อ ปราคาอาจอ บ ต ข นได ซ ำโดยค นถ กด วยช วงเวลาหน ง ช วงเวลาเหล าน เร ยกว า วงรอบอ ปราคา eclipse cycles และช ดของอ ปราคาท

อุปราคาอาจอุบัติขึ้นได้ซ้ำโดยคั่นถูกด้วยช่วงเวลาหนึ่ง ช่วงเวลาเหล่านี้เรียกว่า วงรอบอุปราคา (eclipse cycles) และชุดของอุปราคาที่ถูกคั่นด้วยการอุบัติซ้ำของช่วงเวลาเหล่านี้จะเรียกว่า ชุดอุปราคา (eclipse series)

แนวเส้นทางแบบบางส่วน วงแหวน ผสม เต็มดวง และบางส่วนของสุริยุปราคาในชุดแซรอสดวงอาทิตย์ที่ 136 ระยะห่างระหว่างการอุบัติของอุปราคาที่ต่อเนื่องกันในชุดคือช่วงหนึ่งแซรอสหรือประมาณ 18 ปี

ลักษณะของอุปราคา

แผนภาพของสุริยุปราคา (สัดส่วนไม่ตรงตามมาตรา)

อุปราคาอาจเกิดขึ้นได้เมื่อโลกและดวงจันทร์เรียงตัวในแนวเดียวกันกับดวงอาทิตย์ และเงาจากแสงดวงอาทิตย์ของวัตถุหนึ่งเกิดฉายลงบนพื้นผิวของอีกวัตถุหนึ่งพอดี ดังนั้นในช่วงจันทร์ดับ ดวงจันทร์จะอยู่ในตำแหน่งร่วมทิศกับดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์อาจเคลื่อนผ่านด้านหน้าของดวงอาทิตย์ซึ่งสามารถสังเกตเห็นปรากฏการณ์ดังกล่าวได้ในแนวแคบ ๆ บนพื้นผิวโลกเป็นสุริยุปราคา ในช่วงจันทร์เพ็ญ ดวงจันทร์จะอยู่ในกันกับดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์อาจเคลื่อนผ่านเข้าไปในเงาของโลก และเกิดเป็นจันทรุปราคาขึ้น ซึ่งสามารถสังเกตเห็นได้ในซีกกลางคืนของโลก ตำแหน่งร่วมทิศและตรงกันข้ามของดวงจันทร์นี้มีชื่อเรียกเป็นพิเศษ คือ (syzygy) มาจากภาษากรีกหมายถึงการพบสบกัน เนื่องด้วยความสำคัญของดิถีจันทร์เหล่านี้

อุปราคานั้นมิได้เกิดขึ้นในทุกจันทร์ดับหรือจันทร์เพ็ญ เนื่องจากระนาบรอบโลกนั้นมีการเอียงทำมุมกับระนาบของรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้น หากมองจากโลกแล้ว เมื่อดวงจันทร์ปรากฏอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ในช่วงจันทร์ดับ หรือไกลออกไปจากดวงอาทิตย์ในช่วงจันทร์เพ็ญ นั้นหมายถึงว่าวัตถุทั้งสามนั้นหาได้เรียงตัวในแนวเดียวกันไม่

ความเอียงนี้มีค่าเฉลี่ยประมาณ 5° 9′ ซึ่งมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏเฉลี่ยของดวงอาทิตย์ (32′ 2″) เมื่อมองจากพื้นผิวโลกโดยตรงไปยังใต้ดวงจันทร์ (31′ 37″) และที่เฉลี่ย (1° 23′) แล้ว

ดังนั้น ในจันทร์ดับส่วนมาก โลกจะเคลื่อนผ่านเงาของดวงจันทร์ไปทางเหนือหรือใต้เกินไป และจันทร์เพ็ญส่วนมากนั้นก็จะไม่อยู่ใต้เงาของโลก นอกจากนี้ ในสุริยุปราคาส่วนใหญ่ เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมปรากฏของดวงจันทร์จะไม่เพียงพอที่จะบังดวงอาทิตย์ได้ทั้งดวง เว้นแต่ว่าดวงจันทร์จะอยู่ที่จุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจร นั่นคือ อยู่ใกล้โลกและมีขนาดปรากฏใหญ่กว่าค่าเฉลี่ย แต่ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม การเรียงตัวจะต้องอยู่ในแนวสมบูรณ์เพื่อจะเกิดอุปราคาขึ้น

อุปราคาจะสามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ ดวงจันทร์นั้นอยู่บนหรืออยู่ใกล้กับระนาบวงโคจรของโลกเท่านั้นหรือกล่าวคือเมื่อ(ละติจูดสุริยวิถี)ต่ำ ซึ่งลักษณะนี้จะเกิดขึ้นเมื่อดวงจันทร์อยู่บนรอบหนึ่งจากสองของบนสุริยวิถี ณ เวลาที่เกิดซิสซีจี ดังนั้น ในการเกิดอุปราคา ดวงอาทิตย์จะต้องอยู่รอบโหนดใน ณ ขณะนั้นด้วย โดยจะเป็นโหนดเดียวกันสำหรับสุริยุปราคา หรือโหนดตรงข้ามสำหรับจันทรุปราคา

การอุบัติซ้ำ

แผนภาพวงโคจรเมื่อมองจากศูนย์กลางโลก แสดงโหนดทั้งสองของดวงจันทร์ที่สามารถก่อให้เกิดอุปราคาได้

อุปราคาอาจเกิดขึ้นได้มากถึงสามเหตุการณ์ในช่วง ซึ่งเป็นช่วงเวลาหนึ่งหรือสองเดือนที่เกิดขึ้นปีละสองครั้ง ในช่วงเวลาที่ดวงอาทิตย์อยู่ใกล้โหนดบนวงโคจรของดวงจันทร์

อุปราคาไม่ได้เกิดขึ้นในทุกเดือน เนื่องจากหลังจากเกิดอุปราคาหนึ่งเดือน เรขาคณิตสัมพัทธ์ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโลกจะเปลี่ยนไป

เมื่อมองจากโลก ช่วงเวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการกลับมายังโหนด เรียกว่า นั้นจะน้อยกว่าเวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการกลับสู่ลองจิจูดสุริยวิถีเดียวกับดวงอาทิตย์ที่เรียกว่า เหตุผลหลัก คือ ช่วงเวลาที่ดวงจันทร์โคจรรอบโลกครบรอบ โลก (และดวงจันทร์) จะโคจรรอบดวงอาทิตย์ไปเป็นระยะ 1/13 ของวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์จึงต้องชดเชยระยะที่ขาดไปนี้เพื่อกลับมายังตำแหน่งร่วมทิศหรือตรงข้ามกับดวงอาทิตย์อีกครั้ง ประการต่อมา คือ โหนดบนวงโคจรของดวงจันทร์ไปทางด้านตะวันตกในลองจิจูดสุริยวิถี จะใช้เวลาในการครบรอบประมาณ 18.60 ปี ฉะนั้นแล้ว เดือนดราโคนิกจึงสั้นกว่า โดยรวมแล้ว ความแตกต่างของระยะเวลาระหว่างเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิกจึงอยู่ที่ประมาณ 2 1/3 วัน ในทำนองเดียวกัน เมื่อมองจากโลก ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนผ่านโหนดทั้งสองขณะที่เคลื่อนที่ไปบนสุริยวิถี ระยะเวลาที่ดวงอาทิตย์ใช้ในการกลับสู่โหนดจะเรียกว่า ปีอุปราคาหรือดราโคนิก หรือประมาณ 346.6201 วัน ซึ่งสั้นกว่าปีดาราคติประมาณ 1/20 ปี เนื่องจากการหมุนควง (precession) ของโหนด

หากสุริยุปราคาเกิดขึ้น ณ จันทร์ดับหนึ่ง ซึ่งจะต้องอยู่ใกล้กับโหนด ดังนั้นในจันทร์เพ็ญครั้งถัดไป ดวงจันทร์จะผ่านโหนดตรงข้ามไปแล้วมากกว่าหนึ่งวัด และอาจพลาดหรือไม่พลาดเงาของโลกก็ได้ ในจันทร์ดับครั้งถัดมา โหนดก็จะอยู่ไกลออกไปอีก ดังนั้นโอกาสในการเกิดอุปราคา ณ บริเวณใดบนพื้นผิวโลกจึงน้อย ดังนั้นภายในเดือนถัดมาจึงไม่มีอุปราคาอย่างแน่นอน

อย่างไรก็ตาม หลังจากนั้นประมาณ 5 หรือ 6 เดือนจันทรคติ จันทร์ดับจะเข้าใกล้กับโหนดตรงกันข้ามอีกครั้ง ณ เวลานั้น (ครึ่งปีอุปราคา) ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนไปยังโหนดตรงกันข้ามเช่นกัน ดังนั้น สถานการณ์จึงเหมาะสมอีกครั้งสำหรับการเกิดอุปราคาครั้งหรือหลายครั้งได้อีก

การปรากฏเป็นคาบ

การปรากฏเป็นคาบของสุริยุปราคา คือ ช่วงเวลาระหว่างการเกิดสุริยุปราคาสองครั้งติดต่อกัน ซึ่งจะเป็น 1, 5 หรือ 6 มีการคำนวณว่าโลกจะประสบกับสุริยุปราคาทั้งสิ้น 11,898 ครั้งในระหว่างก่อนคริสตศักราช 2000 จนถึงคริสตศักราช 3000 ซึ่งสุริยุปราคาจะเกิดขึ้นซ้ำในทุก 18 ปี 11 วัน 8 ชั่วโมง (6,585.32 วัน) แต่มิได้เกิดขึ้นในบริเวณทางภูมิศาสตร์เดียวกัน โดยบริเวณทางภูมิศาสตร์เดียวกันหนึ่ง ๆ จะเกิดสุริยุปราคาขึ้นในทุก 54 ปี 34 วัน ส่วนสุริยุปราคาเต็มดวงนั้นถือเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก แม้ว่าจะเกิดขึ้นบนพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งบนโลกโดยเฉลี่ยในทุก 18 เดือน

การอุบัติซ้ำของสุริยุปราคา

สำหรับการอุบัติซ้ำของสุริยุปราคา การจัดเรียงเชิงเรขาคณิตของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ รวมไปถึงลักษณะบางประการของวงโคจรดวงจันทร์นั้นควรจะเกิดขึ้นซ้ำด้วย โดยมีเกณฑ์และคุณลักษณะในการอุบัติซ้ำของสุริยุปราคาดังต่อไปนี้

ดิถีจันทร์จะต้องเป็นจันทร์ดับ
ลองจิจูดของจุดไกลโลกที่สุดหรือจุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจรของดวงจันทร์จะต้องเหมือนกัน
ลองจิจูดของหรือจะต้องเหมือนกัน
โลกจะต้องอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ในระยะทางเกือบเท่าเดิม และเอียงทำมุมกับดวงอาทิตย์ในแนวเกือบเท่าเดิม

ลักษณะเหล่านี้สัมพันธ์กับสามช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ไปตามวงโคจรของดวงจันทร์ ได้แก่ และ อีกนัยหนึ่งคือ อุปราคานั้นจะอุบัติซ้ำก็ต่อเมื่อดวงจันทร์ครบรอบคาบไซนอดิก ดราโคนิก และอะนอมาลิสติก (223, 242 และ 239) และลักษณะทางเรขาคณิตระหว่างโลก-ดวงอาทิตย์-ดวงจันทร์จำต้องเกือบเหมือนกันทุกประการจึงจะเกิดอุปราคาขึ้น ดวงจันทร์จะต้องอยู่ในโหนดเดียวกันและห่างจากโลกเท่ากัน โดยการเปลี่ยนแปลงแกมมาแบบทางเดียวจะเกิดไปตลอดชุดแซรอสใด ๆ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงของแกมมานั้นจะมากขณะที่โลกอยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (มิถุนายนถึงกรกฎาคม) ซึ่งมากกว่าในขณะที่โลกอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ธันวาคมถึงมกราคม) และเมื่อโลกอยู่ในช่วงที่มีระยะห่างโดยเฉลี่ย (มีนาคมถึงเมษายนหรือกันยายนถึงตุลาคม) การเปลี่ยนแปลงของแกมมาก็จะอยู่เป็นค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน

การอุบัติซ้ำของจันทรุปราคา

สำหรับการอุบัติซ้ำของจันทรุปราคา การจัดเรียงเชิงเรขาคณิตของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ รวมไปถึงลักษณะบางประการของวงโคจรดวงจันทร์นั้นควรจะเกิดขึ้นซ้ำด้วย โดยมีเกณฑ์และคุณลักษณะในการอุบัติซ้ำของจันทรุปราคาดังต่อไปนี้

ดิถีจันทร์จะต้องเป็นจันทร์เพ็ญ
ลองจิจูดของจุดไกลโลกที่สุดหรือจุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจรของดวงจันทร์จะต้องเหมือนกัน
ลองจิจูดของหรือจะต้องเหมือนกัน
โลกจะต้องอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ในระยะทางเกือบเท่าเดิม และเอียงทำมุมกับดวงอาทิตย์ในแนวเกือบเท่าเดิม

ลักษณะเหล่านี้สัมพันธ์กับสามช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ไปตามวงโคจรของดวงจันทร์ ได้แก่ และ อีกนัยหนึ่งคือ อุปราคานั้นจะอุบัติซ้ำก็ต่อเมื่อดวงจันทร์ครบรอบคาบไซนอดิก ดราโคนิก และอะนอมาลิสติก (223, 242 และ 239) และลักษณะทางเรขาคณิตระหว่างโลก-ดวงอาทิตย์-ดวงจันทร์จำต้องเกือบเหมือนกันทุกประการจึงจะเกิดอุปราคาขึ้น ดวงจันทร์จะต้องอยู่ในโหนดเดียวกันและห่างจากโลกเท่ากัน โดยการเปลี่ยนแปลงแกมมาแบบทางเดียวจะเกิดไปตลอดชุดแซรอสใด ๆ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงของแกมมานั้นจะมากขณะที่โลกอยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (มิถุนายนถึงกรกฎาคม) ซึ่งมากกว่าในขณะที่โลกอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ธันวาคมถึงมกราคม) และเมื่อโลกอยู่ในช่วงที่มีระยะห่างโดยเฉลี่ย (มีนาคมถึงเมษายนหรือกันยายนถึงตุลาคม) การเปลี่ยนแปลงของแกมมาก็จะอยู่เป็นค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน

อุปราคามิได้เกิดขึ้นทุกเดือน

สิ่งที่ต้องพิจารณาอีกประการหนึ่ง คือ การเคลื่อนที่ของดวงจันทร์นั้นมิใช่วงกลมโดยสมบูรณ์ วงโคจรของดวงจันทร์นั้นเป็นวงรีอย่างชัดเจน ดังนั้น ระยะห่างของดวงจันทร์จากโลกจึงมีการแปรผันไปตลอดวงรอบของดวงจันทร์ ระยะห่างที่ต่างกันนี้ทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏของดวงจันทร์เปลี่ยนแปลงไป และจึงมีอิทธิพลต่อทั้งโอกาส ระยะเวลา และชนิด (บางส่วน วงแหวน เต็มดวง หรือผสม) ของอุปราคา คาบการโคจรนี้เรียกว่า เดือนไซนอดิก (synodic month) เนื่องจากเป็นสิ่งที่ทำให้เกิด "วัฏจักรจันทร์เพ็ญ" ของดวงจันทร์ในการปรากฏของจันทร์เพ็ญ (และจันทร์ดับ) ในช่วงประมาณ 14 เดือนจันทรคติขึ้น ดวงจันทร์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเข้าใกล้โลก (ใกล้จุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจร) และช้าลงเมื่ออยู่ใกล้จุดไกลโลกที่สุดในวงโคจร จึงทำให้ระยะเวลาในการเปลี่ยนแปลงซิสซีจีรายคาบนั้นใช้เวลานานถึง 14 ชั่วโมงในทั้งสองฝั่ง (เทียบกับระยะเวลาเฉลี่ย) และจึงทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมปรากฏของดวงจันทร์นั้นเพิ่มหรือลดประมาณร้อยละ 6 วงรอบอุปราคาจึงต้องประกอบด้วยจำนวนเกือบเต็มของเดือนอะนอมาลิสติก เพื่อที่จะพยากรณ์อุปราคาได้ดี

ถ้าโลกมีวงโคจรเป็นวงกลมอย่างสมบูรณ์รอบดวงอาทิตย์ และวงโคจรของดวงจันทร์ก็เป็นวงกลมอย่างสมบูรณ์รอบโลกด้วยเช่นกัน และวงโคจรของทั้งสองก็อยู่บนระนาบเดียวกันอีก จะเกิดอุปราคาจำนวนสองครั้งขึ้นในทุกเดือนจันทรคติ (29.53 วัน) จันทรุปราคาจะเกิดขึ้นในทุกคืนจันทร์เพ็ญ สุริยุปราคาจะเกิดขึ้นในทุกวันจันทร์ดับ และสุริยุปราคาทั้งหมดจะเป็นชนิดเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงแล้ว ระยะห่างระหว่างโลกกับดวงจันทร์และโลกกับดวงอาทิตย์นั้นแตกต่างกัน เนื่องจากทั้งโลกและดวงจันทร์มีวงโคจรเป็นวงรี ยิ่งไปกว่านั้น วงโคจรของทั้งสองวัตถุก็ไม่ได้ตั้งอยู่ในระนาบเดียวกันด้วย โดยที่วงโคจรของดวงจันทร์เอียงทำมุมประมาณ 5.14° กับวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้น วงโคจรของดวงจันทร์จึงตัดกับสุริยวิถีที่จุดหรือโหนดสองแห่ง หากจันทร์ดับเกิดขึ้นภายในประมาณ 17° ของโหนดแล้ว ก็จะสามารถสังเกตเห็นสุริยุปราคาได้จากตำแหน่งในตำแหน่งหนึ่งบนโลก

ที่ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยที่ 0.99° ต่อวัน ทำให้ดวงอาทิตย์ใช้เวลา 34.5 วันในการข้ามเขตอุปราคา (eclipse zone) ที่มีความกว้าง 34° โดยมีแต่ละจุดโหนดเป็นจุดศูนย์กลาง เนื่องจากเมื่อเทียบวงโคจรของดวงจันทร์กับดวงอาทิตย์แล้วจะมีระยะเวลาเฉลี่ย 29.53 วัน จึงทำให้จะเกิดสุริยุปราคาจำนวนหนึ่งถึงสองครั้งในระหว่างแต่ละช่วง 34.5 วันเมื่อดวงอาทิตย์นั้นเคลื่อนผ่านเขตอุปราคาของโหนด โดยที่ช่วงเวลาเหล่านั้นถูกเรียกว่า ฤดูอุปราคา (eclipse seasons) ในแต่ละฤดูอุปราคาจะมีอุปราคาเกิดขึ้นสองถึงสามครั้ง ในระหว่างฤดูอุปราคา ของวงโคจรดวงจันทร์จะต่ำ ดังนั้น ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโลกจะสามารถเรียงตัวเป็นเส้นตรงได้พอดี จึงทำให้เกิดอุปราคาขึ้นได้

ค่าตัวเลข

ข้อมูลด้านล่างเหล่านี้คือความยาวของเดือนประเภทต่าง ๆ ที่ได้กล่าวไปแล้วในข้างต้น (ตามปฏิทินดาราศาสตร์ของจันทรา ELP2000-85 สำหรับสมัย J2000.0 จาก ("เช่น") Meeus (1991)) ได้แก่

เดือนไซนอดิก (Synodic month หรือ SM) = 29.530588853 วัน

เดือนดราโคนิก (Draconic month หรือ DM) = 27.212220817 วัน

เดือนอะนอมาลิสติก (Anomalistic month หรือ AM) = 27.55454988 วัน

ปีอุปราคา (Eclipse year หรือ EY) = 346.620076 วัน

จุดที่ขยับหลักนั้นมีสามจุด ได้แก่ ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโหนด (ขึ้น) และมีคาบหลักทั้งหมดสามคาบ โดยเมื่ออย่างใดอย่างหนึ่งจากทั้งสามจุดขยับสามารถเข้าคู่กันกับคาบหนึ่งได้ หรือกล่าวคือ เป็นเดือนไซนอดิกเมื่อดวงจันทร์กลับสู่ดวงอาทิตย์ เป็นเดือนดราโคนิกเมื่อดวงจันทร์กลับสู่โหนด และเป็นปีสุริยวิถีเมื่อดวงอาทิตย์กลับสู่โหนด ความสัมพันธ์แบบสองทางทั้งสามแบบนี้นั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน (เช่น ทั้งเดือนไซนอดิกและปีอุปราคาจะขึ้นกับการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์ หรือทั้งเดือนดราโคนิกและปีอุปราคาจะขึ้นกับการเคลื่อนที่ของโหนด) และแท้จริงแล้ว ปีอุปราคาสามารถอธิบายได้ว่าเป็น (beat period) ของเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิก (กล่าวคือ เป็นคาบของความแตกต่างระหว่างเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิก) ดังสูตร

{\mbox{EY}}={\frac {{\mbox{SM}}\times {\mbox{DM}}}{{\mbox{SM}}-{\mbox{DM}}}}

โดยสามารถพิสูจน์ได้จากการแทนค่าตัวเลขที่ให้ไว้ในข้างต้นนั้น

วงรอบอุปราคามีคาบหนึ่งที่มีเดือนไซนอดิกที่ใกล้จำนวนเต็มหรือเป็นจำนวนเต็มครึ่งหนึ่งของเดือนดราโคนิก หรือกล่าวคือ เป็นคาบหลังจากอุปราคา โดยที่ (จันทร์ดับหรือจันทร์เพ็ญ) นั้นเกิดขึ้นอีกครั้งใกล้กับบนสุริยวิถี และจึงเกิดอุปราคาขึ้นได้อีกครั้ง แต่อย่างไรก็ตาม เดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิกนั้นเปรียบเทียบกันไม่ได้ เพราะอัตราส่วนของเดือนทั้งสองนั้นไม่ใช่จำนวนเต็ม เราจึงจำเป็นต้องประมาณอัตราส่วนนี้โดยใช้(เศษส่วนสามัญ) กล่าวคือ ตั้งตัวเศษและตัวส่วนขึ้น จากนั้นให้คูณทั้งสองคาบ นั่นคือ เดือนดราโคนิกและเดือนไซนอดิกเข้าไป โดยจะได้ที่ครอบคลุมระยะเวลาที่เท่ากัน (โดยประมาณ) ซึ่งแสดงถึงวงรอบอุปราคา

เศษส่วนเหล่านี้สามารถหาได้จากวิธีเศษส่วนต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ให้ชุดของค่าประมาณที่ดีขึ้นแบบก้าวหน้าของค่าจำนวนจริงใด ๆ จากเศษส่วนแท้

เนื่องจากอาจเกิดอุปราคาได้ทุกครึ่งเดือนดราโคนิก เราจึงจำเป็นต้องหาค่าประมาณของครึ่งเดือนดราโคนิกต่อเดือนไซนอดิก ดังนั้น เป้าหมายอัตราส่วนต่อการประมาณ คือ SM / (DM/2) = 29.530588853 / (27.212220817/2) = 2.17039168

การขยายของเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับอัตราส่วนนี้ คือ

2.170391682 = [2;5,1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]: ผลหาร Convergents half DM/SM ฐานสิบ ชื่อวงรอบ (ถ้ามี) 2; 2/1 = 2 5 11/5 = 2.2 1 13/6 = 2.166666667 เทอม (semester) 6 89/41 = 2.170731707 เฮปตอน (hepton) 1 102/47 = 2.170212766 อ็อกตอน (octon) 1 191/88 = 2.170454545 โซลคีเนกซ์ (tzolkinex) 1 293/135 = 2.170370370 ตริโตส (tritos) 1 484/223 = 2.170403587 แซรอส (saros) 1 777/358 = 2.170391061 อีเนกซ์ (inex) 11 9031/4161 = 2.170391732 เซเลบิต (selebit) 1 9808/4519 = 2.170391679 สแควร์เยียร์ (square year) ...

อัตราส่วนของเดือนไซนอดิกต่อครึ่งปีอุปราคาในชุดเดียวกัน คือ

5.868831091 = [5;1,6,1,1,1,1,1,11,1,...] ผลหาร Convergents SM/half EY ฐานสิบ SM/full EY ชื่อวงรอบ 5; 5/1 = 5 1 6/1 = 6 12/1 เทอม (semester) 6 41/7 = 5.857142857 เฮปตอน (hepton) 1 47/8 = 5.875 47/4 อ็อกตอน (octon) 1 88/15 = 5.866666667 โซลคีเนกซ์ (tzolkinex) 1 135/23 = 5.869565217 ตริโตส (tritos) 1 223/38 = 5.868421053 223/19 แซรอส (saros) 1 358/61 = 5.868852459 716/61 อีเนกซ์ (inex) 11 4161/709 = 5.868829337 1 4519/770 = 5.868831169 4519/385 ...

แต่ละรอบอุปราคาเหล่านี้ การผสานของข้อมูลเหล่านี้อาจทำให้วงรอบมีความแม่นยำน้อยลงได้

วงรอบอุปราคา

นี่คือตารางสรุปลักษณะของวงรอบอุปราคาแบบต่าง ๆ และสามารถคำนวณได้จากผลลัพธ์จากส่วนก่อนหน้าได้ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูที่ 'cf. Meeus (1997) Ch.9. และความเห็นด้านล่าง และวงรอบหลายแบบที่โดดเด่นในหน้าของผู้คำนวณ

วงรอบอุปราคาใด ๆ และช่วงเวลาระหว่างอุปราคาสองครั้งใด ๆ สามารถแสดงได้เป็นการรวมกันของช่วงแซรอส (s) และอีเนกซ์ (i) โดยรายการเหล่านี้อยู่ในคอลัมน์ "สูตร"

วงรอบ	สูตร	วัน สุริยคติ	เดือน ไซนอดิก	เดือน ดราโคนิก	เดือน อะนอมาลิสติก	ปี อุปราคา	ปี สุริยคติ	ฤดู อุปราคา	โหนด
รายปักษ์	19i − 30 1/2s	14.77	0.5	0.543	0.536	0.043	0.040	0.086	สลับกัน
	38i − 61s	29.53	1	1.085	1.072	0.085	0.081	0.17	เหมือนกัน
เพนตะลูเนกซ์	53s − 33i	147.65	5	5.426	5.359	0.426	0.404	0.852	สลับกัน
เทอม	5i − 8s	177.18	6	6.511	6.430	0.511	0.485	1	สลับกัน
ปีจันทรคติ	10i − 16s	354.37	12	13.022	12.861	1.022	0.970	2	เหมือนกัน
เฮปตอน	5s − 3i	1210.73	41	44.485	43.952	3.485	3.321	7	สลับกัน
อ็อกตอน	2i − 3s	1387.94	47	51.004	50.371	4.004	3.800	8	เหมือนกัน
โซลคีเนกซ์	2s − i	2598.69	88	95.497	94.311	7.497	7.115	15	สลับกัน
แซร์ (ครึ่งแซรอส)	1/2s	3292.66	111.5	120.999	119.496	9.499	9.015	19	เหมือนกัน
ตริโตส	i − s	3986.63	135	146.501	144.681	11.501	10.915	23	สลับกัน
แซรอส (s)	s	6585.32	223	241.999	238.992	18.999	18.030	38	เหมือนกัน
วัฏจักรเมตอน	10i − 15s	6939.69	235	255.021	251.853	20.021	19.000	40	เหมือนกัน
อีเนกซ์ (i)	i	10,571.95	358	388.500	383.674	30.500	28.945	61	สลับกัน
เอกซ์เซลิกมอส	3s	19,755.96	669	725.996	716.976	56.996	54.090	114	เหมือนกัน
	40i − 60s	27,758.75	940	1020.084	1007.411	80.084	76.001	160	เหมือนกัน
ไทรแอด	3i	31,715.85	1074	1165.500	1151.021	91.500	86.835	183	สลับกัน
	25i − 21s	126,007.02	4267	4630.531	4573.002	363.531	344.996	727	สลับกัน
บาบีโลเนียน	14i + 2s	161,177.95	5458	5922.999	5849.413	464.999	441.291	930	เหมือนกัน
เตตราเดีย (Meeus III)	22i − 4s	206,241.63	6984	7579.008	7484.849	595.008	564.671	1190	เหมือนกัน
เตตราเดีย (Meeus [I])	19i + 2s	214,037.70	7248	7865.500	7767.781	617.500	586.016	1235	สลับกัน

หมายเหตุ

รายปักษ์ (Fortnight): ครึ่งหนึ่งของเดือนไซนอดิก (29.53 วัน) เมื่อมีอุปราคาเกิดขึ้น โดยมีโอกาสพอสมควรที่ในถัดไปจะเกิดอุปราคาขึ้นอีกครั้ง ซึ่งดวงอาทิตย์และดวงจันทร์จะเคลื่อนไปประมาณ 15 องศาเมื่อเทียบกับโหนด (ดวงจันทร์อยู่ตรงกันข้ามกับครั้งก่อน) แต่ยังอยู่ในขอบเขตที่จะเกิดอุปราคาได้ ตัวอย่างเช่น จะตามด้วย และ; ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่
(Synodic month): ในทำนองเดียวกัน กล่าวคือ อุปราคาสองเหตุการณ์ห่างกันหนึ่งเดือนไซนอดิก โดยมีดวงอาทิตย์และดวงจันทร์อยู่ในตำแหน่งสองตำแหน่งในแต่ละด้านของโหนดห่างกัน 29 องศา โดยทั้งสองอุปราคาจะเป็นอุปราคาแบบบางส่วน ถ้าเป็นจันทรุปราคาจะเป็นแบบเงามัว
เพนตะลูเนกซ์ (Pentalunex): 5 เดือนไซนอดิก โดยสุริยุปราคาหรือจันทรุปราคาที่ต่อเนื่องกันอาจเกิดขึ้นห่างกัน 1, 5 หรือ 6 เดือนไซนอดิก
เทอม (Semester): ครึ่งปีจันทรคติ อุปราครจะเกิดขึ้นซ้ำห่างกันหนึ่งเทอมที่โหนดสลับกันในวงรอบที่กินเวลา 8 เหตุการณ์อุปราคา เนื่องจากมีความใกล้กับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มเดือนอะนอมาลิสติก เดือนดราโคนิก และปีสุริยคติ ดังนั้นแต่ละสุริยุปราคาจะเกิดสลับกันในซีกโลกทั้งสองในแต่ละเทอม ตลอดจนสลับกันระหว่างชนิดเต็มดวงและวงแหวน ดังนั้น อาจมีสุริยุปราคาเต็มดวงหรือวงแหวนได้สูงสุดหนึ่งครั้งในหนึ่งปี (สำหรับจันทรุปราคา อุปราคานั้นจะเกิดขึ้นซ้ำในหนึ่งเทอมที่โหนดสลับกันในวงรอบที่กินเวลา 8 เหตุการณ์อุปราคา เนื่องจากมีความใกล้กับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มเดือนอะนอมาลิสติก เดือนดราโคนิก และปีสุริยคติ ดังนั้นแต่ละจันทรุปราคาแต่ละครั้งจะเกิดขึ้นสลับกันระหว่างขอบของเงาของโลกในแต่ละเทอม ตลอดจนจุดใกล้และไกลที่สุดบนวงโคจรดวงจันทร์ด้วย ดังนั้นจึงมีจุดใกล้หรือจุดไกลที่สุดของดวงจันทร์ได้สูงสุดหนึ่งครั้งในหนึ่งปี)
ปีจันทรคติ (Lunar year): สิบสองเดือนไซนอดิก ซึ่งนานกว่าปีอุปราคาเล็กน้อย โดยดวงอาทิตย์จะกลับมายังโหนด จึงอาจเกิดอุปราคาชึ้นได้อีกครั้ง
เฮปตอน (Hepton): 7 ฤดูอุปราคาและหนึ่งวงรอบอุปราคาที่มีความโดดเด่นน้อย อุปราคาแต่ละครั้งในเฮปตอนจะตามมาด้วยอุปราคาหนึ่งครั้งจาก 3 ชุดแซรอสก่อนหน้า โดยจะเกิดสลับโหนดกันเสมอ สำหรับสุริยุปราคา (หรือจันทรุปราคา) จะตรงกับระยะ 41 เดือนไซนอดิก (1,211 วันสุริยคติ)
อ็อกตอน (Octon): 1/5 ของวัฏจักรเมตอน แต่ละอ็อกตอนในชุดจะห่างกัน 2 แซรอส โดยจะเกิดขึ้นที่โหนดเดียวกันเสมอ สำหรับสุริยุปราคา (หรือจันทรุปราคา) จะตรงกับระยะ 47 เดือนไซนอดิก (1,388 วันสุริยคติ)
โซลคีเนกซ์ (Tzolkinex): ประกอบด้วยครึ่งเดือนดราโคนิก จึงเกิดอุปราคาขึ้นที่โหนดสลับและสลับซีกโลกที่เกิดด้วย แต่ละอุปราคาที่เกิดต่อเนื่องกันนั้นจะเป็นสมาชิกของชุดแซรอสก่อนหน้าจากครั้งก่อน โดยมีค่าเท่ากับสิบ และทุกสามโซลคีเนกซ์ในชุดอุปราคานั้นเดือนอะนอมาลิสติกจะเข้าใกล้จำนวนเต็ม และจึงจะทำให้มีลักษณะที่คล้ายกันอีกครั้ง
แซร์ (ครึ่งแซรอส) (Sar): ประกอบด้วยรายปักษ์ที่เป็นเลขคี่ (223) เป็นผลให้อุปราคาเกิดขึ้นสลับกันระหว่างสุริยุปราคาและจันทรุปราคาในแต่ละวงรอบ โดยเกิดขึ้นที่โหนดเดียวกันและมีลักษณะคล้ายกัน สุริยุปราคาที่มีแกมมาเล็กจะตามด้วยจันทรุปราคาเต็มดวงที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางเงาโลกมาก ส่วนสุริยุปราคาที่เงามัวของดวงจันทร์แตะขอบด้านใต้ของโลกเพียงเล็กน้อย จะตามด้วยครึ่งแซรอสหลังซึ่งเป็นจันทรุปราคาที่ดวงจันทร์เฉียดด้านใต้ของเงามัวของโลก
ตริโตส (Tritos): วัฏจักรเมดิโอเคอร์ สัมพันธ์กับแซรอส เช่น อีเนกซ์ โดยสามตริโตสจะใกล้เคียงกับจำนวนเต็มของเดือนอะนอมาลิสติก ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติที่คล้ายกัน
แซรอส (Saros): วงรอบอุปราคาที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดและเป็นหนึ่งในวงรอบที่ดีที่สุดในการใช้ทำนายอุปราคา โดย 223 เดือนไซนอดิกจะเท่ากับ 242 เดือนดราโคนิกมีความคลาดเคลื่อนเพียง 51 นาที นอกจากนี้ยังใกล้กับ 239 เดือนอะนอมาลิสติก ซึ่งทำให้พฤติการณ์ระหว่างอุปราคาสองครั้งที่ต่างกันหนึ่งแซรอสนั้นคล้ายกันอย่างมาก
วัฏจักรเมตอน (Metonic cycle) หรือ เอนเนียดเคเทอริส (enneadecaeteris): เท่ากับ 19 ปีสุริยคติ หรืออาจนับเป็น 5 คาบ"อ็อกตอน" ซึ่งใกล้กับ 20 ปีอุปราคาด้วย จึงทำให้เกิดอุปราคาเป็นชุดสั้น ๆ ในวันบนปฏิทินเดียวกัน ประกอบด้วย 110 เดือนว่าง (hollow) และ 125 เดือนเต็ม (full) หรือราว 6,940 วัน และเท่ากับ 235 เดือนจันทรคคิ (235 เดือนไซนอดิก) โดยคลาดเคลื่อนไปประมาณ 7.5 ชั่วโมงเท่านั้น
อีเนกซ์ (Inex): เป็นวงรอบที่สะดวกในการนำมาใช้จำแนกวงรอบอุปราคา ชุดอีเนกซ์นั้นหลังจากเกิดขึ้นแล้วจะดำเนินไปเป็นระยะเวลาหลายพันปี มีอุปราคาเกิดขึ้นทุก 29 ปีหรือมากกว่านั้น หนึ่งอีเนกซ์หลังจากอุปราคาแล้ว อุปราคาอีกชุดจะเกิดขึ้นที่เกือบลองจิจูดเดียวกัน แต่จะอยู่ในละติจูดตรงข้าม
เอกซ์เซลิกมอส (Exeligmos): สามชุดแซรอส มีข้อได้เปรียบคือจำนวนวันนั้นเกือบเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นอุปราคาครั้งถัดไปจะสามารถมองเห็นได้ในตำแหน่งใกลักับอุปราคาที่เกิดขึ้นในเอกซ์เซลิกมอสก่อนหน้า ซึ่งตรงกันข้ามกับแซรอส โดยอุปราคาจะเกิดขึ้นอีกในประมาณ 8 ชั่วโมงต่อมาหรือประมาณ 120 องศาไปทางตะวันตกของอุปราคาที่เกิดขึ้นก่อนหน้า
วัฏจักรแคลลิปปิก (Callippic cycle): 441 เดือนว่างและ 499 เดือนเต็ม หรือเท่ากับ 4 วัฏจักรเมตอนลบหนึ่งวันหรือ 76 ปีของ 365 1/4 วันอย่างแม่นยำ โดยเท่ากับ 940 เดือนจันทรคติและคลาดเคลื่อนเพียง 5.9 ชั่วโมงเท่านั้น
ไทรแอด (Triad): สามอีเนกซ์ มีข้อดีตรงที่มีจำนวนเดือนอะนอมาลิสติกเกือบเป็นจำนวนเต็ม ทำให้พฤติการณ์ระหว่างอุปราคาสองครั้งที่ห่างกันหนึ่งไทรแอดนั้นคล้ายมาก แต่จะเกิดในละติจูดตรงข้ามกัน โดยมีระยะเกือบเท่า 87 ปีปฏิทินลบ 2 เดือน ไทรแอดหมายความว่าทุกสามชุดแซรอสนั้นจะมีความคล้ายคลึงกัน (ส่วนใหญ่จะเป็นสุริยุปราคาเต็มดวงหรือวงแหวนโดยดวงจันทร์บังที่กลางดวงอาทิตย์พอดี เป็นต้น) เช่น แซรอสที่ 130 133 136 139 142 และ 145 เป็นต้น ซึ่งทั้งหมดนี้จะมีอุปราคาที่ส่วนใหญ่แล้วดวงจันทร์บังที่กลางดวงอาทิตย์พอดี
วัฏจักรฮิปพาคิก (Hipparchic cycle): สร้างขึ้นโดยฮิปปาร์คอสเพื่อให้ตรงกับจำนวนเต็มของเดือน ปี (345) และวันไซนอดิกและอะนอมาลิสติก โดยการเทียบเปรียบเทียบการสังเกตสุริยุปราคาของตัวเขาเองกับการบันทึกของชาวบาบิโลนเมื่อ 345 ปีก่อน
บาบีโลเนียน (Babylonian): สัดส่วน 5923 ต่อละติจูดใน 5,458 เดือนที่ชาวแคลเดียใข้ในการคำนวณทางดาราศาสตร์
เตตราเดีย (Tetradia): บางครั้งจันทรุปราคาเต็มดวง 4 ครั้งจะเกิดขึ้นติดต่อกัน โดยมีช่วง 6 เดือนจันทรคติ (เทอม) และลักษณะนี้เรียกว่า สังเกตพบว่ามีหลายยุคที่เกิดเตตระขึ้นได้บ่อยและถูกขัดด้วยยุคที่พบได้ยาก การแปรผันนี้ใข้เวลาประมาณ 6 ศตวรรษ (1951) เสนอคำอธิบายปรากฏการณ์นี้และพบว่ามีระยะเวลา 591 ปี วอน เดน เบิร์จ (1954) จาก Canon der Finsternisse ของ พบว่ามีคาบ 586 ปี

อ้างอิง

อย่างไรก็ตาม หากกล่าวให้ถูกต้องควรเป็นคาบ (periods) มิใช่วงรอบหรือวัฏจักร (cycles)
NASA Periodicity of solar eclipses
van Gent, Robert Harry (8 September 2003). "A Catalogue of Eclipse Cycles".
Solar Eclipses: 2011–2020
Littmann, Mark; Fred Espenak; Ken Willcox (2008). Totality: Eclipses of the Sun. Oxford University Press. ISBN .
Periodicity of Lunar and Solar Eclipses, Fred Espenak
Five Millennium Catalog of Lunar and Solar Eclipses: -1999 to +3000, Fred Espenak and Jean Meeus
Meeus (1991) form. 47.1
Meeus (1991) ch. 49 p.334
Meeus (1991) form. 48.1
2.170391682 = 2 + 0.170391682 ; 1/0.170391682 = 5 + 0.868831085... ; 1/0.868831085... = 1 +5097171...6237575... ; ฯลฯ ; ประเมินเศษส่วนต่อเนื่องขั้นที่ 4 ได้ 1/6 + 1 = 7/6; 6/7 + 5 = 41/7 ; 7/41 + 2 = 89/41
A Catalogue of Eclipse Cycles, Robert Harry van Gent
A Catalogue of Eclipse Cycles, Robert Harry van Gent

S. Newcomb (1882): On the recurrence of solar eclipses. Astron.Pap.Am.Eph. vol. I pt. I . Bureau of Navigation, Navy Dept., Washington 1882
J.N. Stockwell (1901): Eclips-cycles. Astron.J. 504 [vol.xx1(24)], 14-Aug-1901
A.C.D. Crommelin (1901): The 29-year eclipse cycle. Observatory xxiv nr.310, 379, Oct-1901
A. Pannekoek (1951): Periodicities in Lunar Eclipses. Proc. Kon. Ned. Acad. Wetensch. Ser.B vol.54 pp. 30..41 (1951)
G. van den Bergh (1954): Eclipses in the second millennium B.C. Tjeenk Willink & Zn NV, Haarlem 1954
G. van den Bergh (1955): Periodicity and Variation of Solar (and Lunar) Eclipses, 2 vols. Tjeenk Willink & Zn NV, Haarlem 1955
Jean Meeus (1991): Astronomical Algorithms (1st ed.). Willmann-Bell, Richmond VA 1991; ISBN
Jean Meeus (1997): Mathematical Astronomy Morsels [I], Ch.9 Solar Eclipses: Some Periodicities (pp. 49..55). Willmann-Bell, Richmond VA 1997; ISBN
Jean Meeus (2004): Mathematical Astronomy Morsels III, Ch.21 Lunar Tetrads (pp. 123..140). Willmann-Bell, Richmond VA 2004; ISBN

[1] อย่างไรก็ตาม หากกล่าวให้ถูกต้องควรเป็นคาบ (periods) มิใช่วงรอบหรือวัฏจักร (cycles)

[PSE-2] NASA Periodicity of solar eclipses

[saros1-3] van Gent, Robert Harry (8 September 2003). "A Catalogue of Eclipse Cycles".

[4] Solar Eclipses: 2011–2020

[totality-5] Littmann, Mark; Fred Espenak; Ken Willcox (2008). Totality: Eclipses of the Sun. Oxford University Press. ISBN .

[6] Periodicity of Lunar and Solar Eclipses, Fred Espenak

[7] Five Millennium Catalog of Lunar and Solar Eclipses: -1999 to +3000, Fred Espenak and Jean Meeus

[8] Meeus (1991) form. 47.1

[9] Meeus (1991) ch. 49 p.334

[10] Meeus (1991) form. 48.1

[11] 2.170391682 = 2 + 0.170391682 ; 1/0.170391682 = 5 + 0.868831085... ; 1/0.868831085... = 1 +5097171...6237575... ; ฯลฯ ; ประเมินเศษส่วนต่อเนื่องขั้นที่ 4 ได้ 1/6 + 1 = 7/6; 6/7 + 5 = 41/7 ; 7/41 + 2 = 89/41

[12] A Catalogue of Eclipse Cycles, Robert Harry van Gent

[13] A Catalogue of Eclipse Cycles, Robert Harry van Gent