กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเป็นสามข้อที่เป็นรากฐานของกลศาสตร์ดั้งเดิม ใช้สำหรับการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุกับแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้น และการเคลื่อนที่เนื่องจากแรงเหล่านั้น โดยในกฎข้อแรกเป็นการนิยามความหมายของแรง กฎข้อที่สองให้วิธีการวัดแรงในเชิงปริมาณ และกฎข้อที่สามอ้างว่าไม่มีแรงโด่ดเดี่ยว ในสามร้อยปีที่ผ่านมากฎทั้งสามข้อได้รับการตีความในหลาย ๆ ด้าน และสามารถสรุปได้ดังนี้

กฎข้อแรกและข้อที่สองของนิวตัน เขียนเป็นภาษาละติน จาก Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ฉบับดั้งเดิม ค.ศ. 1687

---

กฎข้อที่หนึ่ง:	ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย วัตถุจะยังคงหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เว้นแต่จะมีแรงมากระทำ
กฎข้อที่สอง:	ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย แรงลัพธ์ที่กระทำต่อมวลส่งผลให้มวลเคลื่อนที่ด้วยความเร่งที่แปรผันตรงต่อแรงลัพธ์และมีขนาดแปรผกผันกับมวล: F = ma (สมมุติว่ามวล m เป็นค่าคงที่ ดูด้านล่าง )
กฎข้อที่สาม:	เมื่อวัตถุหนึ่งออกแรงกระทำต่ออีกวัตถุหนึ่ง จะมีแรงขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของวัตถุแรก

---

ไอแซก นิวตัน ได้รวบรวมกฎการเคลื่อนที่ทั้งสามข้อไว้ในหนังสือ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Mathematical Principles of Natural Philosophy) ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1687 โดยนิวตันใช้กฎเหล่านี้เพื่ออธิบายและตรวจสอบการเคลื่อนที่ของวัตถุและระบบทางกายภาพ ตัวอย่างเช่นในเล่มที่สามของตำรา นิวตันแสดงให้เห็นว่ากฎการเคลื่อนที่ทั้งสามข้อรวมกับกฎความโน้มถ่วงสากล จะสามารถอธิบายกฎของเคปเลอร์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ได้

บางครั้ง อาจมีการพูดถึง กฎข้อที่สี่ ซึ่งระบุว่าแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือเป็นไปตาม

ภาพรวม

ไอแซก นิวตัน (ค.ศ. 1643 – 1727) นักฟิสิกส์ผู้เสนอกฎการเคลื่อนที่

กฎของนิวตันถูกใช้กับวัตถุในอุดมคติซึ่งมีขนาดเป็นจุด ๆ เดียว (ไม่มีขนาดและรูปร่าง) เพื่อให้พิจารณาการเคลื่อนที่ได้ง่ายขึ้น ซึ่งทำได้เมื่อวัตถุมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะทางที่ใช้ในการวิเคราะห์หรือไม่มีความสำคัญ ในลักษณะนี้แม้แต่ดาวเคราะห์ก็สามารถถูกทำให้เป็นวัตถุในอุดมคติในการวิเคราะห์การโคจรรอบดาวได้

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันในรูปแบบดั้งเดิมไม่เพียงพอที่จะบ่งบอกลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งและ ในปี ค.ศ. 1750 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ประยุกต์กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเพื่อใช้สำหรับวัตถุแข็งเกร็งขึ้น ที่เรียกว่า หลังจากนั้นก็นำไปประยุกต์ใช้กับวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้เช่นกัน กฎของออยเลอร์สามารถพิสูจน์มาจากกฎของนิวตัน โดยมองวัตถุเป็นชุดของอนุภาคที่แยกออกจากกัน อย่างไรก็ตาม กฎของออยเลอร์ สามารถนำมาใช้เป็นสัจพจน์อธิบายกฎการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ขยายได้โดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างอนุภาคใด ๆ

กฎของนิวตันนี้ใช้ได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงที่เรียกว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยหรือกรอบอ้างอิงนิวโตเนียนเท่านั้น ผู้เขียนบางคนตีความกฎข้อแรกว่าเป็นนิยามกรอบอ้างอิงเฉื่อย จากมุมมองนี้ กฎข้อที่สองใช้ได้เฉพาะเมื่อมีการสังเกตการณ์จากกรอบอ้างอิงเฉื่อยดังนั้นกฎข้อแรกจึงไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของกฎข้อที่สอง แต่ผู้เขียนบางคนก็ตีความกฎข้อแรกว่าเป็นกรณีพิเศษของกฎข้อที่สอง ซึ่งแนวคิดเรื่องกรอบอ้างอิงเฉื่อยเกิดขึ้นจริงหลังนิวตันได้เสียชีวิตไปนานแล้ว

ในการตีความกฎเหล่านี้ มวล ความเร่ง โมเมนตัม และ แรง ตามปกติมักจะถูกมองว่าเป็นปริมาณที่นิยามแล้ว แต่ก็มีผู้ตีความว่ากฎเป็นสิ่งที่นิยามปริมาณเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

ในปัจจุบัน กลศาสตร์นิวโตเนียนถูกแทนที่โดยสัมพัทธภาพพิเศษ แต่ก็ยังเป็นประโยชน์เมื่อใช้กับการเคลื่อนที่ที่ช้ากว่าความเร็วแสงมาก ๆ

กฎการเคลื่อนที่

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1

คำอธิบายกฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งของนิวตันและกรอบอ้างอิง (MIT Course 8.01)

กฎข้อแรกระบุว่า ถ้า (ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ) เป็นศูนย์แล้วความเร็วของวัตถุจะเป็นค่าคงที่ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งแสดงทั้งความเร็วของวัตถุและทิศทางของการเคลื่อนที่ ดังนั้นความเร็วของวัตถุคงที่จึงต้องคงที่ทั้งขนาดและทิศทางด้วย

กฎข้อที่หนึ่งสามารถเขียนเป็นสมการคณิตสาสตร์ได้ เมื่อมวลเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ คือ

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0\;\Leftrightarrow \;{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=0}$

ดังนั้น

• วัตถุที่หยุดนิ่งจะหยุดนิ่งต่อไปเรื่อย ๆ เว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำ
• วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จะไม่เปลี่ยนแปลงความเร็ว เว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำเช่นกัน

กฎข้อนี้นำมาซึ่งแนวคิดเกี่ยวกับ ความเฉื่อยของวัตถุ และแฝงคำจำกัดความของกรอบอ้างอิงเฉื่อย (inertia frames of reference) ไว้ ในทางปฏิบัติระบบอ้างอิงเฉื่อยคือระบบอ้างอิงที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ (ไม่มีความเร่ง) เทียบกับดาวไกลโพ้น กรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็นเงื่อนไขเพื่อให้กฎข้อที่สองเป็นจริง

การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอ หมายถึงการที่วัตถุจะเคลื่อนที่อย่างเดิมไปจนกว่าจะมีแรงมากระทำ ถ้าหยุดนิ่งก็จะหยุดนิ่งต่อไป (แสดงให้เห็นโดยการดึงผ้าปูโต๊ะที่มีจานวางไว้ออกอย่างรวดเร็ว จานจะวางอยู่ที่เดิมไม่ติดกับผ้าไป) ถ้าวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ก็จะเคลื่อนที่ต่อไปโดยไม่หมุนหรือเปลี่ยนอัตราเร็วของมัน ซึ่งเห็นได้ชัดเจนในยานสำรวจอวกาศทีเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องไปในอวกาศ การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่จะขึ้นอยู่กับแนวโน้มของวัตถุที่จะคงสถานะการเคลื่อนที่ไว้ ในกรณีที่ไม่มีแรงสุทธิวัตถุมีแนวโน้มจะเคลื่อนที่ไปในแนวเส้นตรงต่อไปเรื่อย ๆ

นิวตันวางกฎการเคลื่อนที่ข้อแรกเพื่อกำหนดกรอบอ้างอิงสำหรับให้กฎอื่น ๆ สามารถใช้ได้ กฎของการเคลื่อนที่ข้อแรกตั้งเงื่อนไขของกรอบอ้างอิงอย่างน้อยหนึ่งกรอบที่เรียกว่า กรอบอ้างอิงเฉื่อยหรือกรอบอ้างอิงนิวโตเนียน ซึ่งเมื่อเทียบกับกรอบนี้แล้ว การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่ไม่ขึ้นกับแรงเป็นเส้นตรงและมีความเร็วคงที่ กฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตันมักถูกเรียกว่า ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของอนุภาคเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงเชิงเฉื่อยคือแรงสุทธิรวมที่กระทำเป็นศูนย์ ในแง่นี้กฎข้อแรกสามารถเรียบเรียงใหม่ได้ว่า:

In every material universe, the motion of a particle in a preferential reference frame Φ is determined by the action of forces whose total vanished for all times when and only when the velocity of the particle is constant in Φ. That is, a particle initially at rest or in uniform motion in the preferential frame Φ continues in that state unless compelled by forces to change it.

ในภาษาไทย คือ

ในเอกภพของสสารใด ๆ การเคลื่อนที่ของอนุภาคในกรอบอ้างอิง Φ ถูกกำหนดโดยการกระทำของแรงซึ่งมีผลรวมเป็นศูนย์เสมอ ก็ต่อเมื่อความเร็วของวัตถุนั้นคงที่ใน Φ. นั่นคือ อนุภาคที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ Φ จะเป็นเช่นนั้นต่อไป นอกจากจะถูกแรงกระทำให้เปลี่ยนรูปแบบการเคลื่อนที่นั้น

กฎข้อที่หนึ่งและสองของนิวตันจะใช้ได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น กรอบอ้างอิงที่อยู่ในรูปแบบเดียวกันกับกรอบเฉื่อย เช่น หรือ

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2

การอธิบายกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองโดยใช้แรงโน้มถ่วงเป็นตัวอย่าง (MIT OCW)

กฎข้อที่สองระบุว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงกระทำและการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมนี้เกิดขึ้นในทิศทางเดียวกับแรงที่มากระทำต่อวัตถุนั้น

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}}$

เมื่อ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ คือ แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุ ${\displaystyle \mathbf {p} }$คือโมเมนตัมของวัตถุ ${\displaystyle m}$ คือ มวลของวัตถุ และ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ คือ ความเร็วของวัตถุ

กฎข้อที่สองสามารถระบุได้ในแง่ของความเร่งของวัตถุ เนื่องจากกฎข้อที่สองนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่มวลคงที่เท่านั้นm สามารถนำออกไปนอกตัวดำเนินการอนุพันธ์ได้โดย ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {F} =m\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }$

เมื่อ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ คือ ความเร่งของวัตถุ ดังนั้น แรงลัพธ์จึงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเร่งของวัตถุ กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าถ้าวัตถุมีความเร่งแสดงว่ามีแรงกระทำต่อวัตถุอยู่ การประยุกต์ใช้สัญกรณ์นี้เป็นที่มาของ ${\displaystyle g_{c}}$ ()

กฎข้อนี้สอดคล้องกับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 คือเมื่อแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ โมเมนตัมของวัตถุจะมีค่าคงที่ ซึ่งความสัมพันธ์นี้หมายถึง(การอนุรักษ์โมเมนตัม) และเมื่อโมเมนตัมเปลี่ยนทิศทาง แม้ว่าขนาดของมันจะไม่มีการเปลี่ยนแปลง อัตราการเปลี่ยนแปลงต่อเวลาของโมเมนตัมก็จะไม่เป็นศูนย์ เช่นในกรณีที่เป็น

มวลที่ได้หรือสูญหายโดยระบบจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมที่ไม่ใช่ผลของแรงภายนอก สมการอนุพันธ์จึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับระบบมวลแปรผัน (ดูด้านล่าง)

กฎข้อที่สองของนิวตันเป็นค่าประมาณ ซึ่งจะคลาดเคลื่อนมากขึ้นเมื่อวัตถุมีความเร็วสูงขึ้น โดยเฉพาะความเร็วใกล้เคียงความเร็วแสง ซึ่งเป็นผลกระทบเชิงสัมพัทธ์

แรงดล

${\displaystyle \mathbf {J} }$ เกิดขึ้นเมื่อแรง ${\displaystyle \mathbf {F} }$ กระทำในช่วงเวลา ${\displaystyle {\Delta }t}$ ได้จาก

${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}$

เนื่องจากแรงเป็นเปลี่ยนแปลงตามเวลา โมเมนตัมจึงเป็น

${\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =m\Delta \mathbf {v} }$

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดลและโมเมนตัมนี้ใกล้เคียงกับนิยามของนิวตันในกฎข้อที่สอง

แรงดลเป็นแนวคิดที่ใช้บ่อยในการวิเคราะห์การชนและผลกระทบจากการชน

ระบบมวลแปรผัน

ระบบมวลแปรผัน เช่น เชื้อเพลิงของจรวจที่ถูกเผาไหม้และการปล่อนก๊าซที่ใช่แล้ว ซึ่งไม่ได้อยู่ในระบบปิดจึงทำให้มวลเป็นฟังก์ชันของเวลาในกฎข้อที่สอง นั้นคือสมการต่อไปนี้ผิด

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\big [}m(t)\mathbf {v} (t){\big ]}=m(t){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} (t){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\qquad \mathrm {(wrong)} }$

เหตุที่สมการนี้ผิด สังเกตได้จากการที่สมการนี้ไม่เป็นไปตาม วัตถุมวลแปรผันที่มี F = 0 ในกรอบอ้างอิงหนึ่ง จะเห็นได้ว่ามี F ≠ 0 ในกรอบอ้างอิงอื่น สมการที่ถูกต้องของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีมวล m เปลี่ยนแปลงไปตามเวลาโดยการปล่อยออกไปหรือรับมวลเข้ามา จะได้จากการใช้กฎข้อที่สองกับระบบมวลคงที่ซึ่งประกอบด้วยวัตถุและมวลที่รับหรือปล่อยออกมา ผลลัพธ์คือ

${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ คือความเร็วของมวลที่ถูกปล่อยออกไปหรือรับเข้ามาเมื่อเทียบกับวัตถุ จากสมการนี้เราจะได้สมการของการเคลื่อนที่ของระบบมวลแปรผัน ตัวอย่างเช่น สมการจรวดซีออลคอฟสกี ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ปริมาณ ${\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$ ทางซ้ายของสมการซึ่งแสดงการถ่ายโอนของโมเมนตัม หมายถึงแรง (แรงที่กระทำต่อวัตถุโดยมวลที่เปลี่ยนแปลงเช่นไอเสียจรวด) และรวมอยู่ในปริมาณ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3

ภาพประกอบกฎข้อที่สามของนิวตันซึ่งนักสเก็ตสองคนผลักดันกันและกัน ผู้เล่นสเกตบอร์ดคนแรกด้านซ้ายจะมีแรงตั้งฉาก ${\displaystyle \mathbf {N} _{12}}$ ต่อผู้เล่นสเกตบอร์ดคนที่สอง ในทิศไปทางขวา และผู้เล่นสเกตบอร์ดคนที่สอง มีแรงตั้งฉาก ${\displaystyle \mathbf {N} _{21}}$ต่อผู้เล่นสเกตบอร์ดคนแรก ขนาดของแรงทั้งสองมีค่าเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

คำอธิบายของกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามและแรงสัมผัส

กฎข้อที่สามระบุว่า แรงทั้งหมดระหว่างสองวัตถุมีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงกันข้าม ถ้าวัตถุ A ออกแรงกระทำ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }}$ กระทำต่อวัตถุ B แล้ว B จะออกแรง ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }}$ กระทำต่อวัตถุ A พร้อม ๆ กัน และแรงทั้งสองมีค่าเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=-\mathbf {F} _{\mathrm {B} }}$ กฎข้อที่สามครอบคลุมแรงทั้งหมดที่มีอันตรกิริยาระหว่างวัตถุที่แตกต่างกัน หรือบริเวณที่แตกต่างกันของวัตถุ และชี้ว่าไม่มีแรงที่ไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกันกับแรงที่มีขนาดเท่ากันและทิศตรงกันข้าม ในบางสถานการณ์ขนาดและทิศทางของแรงจะถูกกำหนดโดยหนึ่งในสองวัตถุกล่าวคือ แรงที่วัตถุ A กระทำต่อวัตถุ B เรียกว่า "การกระทำ" และแรงที่วัตถุ B กระทำต่อวัตถุ A เรียกว่า "ปฏิกิริยา" บางครั้งเราเรียกกฎข้อนี้ว่า ซึ่ง ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }}$ เรียกว่า "แรงกิริยา" และ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }}$ เรียกว่า "แรงปฏิกิริยา" ในสถานการณ์อื่น ๆ ขนาดและทิศทางของแรงกำหนดร่วมกันโดยทั้งสองวัตถุและไม่จำเป็นต้องระบุว่าแรงใดเป็น "แรงกิริยา" และอีกนัยหนึ่งเป็น "แรงปฏิกิริยา" แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นพร้อม ๆ กันและไม่สำคัญว่าจะเรียกว่าแรงกิริยาทำอย่างไรและเรียกว่าแรงปฏิกิริยา แรงทั้งสองเป็นส่วนหนึ่งของปฏิสัมพันธ์เดี่ยวและไม่มีแรงอื่นอยู่ด้วย

แรงสองแรงในกฎข้อที่สามของนิวตัน เป็นแรงประเภทเดียวกัน (เช่นถ้าถนนมีแรงเสียดทานมีทิศไปข้างหน้าบนยางรถยนต์ ย่อมมีแรงเสียดทานที่ยางรถยนต์ทำกลับไปบนถนน)

ตัวอย่างของกฎข้อที่สามของนิวตันจะเห็นได้จากสถานการณ์ของคนที่กำลังเดิน: เขาผลักดันกับพื้นและพื้นผลักดันต่อเขา ในทำนองเดียวกันยางของรถยนต์ดันกับถนนในขณะที่ถนนผลักดันกลับไปที่ยาง ในการว่ายน้ำคนจะมีปฏิสัมพันธ์กับน้ำและผลักดันน้ำให้ถอยหลังขณะที่น้ำดันคนไปข้างหน้าทั้งคนและน้ำโดยดันกันและกัน แรงปฏิกิริยาแสดงการเคลื่อนที่ในตัวอย่างเหล่านี้ แรงในตัวอย่างเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแรงเสียดทาน ตัวอย่างเช่นคนหรือรถบนน้ำแข็งอาจไม่สามารถออกแรงกระทำเพื่อสร้างแรงปฏิกิริยาได้

ประวัติ

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1

จากหนังสือ Principia ต้นฉบับภาษาละติน ของนิวตัน

“

Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

”

แปลเป็นภาษาไทยได้ว่า

“

กฎข้อที่ 1: ทุกวัตถุจะอยู่ในสถานะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้าอย่างสม่ำเสมอ เว้นแต่มีแรงมากระทำให้สถานะนั้นเปลี่ยนไป

”

อาริสโตเติล นักปราชญ์กรีกโบราณ มีมุมมองที่ว่าวัตถุทั้งหลายมีที่อยู่ของมันตามธรรมชาติในจักรวาล คือวัตถุที่หนัก (เช่น หิน) จะอยู่นิ่งบนพื้นโลก และวัตถุที่เบาเหมือนควันจะลอยนิ่งอยู่บนท้องฟ้า และดาวฤกษ์จะอยู่บนสวรรค์ เขาคิดว่าวัตถุอยู่ในสภาพธรรมชาติของมันเมื่อมันอยู่นิ่ง และสำหรับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ จำเป็นต้องมีแรงภายนอกเพื่อทำให้มันเคลื่อนที่หรือหยุดเคลื่อนที่ ต่อมา กาลิเลโอ กาลิเลอี ตระหนักว่าแรงเป็นสิ่งจำเป็นในการเปลี่ยนความเร็วของวัตถุ เช่น ความเร่ง แต่ไม่จำเป็นต้องใช้แรงเพื่อรักษาความเร็วของมัน ในอีกนัยหนึ่งกาลิเลโอกล่าวตรงข้ามกับอาริสโตเติลว่าในกรณีที่ไม่มีแรงวัตถุเคลื่อนที่จะเคลื่อนที่ต่อไป (การที่วัตถุต่อต้านการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่คือสิ่งที่โยฮันเนส เคปเลอร์เรียกว่าความเฉื่อย) แนวคิดนี้ได้รับการกลั่นกรองโดยนิวตัน ซึ่งทำให้มันกลายเป็นกฎข้อแรกของเขาหรือที่เรียกว่า "กฎของความเฉื่อย" หมายความว่าถ้าไม่มีแรง จะไม่มีความเร่ง และด้วยเหตุนี้วัตถุจะรักษาความเร็วไว้ได้ เนื่องจากกฎข้อแรกของนิวตัน เป็นการปรับปรุงกฎของความเฉื่อยที่กาลิเลโอ ได้อธิบายไว้ก่อนแล้วดังนั้นนิวตันจึงให้เครดิตกับกาลิเลโอ^[]

กฎของความเฉื่อยนี้เกิดขึ้นในความคิดของนักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์หลายคนรวมถึง โทมัส ฮอบส์ ซึ่งกล่าวไว้ในหนังสือ ด้วยเรอเน เดการ์ต นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ แห่งศตวรรษที่ 17 ได้กำหนดกฎไว้เช่นเดียวกัน แม้ว่าเขาจะไม่ได้ทำการทดลองใด ๆ เพื่อยืนยัน

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2

จากหนังสือ Principia ต้นฉบับภาษาละติน ของนิวตัน

“

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

”

แปลเป็นภาษาไทยได้ว่า

“

กฎข้อที่ 2: การเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงกระทำ และมีทิศทางเดียวกับแรงที่มากระทำในทิศทางที่เป็นเส้นตรงเดียวกัน

”

เทียบเท่ากับคำศัพท์ปัจจุบันว่า

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุเป็นสัดส่วนของแรงดลที่กระทำต่อวัตถุและเกิดขึ้นในแนวเส้นตรงเดียวกันกับที่แรงดลนั้นกระทำ

นี่อาจเป็นสูตรสำหรับโมเมนตัม ${\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {p} ^{\prime }}$ เมื่อ ${\displaystyle \mathrm {p} ^{\prime }}$ เป็นอนุพันธ์ของโมเมนตัมเทียบกับเวลา สมการนี้ถูกจัดแสดงไว้ใน ของ ในครอบแก้วซึ่งมีต้นฉบับของนิวตันเปิดอยู่ในหน้าที่เกี่ยวข้อง

ฉบับแปลของ Andrew Motte ในปี 1729 ซึ่งแปลจากฉบับภาษาละตินของนิวตัน มีการให้คำนิยามของกฎข้อที่สองไว้ว่า

If a force generates a motion, a double force will generate double the motion, a triple force triple the motion, whether that force be impressed altogether and at once, or gradually and successively. And this motion (being always directed the same way with the generating force), if the body moved before, is added to or subtracted from the former motion, according as they directly conspire with or are directly contrary to each other; or obliquely joined, when they are oblique, so as to produce a new motion compounded from the determination of both.

แปลเป็นภาษาไทยว่า

ถ้าแรงหนึ่งทำให้เกิดการเคลื่อนที่หนึ่ง แรงที่เป็นสองเท่าจะทำให้เกิดการเคลื่อนที่เป็นสองเท่า และแรงที่เป็นสามเท่าก็จะทำให้เกิดการเคลื่อนที่สามเท่า ไม่ว่าแรงนั้นจะกระทำอย่างทันทีในจังหวะเดียว หรือกระทำอย่างค่อย ๆ ทีละน้อย และการเคลื่อนที่นี้ (ซึ่งมีทิศทางเดียวกับแรงที่สร้างมันเสมอ) ในกรณีที่วัตถุมีการเคลื่อนที่อยู่แล้วก่อนหน้า ก็จะบวกเข้าหรือลบออกจากการเคลื่อนที่ก่อนหน้านั้น ขึ้นกับว่าทิศทางของการเคลื่อนที่ทั้งสองนั้นชี้ไปทางเดียวกัน หรือตรงข้ามกันพอดี หรือทำมุม นำไปสู่การเคลื่อนที่ใหม่ที่เป็นผลลัพธ์จากการเคลื่อนที่ทั้งสองนั้น

ลักษณะของการใช้คำศัพท์และความเข้าใจที่นิวตันมีต่อกฎข้อที่สอง รวมถึงความตั้งใจที่จะให้ผู้อื่นตีความกฎ เป็นที่ถกเถียงกันอย่างกว้างขวางโดยนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ พร้อมกับความสัมพันธ์ระหว่างสูตรของนิวตันกับสูตรสมัยใหม่

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3

“

Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

”

แปลเป็นภาษาไทยได้ว่า

“

กฎข้อที่ 3: สำหรับการกระทำใด ๆ จะมีการกระทำตรงกันข้ามที่เท่ากันเสมอ: หรือก็คือ การกระทำระหว่างวัตถุ 2 ชิ้นใด ๆ ต่อกันและกันมีขนาดเท่ากันเสมอ และกระทำต่อส่วนที่ตรงกันข้ามกัน

”

ส่วนขยายความของนิวตันต่อกฎนี้กล่าวว่า:

Whatever draws or presses another is as much drawn or pressed by that other. If you press a stone with your finger, the finger is also pressed by the stone. If a horse draws a stone tied to a rope, the horse (if I may so say) will be equally drawn back towards the stone: for the distended rope, by the same endeavour to relax or unbend itself, will draw the horse as much towards the stone, as it does the stone towards the horse, and will obstruct the progress of the one as much as it advances that of the other. If a body impinges upon another, and by its force changes the motion of the other, that body also (because of the equality of the mutual pressure) will undergo an equal change, in its own motion, toward the contrary part. The changes made by these actions are equal, not in the velocities but in the motions of the bodies; that is to say, if the bodies are not hindered by any other impediments. For, as the motions are equally changed, the changes of the velocities made toward contrary parts are reciprocally proportional to the bodies. This law takes place also in attractions, as will be proved in the next scholium.

แปลเป็นภาษาไทยได้ว่า

อะไรก็ตามที่ดึงหรือผลักอะไรอีกอย่าง จะถูกดึงหรือผลักโดยอะไรอีกอย่างนั้นเท่า ๆ กัน ถ้าท่านกดก้อนหินด้วยนิ้วมือ นิ้วมือก็จะถูกก้อนหินกดเช่นเดียวกัน ถ้าม้าตัวหนึ่งดึงเชือกที่ผูกกับหิน ม้าตัวนั้น (ถ้าข้าพเจ้าสามารถพูดเช่นนี้ได้) ก็จะถูกเชือกดึงกลับไปหาก้อนหินเท่ากัน: เนื่องจากเชือกนั้น ในความพยายามที่จะผ่อนคลายตนเองหรือทำให้ตนเองตรง ก็จะดึงม้ากลับมายังหิน เท่ากับที่มันดึงหินไปยังม้า และก็จะขัดขวางการเคลื่อนที่ของอย่างหนึ่งเท่ากับที่มันสนับสนุนอีกอย่าง ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งกดวัตถุอีกชิ้น และออกแรงทำให้วัตถุนั้นเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ไป (เนื่องมาจากความเท่ากันของความดันที่กระทำต่อกันและกัน) ตัวมันเองก็จะถูกเปลี่ยนแปลงไปในขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้าม ความเปลี่ยนแปลงที่เท่ากันนี้มิใช่เท่าในแง่ของความเร็ว แต่เท่ากันในปริมาณการเคลื่อนที่ นั่นคือ ถ้าวัตถุเหล่านั้นไม่ถูกสิ่งกีดขวางอะไรกระทำอีก ความเท่ากันของการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ก็จะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงความเร็วที่แปรผกผันกับวัตถุ กฎข้อนี้ยังเป็นจริงกับแรงดึงดูด ดังจะพิสูจน์ในส่วนขยายถัดไป

โดยที่คำว่า การเคลื่อนที่ เป็นชื่อที่นิวตันใช้เรียกโมเมนตัม จึงเป็นสาเหตุที่นิวตันระมัดระวังในการแยกแยะระหว่างการเคลื่อนที่และความเร็ว

นิวตันใช้กฎข้อที่สามในการพิสูจน์(กฎอนุรักษ์โมเมนตัม) แต่จากมุมมองที่ลึกกว่าในปัจจุบัน กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นแนวคิดที่เป็นพื้นฐานมากกว่า (โดยเป็นผลจาก และ ) และเป็นจริงในกรณีที่กฎข้อที่สามไม่เป็นจริง เช่น ในกรณีที่สนามพลังสามารถนำพาโมเมนตัมได้เหมือนอนุภาค และในกลศาสตร์ควอนตัม

ความสำคัญและช่วงของความถูกต้อง

กฎของนิวตันถูกตรวจสอบได้โดยการทดลองมาเป็นเวลากว่า 200 ปี ว่าใช้ได้อย่างยอดเยี่ยมสำหรับช่วงขนาดและความเร็วของชีวิตประจำวัน กฎเหล่านี้ร่วมกับกฎความโน้มถ่วงสากลและแคลคูลัส นำไปสู่คำอธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ในเชิงปริมาณอย่างหลากหลายเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ของวิชาวิทยาศาสตร์

กฎทั้งสามข้อนี้เป็นการประมาณที่ดีมากสำหรับสภาพแวดล้อมในชีวิตประจำวัน อย่างไรก็ตามกฎของนิวตัน (รวมถึงความโน้มถ่วงสากลและ) ไม่สามารถใช้ได้ในบางสถานการณ์ โดยเฉพาะในช่วงขนาดที่เล็กมาก ๆ ช่วงความเร็วที่สูงมาก ๆ (ซึ่งในสัมพัทธภาพพิเศษจะต้องเพิ่มตัวคูณลอเรนซ์ในสูตรของโมเมนตัม มวลนิ่ง และความเร็ว) หรือสนามโน้มถ่วงกำลังสูงมาก ๆ ดังนั้นกฎเหล่านี้จึงไม่สามารถอธิบายปรากฏการณ์เช่นการนำไฟฟ้าของสารกึ่งตัวนำ สมบัติทางทัศนศาสตร์ของสสาร ความผิดพลาดของระบบจีพีเอสที่ไม่คำนึงถึงสัมพัทธภาพ และสภาพนำยวดยิ่ง ซึ่งการอธิบายปรากฏการณ์เหล่านี้ต้องการทฤษฎีที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ทฤษฎีสนามควอนตัม เป็นต้น

ในกลศาสตร์ควอนตัม แนวคิดอย่างแรง โมเมนตัม และตำแหน่ง จะถูกนิยามโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้นซึ่งกระทำกับ: ในช่วงความเร็วต่ำ ๆ กฎของนิวตันจะตรงกับตัวดำเนินการเหล่านี้สำหรับวัตถุทั่วไป แต่เมื่อความเร็วใกล้เคียงความเร็วแสงจะไม่ตรง โดยกฎข้อที่สองจะเป็นจริงเฉพาะในรูป F = dp/dt เมื่อ F และ p เป็นเวกเตอร์สี่มิติ

ความสัมพันธ์กับกฎการอนุรักษ์

ในฟิสิกส์ปัจจุบัน กฎอนุรักษ์โมเมนตัม พลังงาน และโมเมนตัมเชิงมุม มีความถูกต้องอย่างกว้างขวางกว่ากฎของนิวตัน เนื่องจากครอบคลุมทั้งแสงและสสาร และทั้งกลศาสตร์ดั้งเดิมกับกลศาสตร์สมัยใหม่

เนื่องจากแรงเป็นอนุพันธ์เทียบเวลาของโมเมนตัม แนวคิดของแรงจึงเป็นผลมาจากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม และไม่จำเป็นต่อทฤษฎีพื้นฐาน (กลศาสตร์ควอนตัม สัมพัทธภาพทั่วไป ฯลฯ) แบบจำลองมาตรฐานอธิบายแรงพื้นฐานสามแรงที่เรียกว่าแรงเกจ ว่ากำเนิดมาจากการแลกเปลี่ยน ส่วนแรงอื่น ๆ เช่นแรงโน้มถ่วงและแรงดันดีเจเนอเรซีของเฟอร์มิออนก็มาจากการอนุรักษ์โมเมนตัม โดยการอนุรักษ์ในการเคลื่อนที่เฉื่อยผ่านกาล-อวกาศที่โค้งงอ นำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าแรงโน้มถ่วงในสัมพัทธภาพทั่วไป และการใช้อนุพันธ์เทียบตำแหน่ง (ซึ่งตรงกับตัวดำเนินการโมเมนตัมในกลศาสตร์ควอนตัม) กับของคู่เฟอร์มิออนก็นำไปสู่การขยับตัวของจุดสูงสุดแยกออกจากกัน ซึ่งสังเกตได้เป็นการ"ผลักกัน"ของเฟอร์มิออน

นิวตันตั้งกฎข้อสามไว้ภายใต้มุมมองที่เชื่อว่าการกระทำระหว่างอนุภาคเกิดในทันที ซึ่งในวิชาฟิสิกส์ปัจจุบันไม่มีการกระทำที่ทันทีทันใดเช่นนี้ เว้นแต่ผลกระทบบางประการจากควอนตัมเอนแทงเกิลเมนต์ (ตาม) อย่างไรก็ตามแนวคิดของการกระทำอย่างทันทีนี้ก็ยังใกล้เคียงความจริงมากพอที่จะใช้ประโยชน์ในวิศวกรรมศาสตร์

การค้นพบกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์โดยคาร์โนในศตวรรษที่ 19 แสดงว่ามีปริมาณทางฟิสิกส์ที่ไม่คงที่ในเวลา แสดงว่าแนวคิด "สถานะคงตัว" ที่เป็นไปตามกฎของนิวตันและกฎอนุรักษ์เท่านั้นขาดการคำนึงถึงเอนโทรปี

ดูเพิ่ม

• กลศาสตร์แฮมิลตัน
• กลศาสตร์แบบลากรางจ์
• กฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน
• แรงปฏิกิริยา (ฟิสิกส์)
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพ

อ้างอิง

1. For explanations of Newton's laws of motion by Newton in the early 18th century, by the physicist William Thomson (Lord Kelvin) in the mid-19th century, and by a modern text of the early 21st century, see:-
   • Newton's "Axioms or Laws of Motion" starting on page 19 of volume 1 of the 1729 translation of the Principia;
   • Section 242, Newton's laws of motion in Thomson, W (Lord Kelvin), and Tait, P G, (1867), Treatise on natural philosophy, volume 1; and
   • Benjamin Crowell (2000), Newtonian Physics.
2. Browne, Michael E. (July 1999). Schaum's outline of theory and problems of physics for engineering and science (Series: Schaum's Outline Series). McGraw-Hill Companies. p. 58. ISBN .
3. Holzner, Steven (December 2005). Physics for Dummies. Wiley, John & Sons, Incorporated. p. 64. ISBN .
4. See the Principia on line at Andrew Motte Translation
5. Andrew Motte translation of Newton's Principia (1687) Axioms or Laws of Motion
6. Greiner, Walter (2003). Classical mechanics: point particles and relativity. New York: Springer. ISBN .
7. Zeidler, E. (1988). Nonlinear Functional Analysis and its Applications IV: Applications to Mathematical Physics. New York, NY: Springer New York. ISBN .
8. Wachter, Armin; Hoeber, Henning (2006). Compendium of theoretical physics. New York, NY: Springer. ISBN .
9. [...]while Newton had used the word 'body' vaguely and in at least three different meanings, Euler realized that the statements of Newton are generally correct only when applied to masses concentrated at isolated points;Truesdell, Clifford A.; Becchi, Antonio; Benvenuto, Edoardo (2003). Essays on the history of mechanics: in memory of Clifford Ambrose Truesdell and Edoardo Benvenuto. New York: Birkhäuser. p. 207. ISBN .
10. Lubliner, Jacob (2008). (PDF). Dover Publications. ISBN . คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 31 March 2010.
11. Galili, I.; Tseitlin, M. (2003). . Science & Education. 12 (1): 45–73. Bibcode:2003Sc&Ed..12...45G. doi:10.1023/A:1022632600805. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2020-04-02. สืบค้นเมื่อ 2017-12-13.
12. Benjamin Crowell. "4. Force and Motion". . ISBN . คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2007-02-16. สืบค้นเมื่อ 2017-12-13.
13. In making a modern adjustment of the second law for (some of) the effects of relativity, m would be treated as the relativistic mass, producing the relativistic expression for momentum, and the third law might be modified if possible to allow for the finite signal propagation speed between distant interacting particles.
14. (20 September 1999). (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. เหตุการณ์เกิดขึ้นที่ 0:00–6:53. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (ogg)เมื่อ 2017-02-09. สืบค้นเมื่อ 23 December 2010.
15. For the Allure of Physics (9 December 2014), Lec 06: Newton's First, Second, and Third Laws | 8.01 Classical Mechanics, Fall 1999 (Walter Lewin), สืบค้นเมื่อ 12 July 2017
16. NMJ Woodhouse (2003). Special relativity. London/Berlin: Springer. p. 6. ISBN .
17. Beatty, Millard F. (2006). Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion,. Springer. p. 24. ISBN .
18. Thornton, Marion (2004). Classical dynamics of particles and systems (5th ed.). Brooks/Cole. p. 53. ISBN .
19. , Newton’s First, Second, and Third Laws 2017-02-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, Lecture 6. (6:53–11:06)
20. Plastino, Angel R.; Muzzio, Juan C. (1992). "On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems". Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. Bibcode:1992CeMDA..53..227P. doi:10.1007/BF00052611. ISSN 0923-2958. "We may conclude emphasizing that Newton's second law is valid for constant mass only. When the mass varies due to accretion or ablation, [an alternate equation explicitly accounting for the changing mass] should be used."
21. Halliday; Resnick. Physics. Vol. 1. p. 199. ISBN . It is important to note that we cannot derive a general expression for Newton's second law for variable mass systems by treating the mass in F = dP/dt = d(Mv) as a variable. [...] We can use F = dP/dt to analyze variable mass systems only if we apply it to an entire system of constant mass having parts among which there is an interchange of mass. [Emphasis as in the original]
22. Kleppner, Daniel; Robert Kolenkow (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 133–134. ISBN . Recall that F = dP/dt was established for a system composed of a certain set of particles[. ... I]t is essential to deal with the same set of particles throughout the time interval[. ...] Consequently, the mass of the system can not change during the time of interest.
23. Hannah, J, Hillier, M J, Applied Mechanics, p221, Pitman Paperbacks, 1971
24. Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn (2006). College Physics. Pacific Grove CA: Thompson-Brooks/Cole. p. 161. ISBN .
25. I. Bernard Cohen (Peter M. Harman & Alan E. Shapiro, Eds) (2002). The investigation of difficult things: essays on Newton and the history of the exact sciences in honour of D.T. Whiteside. Cambridge UK: Cambridge University Press. p. 353. ISBN .
26. WJ Stronge (2004). Impact mechanics. Cambridge UK: Cambridge University Press. p. 12 ff. ISBN .
27. , Newton’s First, Second, and Third Laws 2017-02-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, Lecture 6. (14:11–16:00)
28. Resnick; Halliday; Krane (1992). Physics, Volume 1 (4th ed.). p. 83.
29. C Hellingman (1992). "Newton's third law revisited". Phys. Educ. 27 (2): 112–115. Bibcode:1992PhyEd..27..112H. doi:10.1088/0031-9120/27/2/011. Quoting Newton in the Principia: It is not one action by which the Sun attracts Jupiter, and another by which Jupiter attracts the Sun; but it is one action by which the Sun and Jupiter mutually endeavour to come nearer together.
30. Resnick & Halliday (1977). Physics (Third ed.). John Wiley & Sons. pp. 78–79. Any single force is only one aspect of a mutual interaction between two bodies.
31. Hewitt (2006), p. 75
32. Thomas Hobbes wrote in :

    That when a thing lies still, unless somewhat else stir it, it will lie still forever, is a truth that no man doubts. But [the proposition] that when a thing is in motion it will eternally be in motion unless somewhat else stay it, though the reason be the same (namely that nothing can change itself), is not so easily assented to. For men measure not only other men but all other things by themselves. And because they find themselves subject after motion to pain and lassitude, [they] think every thing else grows weary of motion and seeks repose of its own accord, little considering whether it be not some other motion wherein that desire of rest they find in themselves, consists.

33. (1995). Science and the Founding Fathers: Science in the Political Thought of Jefferson, Franklin, Adams and Madison. New York: W.W. Norton. p. 117. ISBN .
34. (1980). The Newtonian Revolution: With Illustrations of the Transformation of Scientific Ideas. Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 183–4. ISBN .
35. According to Maxwell in Matter and Motion, Newton meant by motion "the quantity of matter moved as well as the rate at which it travels" and by impressed force he meant "the time during which the force acts as well as the intensity of the force". See Harman and Shapiro, cited below.
36. See for example (1) I Bernard Cohen, "Newton's Second Law and the Concept of Force in the Principia", in "The Annus Mirabilis of Sir Isaac Newton 1666–1966" (Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 1967), pages 143–185; (2) Stuart Pierson, "'Corpore cadente. . .': Historians Discuss Newton’s Second Law", Perspectives on Science, 1 (1993), pages 627–658; and (3) Bruce Pourciau, "Newton's Interpretation of Newton's Second Law", Archive for History of Exact Sciences, vol.60 (2006), pages 157–207; also an online discussion by G E Smith, in 5. Newton's Laws of Motion, s.5 of "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" in (online) Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2007.
37. Newton, Principia, Corollary III to the laws of motion

อ่านเพิ่ม

• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; ; Vuletic, Vladan (2016). "Classical Mechanics". MIT OpenCourseWare. สืบค้นเมื่อ 2022-01-17.
• ; (1867). "242, Newton's laws of motion". Treatise on natural philosophy. Vol. 1.