เมเชอร์ผลคูณ

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างจากสองนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ และ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2},\mu _{1}\times \mu _{2})}$ ดังนี้

1. ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ ${\displaystyle X_{1}}$ และ ${\displaystyle X_{2}}$
2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: ${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}}$ คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ เป็นสมาชิก โดย ${\displaystyle A_{1}\in \Sigma _{1}}$ และ ${\displaystyle A_{2}\in \Sigma _{2}}$.
3. เมเชอร์ผลคูณ: ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$ เมื่อ

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}.}$

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิด เราจะได้ว่า ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1},}$

สำหรับทุก ๆ E โดย E_x = {y∈X₂| (x,y) ∈E}, และ E^y = {x∈X₁| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.