การแปลงลาปลาซ

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลัส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป ${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$ การแปลงลาปลัสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลัสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลัสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลัสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลัส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลัสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลัสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$

${\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}}$

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลัสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลัสด้านเดียว

	โดเมนเวลา	โดเมน 's'	หมายเหตุ
(ภาวะเชิงเส้น) (Linearity)	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
(Frequency differentiation)	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	${\displaystyle F'\,}$ เป็นอนุพันธ์อันดับแรกของ ${\displaystyle F\,}$.
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	รูปแบบทั่วไปของอนุพันธ์อันดับ n^th ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation)	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0)\ }$	สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์ได้ (differentiable function)
อนุพันธ์อันดับสอง (Differentiation)	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธ์อันดับสอง
อนุพันธ์อันดับใดๆ (Differentiation)	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\ }$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธ์อันดับ n ใดๆ
(Frequency integration)	${\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$
ปริพันธ์ Integration	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)}$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ ${\displaystyle (u*f)(t)}$ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ ${\displaystyle u(t)}$ และ ${\displaystyle f(t)}$
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)}$
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting)	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	${\displaystyle u(t)}$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication)	${\displaystyle f(t)g(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง ${\displaystyle Re(\sigma )=c}$ ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
(Convolution)	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)	${\displaystyle f(t)\star g(t)}$	${\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)}$
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function)	${\displaystyle f(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	${\displaystyle f(t)}$ เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ ${\displaystyle T}$ กล่าวคือ ${\displaystyle f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0}$ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ

• อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลัสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาส, การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง

• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN .
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN .