ทฤษฎีการวัด

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนา (mathematical probability) (หรือ) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ กามีย์ ฌอร์ด็อง และ

นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

นิยามอย่างเป็นทางการ

ให้ ${\displaystyle X}$ เป็นเซต และ ${\displaystyle \Sigma }$ เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต ${\displaystyle X}$ นั้น จะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle \mu }$ ที่ส่งค่าจาก ${\displaystyle \Sigma }$ ไปยังเรนจ์ที่เป็น ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$
2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์: ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
3. ${\displaystyle \mu }$ มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามี (σ-additivity): ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle \left\{E_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ เป็นของ ใน ${\displaystyle \Sigma }$ แล้ว
   $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$$

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน ${\displaystyle \Sigma }$ จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ เท่านั้น

ปริภูมิความน่าจะเป็น

(Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ ${\textstyle \mu (X)=1}$ ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)}$ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก ${\displaystyle X}$ มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ ${\displaystyle \mu }$ แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้

ให้ ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ และ ${\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})}$ เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อของเซตหาเมเชอร์ได้ใน ${\displaystyle Y}$ เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน ${\displaystyle X}$ ด้วย หรือก็คือ ${\displaystyle f^{-1}(A)\in \Sigma _{X}}$ สำหรับทุกเซต ${\displaystyle A\in \Sigma _{Y}}$

สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

ให้ ${\displaystyle \mu }$ เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว

${\displaystyle \mu }$ มีสมบัติเป็น: กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1}}$ และ ${\displaystyle E_{2}}$ เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน ${\displaystyle \Sigma }$ จะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน ${\displaystyle \Sigma }$ ด้วย และ

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$ เป็นเซตใน ${\displaystyle \Sigma }$ และ ${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$, แล้วจะได้ว่า ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ อยู่ใน ${\displaystyle \Sigma }$ ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (${\displaystyle \mu (E_{n})<\infty }$) เราจะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$ ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ สำหรับแต่ละ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ ${\displaystyle E_{n}}$ มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์

• นิยามให้ ${\displaystyle \mu (S)}$ เท่ากับจำนวนสมาชิกใน ${\displaystyle S}$
• หรือ เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
• คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง

สมบัติเพิ่มเติม

เมเชอร์ซิกมาจำกัด

ปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mu (X)}$ เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า ${\displaystyle \mu }$ เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น ${\textstyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu }$

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง ${\displaystyle X}$ ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก ${\displaystyle \mu }$ ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ออกเป็นช่วงย่อย ${\displaystyle [k,k+1)}$ ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม ${\displaystyle k}$ ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับของ

เมเชอร์บริบูรณ์

ในปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ เซต ${\displaystyle N\subseteq X}$ จะเป็น (null set) ก็เมื่อ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต ${\displaystyle M\subseteq N}$ ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว ${\displaystyle \mu (M)=0}$ โดยอัตโนมัติ จะเรียก ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ

เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในและ

ดูเพิ่ม

• เมเชอร์ภายนอก
• เมเชอร์ผลคูณ

อ้างอิง

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
• D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm 2007-02-06 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.