การวิเคราะห์เชิงซ้อน

การวิเคราะห์เชิงซ้อน (อังกฤษ: Complex analysis) หรืออีกชื่อหนึ่งคือ ทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (อังกฤษ: Theory of functions of a complex variable) เป็นสาขาของคณิตวิเคราะห์ที่ศึกษาฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีประยุกต์ใช้ในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์มากมาย เช่น เรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีจำนวน และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในฟิสิกส์มีการใช้ความรู้ทางการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาใน กลศาสตร์ของไหล เทอร์โมไดนามิกส์ และ ฟิสิกส์ควอนตัม

ของฟังก์ชัน
f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i) ²/x² + 2 + 2i
สีสันแทนค่า และความสว่างแทนขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันที่นิยมศึกษาในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในโดเมน และสามารถประมาณค่าได้ด้วยรอบจุดนั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันจึงเป็น

ประวัติ

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นสาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่มีมาอย่างยาวนานตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์สำคัญที่มีผลงานในสาขานี้เช่น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คาร์ล ไวเออร์ชตราส และ ตลอดจนนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 คนอื่น ๆ

บทประยุกต์สำคัญของการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือใช้ใน ซึ่งเป็นการพิจารณาของฟังก์ชันเชิงซ้อน และภาพแฟรกทัลที่เกิดขึ้นจากระบบพลวัติเชิงซ้อนนั้น ในทางทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นเครื่องมือสำคัญของ โดยผ่านฟังก์ชันในการวิเคราะห์เชิงซ้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเรียกว่า

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันเชิงซ้อน คือฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ จากเซตของจำนวนเชิงซ้อน ไปยังเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเชิงซ้อน ${\displaystyle f}$ จะหาอนุพันธ์ที่จุด ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ ได้ก็ต่อเมื่อลิมิต

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$

หาค่าได้ ซึ่งเป็นนิยามที่คล้ายคลึงกับนิยามการอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง แต่เนื่องจากลิมิตของจำนวนเชิงซ้อนต้องหาค่าได้ทุกทิศทาง และไม่จำเพาะเฉพาะทิศทางซ้ายและขวา (หรือบวกและลบ) อย่างในลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ความแตกต่างนี้ทำให้ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้มีลักษณะแตกต่างจากฟังก์ชันค่าจริงที่หาอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบน ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ บางเซตของจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่า ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบน ${\displaystyle \Omega }$

สมบัติสำคัญของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เช่น

• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นอนันต์
• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันเป็น นั่นคือ สำหรับแต่ละจุดในโดเมน ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถเขียนแทนได้ด้วยที่ลู่เข้า

ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ

เครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์เชิงซ้อนอีกอันหนึ่งคือ

บนระนาบเชิงซ้อน กล่าวว่า หากพิจารณาปริพันธ์ตามเส้นของเส้นโค้งปิด (ซึ่งเรียกว่าปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ) และฟังก์ชันที่หาปริพันธ์เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณที่ทางเดินปิดนั้นล้อมรอบ แล้วปริพันธ์จะมีค่าเท่ากับศูนย์โดยทันที และค่าของฟังก์ชันในบริเวณปิดดังกล่าว จะหาได้จากปริพันธ์ตามเส้นตัวหนึ่งบนทางเดินปิดนั้น (ดู ) ในบางครั้ง เราสามารถใช้การหาปริพันธ์ตามเส้นบนระนาบเชิงซ้อน เพื่อหาปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริงบางตัวได้ ซึ่งเรียกวิธีการนี้ว่า

ฟังก์ชันเชิงซ้อนบางตัวจะมี ซึ่งเป็นจุดที่ทำให้ค่าของฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่มีขอบเขต เราสามารถคำนวณ สำหรับแต่ละโพลได้ ซึ่งเรซิดิวจะใช้ในการหาปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบได้ ความสัมพันธ์นี้ปรากฏใน

อ้างอิง

1. Griffiths, Phillip (1978). Principles of algebraic geometry. Joe Harris. New York: Wiley. ISBN . OCLC 3843444.
2. Pathak, Hemant Kumar (2019). Complex analysis and applications. Singapore. ISBN . OCLC 1119665489.
3. Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. ISBN . OCLC 932002663.
4. "Lars Valerian Ahlfors". abel.harvard.edu.
5. Beardon, Alan F. (2000). Iteration of rational functions : complex analytic dynamical systems. New York: Springer. ISBN . OCLC 51647353.
6. Apostol, Tom M. (1990). Modular functions and Dirichlet series in number theory (2 ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN . OCLC 20262861.

อ่านเพิ่มเติม

• Ahlfors, Lars V. (1979). Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (3 ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN . OCLC 4036464.
• Priestley, H. A. (2003). Introduction to complex analysis (2 ed.). Oxford. ISBN . OCLC 874563358.
• Needham, Tristan (1997). Visual complex analysis. Oxford: Clarendon Press. ISBN . OCLC 36523806.

ดูเพิ่ม

• การวิเคราะห์เชิงจริง