${\displaystyle (c,d)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,}$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ ${\displaystyle (0,0)}$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ ${\displaystyle (1,0)}$
• อินเวอร์สการบวกของ ${\displaystyle z=(a,b)}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle -z}$) คือ (-a, -b)
• ถ้าหาก ${\displaystyle z=(a,b)\neq (0,0)}$ อินเวอร์สการคูณของ ${\displaystyle z}$ (เขียนแทนด้วย ${\displaystyle z^{-1}}$) คือ ${\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)}$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นสองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,}$ เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นจำนวนจริงและ ${\displaystyle (a,b)}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle (1,0)}$ และ ${\displaystyle (0,1)}$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

${\displaystyle (a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,}$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ${\displaystyle (a,0)=a(1,0)}$ ว่าเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle i}$ แทน ${\displaystyle (0,1)}$ จำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,b)}$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ${\displaystyle a+bi}$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า ${\displaystyle i^{2}=(-1,0)=-1}$ นั่นคือ ${\displaystyle i}$ เป็นคำตอบของสมการ ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็น (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม ${\displaystyle x^{2}+1}$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือ (quotient ring) ของ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ กับ ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า ${\displaystyle z=a+bi\,}$ เราเรียก ${\displaystyle a}$ ว่า ส่วนจริง ของ ${\displaystyle z}$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \Re (z)}$ และเราเรียก ${\displaystyle b}$ ว่า ส่วนจินตภาพ ของ ${\displaystyle z}$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \Im (z)}$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า ${\displaystyle z=a+bi\,}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ ${\displaystyle z}$ คือ ${\displaystyle a-bi\,}$ เราเขียนแทนสังยุคของ ${\displaystyle z}$ ด้วย ${\displaystyle {\bar {z}}}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}}$
2. ${\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}{\bar {z}}_{2}}$
3. ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2\Re (z)}$
4. ${\displaystyle z-{\bar {z}}=2\Im (z)}$

เมื่อ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=a+bi\,}$ เขียนแทนด้วย ${\displaystyle |z|}$ คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

1. ${\displaystyle \left|z\right\vert =\left|{\bar {z}}\right\vert }$
2. ${\displaystyle \left|z_{1}z_{2}\right\vert =\left|z_{1}\right\vert \left|z_{2}\right\vert }$
3. ${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right\vert \leq \;\left|z_{1}\right\vert +\left|z_{2}\right\vert }$ ()
4. ${\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right\vert \geq \;{\big |}\left|z_{1}\right\vert -\left|z_{2}\right\vert {\big |}}$
5. ${\displaystyle \left|z\right\vert =0}$ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle z=0\,}$

เมื่อ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle z_{1}}$, และ ${\displaystyle z_{2}}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle (a,0)}$ ทำให้เราได้ว่าถ้า ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=a+bi\,}$ คือ ${\displaystyle (a,b)}$ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ ${\displaystyle (r,\varphi )\,}$ เมื่อ ${\displaystyle r=|z|}$ และ ${\displaystyle \varphi \,}$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ ${\displaystyle (a,b)}$ ทำกับแกน ${\displaystyle x}$ ในหน่วยเรเดียน เราเรียก ${\displaystyle \varphi \,}$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ ${\displaystyle z}$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \arg(z)}$ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ ${\displaystyle 2\pi }$ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

${\displaystyle z=a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }\,}$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))}$

และ

${\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))}$

เมื่อ ${\displaystyle r_{2}\neq 0}$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย ${\displaystyle i=e^{i\pi /2}}$ จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ ${\displaystyle (0,1)}$ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

สมบัติต่าง ๆ

การเรียงลำดับ

${\displaystyle \mathbb {C} }$ ไม่เป็น กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mathbb {C} }$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ เราได้ว่าบน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle f(z)=az+b{\bar {z}}}$

เมื่อ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{1}(z)=a(z)}$ เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{2}(z)=b{\bar {z}}}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า ${\displaystyle f_{1}}$ เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน ${\displaystyle \mathbb {C} }$ และเป็นฟังก์ชัน เราสามารถหาอนุพันธ์ของ ${\displaystyle f_{2}}$ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับ

สมบัติเชิงพีชคณิต

${\displaystyle \mathbb {C} }$ (หรือฟีลด์อื่นที่กับ ${\displaystyle C}$) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มี 0
• มีเมื่อเทียบกับใด ๆ เท่ากับ
• มี (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ จึงมีที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้ของ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง