ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

สัมพันธภาพทั่วไป หรือ ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป และ ทฤษฎีความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ เป็นทฤษฎีทางเรขาคณิตของความโน้มถ่วง ซึ่งถูกตีพิมพ์โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในปี ค.ศ. 1915 และเป็นคำอธิบายปัจจุบันของความโน้มถ่วงในสาขา ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีลักษณะเป็นการวางพื้นฐานต่อทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ และปรับปรุงกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน โดยให้คำอธิบายสรุปของความโน้มถ่วงว่าเป็นคุณสมบัติทางเรขาคณิตของปริภูมิและเวลา หรือปริภูมิ-เวลาใน โดยเฉพาะในเรื่องความโค้งของปริภูมิ-เวลาที่สัมพันธ์โดยตรงกับพลังงานหรือโมเมนตัม ที่แม้จะไม่มีสสารและการแผ่รังสี โดยความสัมพันธ์นี้ได้ถูกกำหนดโดย ซึ่งเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

แบบจำลองเคลื่อนไหวช้าโดยคอมพิวเตอร์ของหลุมดำคู่ GW150914 ที่มองผ่านมุมมองของผู้สังเกตที่อยู่ใกล้ในระหว่างเวลา 0.33 วินาที ที่หลุมดำมีการโคจรรอบกัน รวมตัวกัน และเกิดการสั่นลง ท่ามกลางดวงดาวที่ปรากฏอยู่ด้านหลังหลุมดำมีความบิดเบี้ยว และหมุนเคลื่อนที่ไปมา เนื่องจากเกิดการบิดโค้งโดยเลนส์ความโน้มถ่วงมากจนเกินไป ทำให้ปริภูมิ-เวลาถูกบิดเบี้ยวและถูกลากไปรอบ ๆ โดยคู่หลุมดำที่กำลังโคจรรอบกัน

กฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ซึ่งอธิบายความโน้มถ่วงเบื้องต้น สามารถมองได้ว่าเป็นการทำนายจากทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป ซึ่งเรขาคณิตในปริภูมิ-เวลาที่เกือบจะแบนราบ ได้อยู่รอบ ๆ ในการกระจายตัวของมวลที่หยุดนิ่ง แต่ในบางการทำนายจากทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป มีบางเรื่องที่อยู่นอกเหนือไปจากกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันตาม โดยการทำนายเหล่านี้จะเกี่ยวเนื่องกับการผ่านของเวลา เรขาคณิตของปริภูมิ การเคลื่อนที่ของเทหวัตถุใน และการแพร่กระจายของแสง และยังรวมไปถึง เลนส์ความโน้มถ่วง ของแสง และภาวะเอกฐานของหลุมดำ โดยในปัจจุบัน ทั้งหมดได้ยืนยันแล้วว่าเป็นไปตามทฤษฎี ซึ่งจากคำอธิบายที่มีผลขึ้นกับเวลาตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ได้ช่วยให้สามารถอธิบายประวัติศาสตร์ของจักรวาล และจัดวางกรอบการทำงานด้านจักรวาลวิทยา นำไปสู่การค้นพบของบิกแบง และการแผ่รังสีไมโครเวฟพื้นหลังของเอกภพ แม้จะมีการนำเสนอทฤษฎีทางเลือกในหลายทฤษฎี แต่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปยังคงเป็นทฤษฎีที่ง่ายที่สุดที่สอดคล้องไปกับ

ทฤษฎีของไอน์สไตน์มีความหมายสำคัญทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ เช่น แสดงให้เห็นถึงการมีหลุมดำ บริเวณของปริภูมิซึ่งปริภูมิและเวลาบิดเบี้ยวจนไม่มีสิ่งใดแม้กระทั่งแสงสามารถหนีออกมาได้ โดยเป็นจุดจบของดาวฤกษ์ขนาดยักษ์ มีหลักฐานมากพอว่า รังสีเข้มซึ่งแผ่จากวัตถุทางดาราศาสตร์บางชนิดเนื่องมาจากหลุมดำ เช่น ไมโครควาซาร์ (microquasar) และนิวเคลียสดาราจักรกัมมันต์ ซึ่งเกิดจากการมีหลุมดำดาวฤกษ์และหลุมดำมวลยวดยิ่งตามลำดับ การโค้งของแสงโดยความโน้มถ่วงสามารถนำไปสู่ปรากฏการณ์เลนส์ความโน้มถ่วง ซึ่งทำให้สามารถเห็นภาพหลายภาพของวัตถุดาราศาสตร์ที่ระยะทางเท่ากันหลายภาพบนฟ้า สัมพัทธภาพทั่วไปยังทำนายการมีคลื่นความโน้มถ่วง ซึ่งการสังเกตคลื่นเหล่านี้โดยตรงเป็นเป้าหมายของโครงการอย่าง หอสังเกตการณ์คลื่นความโน้มถ่วงโดยใช้อินเตอร์เฟอโรมิเตอร์ชนิดเลเซอร์ (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory: LIGO) ของนาซา สายอากาศอวกาศอินเตอร์เฟอโรเมทรีเลเซอร์ (Laser Interferometer Space Antenna: LISA) ของอีเอสเอ และแถวลำดับตั้งจังหวะพัลซาร์ (pulsar timing array) จำนวนมากซึ่งในปัจจุบัน LIGO ได้สังเกตพบคลื่นความโน้มถ่วงแล้ว นอกจากนี้ สัมพัทธภาพทั่วไปยังเป็นพื้นฐานของแบบจำลองจักรวาลวิทยาเอกภาพขยายต่อเนื่องปัจจุบัน

จากกลศาสตร์แบบฉบับสู่สัมพัทธภาพทั่วไป

สมการของไอน์สไตน์

หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงในด้านสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว ยังคงมีคำถามว่าด้วยที่มาของความโน้มถ่วงอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้จะสามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งได้ จากการเทียบเคียงกับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของกลุ่มหมอก (cloud) ของอนุภาคทดสอบขนาดเล็กซึ่งเริ่มจากสภาวะนิ่งแล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดไดเวอร์เจนซ์ เช่นเดียวกัน สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ ไดเวอร์เจนซ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการย่อมเป็นศูนย์ ชุดของสมการที่ง่ายที่สุดนี้เป็นสิ่งที่เรียกว่าสมการสนามของไอน์สไตน์:

สมการสนามของไอน์สไตน์ ${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,}$

ข้างซ้ายมือเป็นเทนเซอร์ไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นการรวมเทนเซอร์ริตชีแบบปลอดไดเวอร์เจนซ์เฉพาะ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ กับเทนเซอร์เมตริก โดยที่ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ สมมาตร โดยเฉพาะ

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,}$

เป็นสเกลาร์ความโค้ง เทนเซอร์ริตชีเองสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์ (Riemann curvature tensor) ซึ่งมีนัยทั่วไปกว่า โดยที่

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }\,}$

ข้างขวามือ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ เป็นเทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม เทนเซอร์ทั้งหมดเขียนด้วยสัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (abstract index notation) ในการเทียบเคียงการทำนายของทฤษฎีดังกล่าวกับผลการสังเกตสำหรับวงโคจรดาวเคราะห์ (หรือเทียบเท่าเงื่อนไขว่าในกรณีความโน้มถ่วงอ่อน ความเร็วต่ำจะต้องตรงกับกลศาสตร์แบบนิวตัน) จะได้ค่าคงตัวความได้สัดส่วน (proportionality constant) เป็น κ = 8πG/c⁴ โดยที่ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง และ c เป็นความเร็วแสง เมื่อไม่มีมวล เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัมจะหมดไป ผลคือ สมการไอน์สไตน์สุญญากาศ (vacuum Einstein equation)

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,}$

นอกเหนือจากสัมพัทธภาพทั่วไป ยังคงมีทฤษฎีตัวเลือกอื่น ๆ ซึ่งสร้างบนพื้นฐานเดียวกัน ซึ่งมีกฎและ/หรือค่าคงตัวเพิ่มเติม นำไปสู่สมการฟีลด์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น , และ

บทนิยามและการประยุกต์พื้นฐาน

สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงเมตริก โดยมีหัวใจเป็นสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตของแมนิโฟลด์สี่มิติแบบรีมันน์เทียม (pseudo-Riemannian) ซึ่งเป็นตัวแทนของปริภูมิ-เวลาและซึ่งอยู่ในปริภูมิ-เวลานั้น ปรากฏการณ์ซึ่งในกลศาสตร์แบบฉบับให้เหตุผลว่าเป็นกิริยา (action) ของแรงโน้มถ่วง (เช่น การตกอิสระ การเคลื่อนที่แบบโคจร และอวกาศยาน) สอดคล้องกับการเคลื่อนที่เฉื่อยภายในเรขาคณิตโค้งของปริภูมิ-เวลาในสัมพัทธภาพทั่วไป โดยไม่มีแรงโน้มถ่วงไปเบนวัตถุจากวิถีธรรมชาติอันเป็นเส้นตรงของมัน หากแต่ความโน้มถ่วงสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของปริภูมิและเวลา ซึ่งเปลี่ยนวิถีเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งวัตถุจะดำเนินโดยธรรมชาติเป็นลำดับ ส่วนความโค้งนั้นเกิดจากพลังงาน–โมเมนตัมของสสารอีกทอดหนึ่ง ถอดความจากนักสัมพัทธนิยม จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีเลอร์ (John Archibald Wheeler) ปริภูมิ-เวลาบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร

ขณะที่สัมพัทธภาพทั่วไปแทนศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ของกลศาสตร์แบบฉบับด้วยเทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสอง (rank-two) สมมาตร แต่เทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสองสมมาตรลดเหลือศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ในบางกรณี สำหรับสนามความโน้มถ่วงอ่อนและความเร็วต่ำสัมพัทธ์กับความเร็วแสง การทำนายของทฤษฎีนี้บรรจบกับการทำนายของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

เพราะสัมพัทธภาพทั่วไปสร้างโดยใช้เทนเซอร์ จึงแสดงความแปรปรวนร่วมเกี่ยวทั่วไป โดยกฎของมัน และกฎอื่นที่คิดภายในกรอบสัมพัทธนิยมทั่วไป ยึดรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีนี้ไม่มีโครงสร้างพื้นหลังเรขาคณิตไม่แปรเปลี่ยนใด ๆ คือ ไม่ขึ้นกับพื้นหลัง ฉะนั้นมันสอดคล้องกับหลักการทั่วไปสัมพัทธนิยมที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ เป็นเหมือนกับสำหรับผู้สังเกตทุกคน เฉพาะที่ดังแสดงในหลักการสมมูล ปริภูมิ-เวลาเป็นแบบมินคอฟสกี และกฎฟิสิกส์แสดงความยืนยงลอเรนตซ์เฉพาะที่ (local Lorentz invariance)

ดูเพิ่ม

• บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

อ้างอิง

1. "GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves". Black-holes.org. สืบค้นเมื่อ 18 April 2016.
2. "Gravitational Waves Detected 100 Years After Einstein's Prediction". 11 เมษายน 2016. สืบค้นเมื่อ 5 มีนาคม 2019.
3. Ehlers 1973, pp. 19–22 harvnb error: no target: CITEREFEhlers1973 () for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972 harvnb error: no target: CITEREFWeinberg1972 (). The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972 harvnb error: no target: CITEREFLovelock1972 (). The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as , the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3 harvnb error: no target: CITEREFSchutz1985 ()
4. Kenyon 1990, sec. 7.4 harvnb error: no target: CITEREFKenyon1990 ()
5. Brans & Dicke 1961 harvnb error: no target: CITEREFBransDicke1961 (), Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7 harvnb error: no target: CITEREFWeinberg1972 (), Goenner 2004, sec. 7.2 harvnb error: no target: CITEREFGoenner2004 (), and Trautman 2006 harvnb error: no target: CITEREFTrautman2006 (), respectively
6. Wald 1984, ch. 4 harvnb error: no target: CITEREFWald1984 (), Weinberg 1972, ch. 7 harvnb error: no target: CITEREFWeinberg1972 () or, in fact, any other textbook on general relativity
7. At least approximately, cf. Poisson 2004 harvnb error: no target: CITEREFPoisson2004 ()
8. Wheeler 1990, p. xi harvnb error: no target: CITEREFWheeler1990 ()
9. Wald 1984, sec. 4.4 harvnb error: no target: CITEREFWald1984 ()
10. Wald 1984, sec. 4.1 harvnb error: no target: CITEREFWald1984 ()
11. For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2006b harvnb error: no target: CITEREFGiulini2006b ()
12. section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972 harvnb error: no target: CITEREFWeinberg1972 ()