ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจากวิกิพีเดียภาษาไทยยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด |
การแปลงฟูรีเย (อังกฤษ: Fourier transform) ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย หมายถึงการแปลงเชิงปริพันธ์ โดยเป็นการเขียนแทนฟังก์ชันใดๆ ในรูปผลบวก หรือปริพันธ์ ของฐาน ที่เป็นฟังก์ชันรูปคลื่น ไซน์หรือ โคไซน์
รูปแบบต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย
การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง
โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูรีเย" จะใช้หมายถึง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน f (t) ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน F (ω) ;
ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียน F (ω) ในรูปของ f (t) คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก คู่ของการแปลง (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ (fractional Fourier transform) ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใดๆ
เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ และ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ f (t) เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ F (−ω) = F (ω) *
อนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) f (x) (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:
ซึ่ง เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:
โดย an และ bn เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง
สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ (discrete Fourier transform-DFT) ซึ่งเขียนแทน ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ
โดยที่ คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O (N2) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O (N log N) โดยการใช้ขั้นตอนวิธี (fast Fourier transform-FFT)
รูปแบบอื่น ๆ
DFT เป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของ (discrete-time Fourier transform-DTFT) ซึ่ง เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบ DTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับ อนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเย สามารถขยายความการแปลงบน ใดๆ ที่ (locally compact abelian topological group) เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อใน (harmonic analysis) ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของ (en:convolution theorem) ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูรีเย และ ดู (en:Pontryagin duality) สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูรีเย
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ.จุดเวลาใดๆ คือ (Time-frequency transform) เช่น การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น (short-time Fourier transform) (wavelet transform) (chirplet transform) และ (fractional Fourier transform) เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อมๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดย (uncertainty principle)
การแปลงในตระกูลการแปลงฟูรีเย
ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูรีเย จะสังเกตเห็นว่าความต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความเป็นคาบหรือความไม่เป็นคาบในอีกโดเมนหนึ่ง นอกจากนั้นแล้วการมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความสมมาตรในอีกโดเมน
การแปลง | เวลา | ความถี่ |
---|---|---|
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง | ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ | ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ |
อนุกรมฟูรีเย | ต่อเนื่อง, เป็นคาบ | ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ |
ไม่ต่อเนื่อง, ไม่เป็นคาบ | ต่อเนื่อง, เป็นคาบ | |
ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ | ไม่ต่อเนื่อง, เป็นคาบ |
ประวัติศาสตร์ การพัฒนา อุปสรรค และความขัดแย้ง
หมายเหตุ : เนื้อหาส่วนใหญ่ในส่วนนี้ถือตาม ซึ่งมีการอ้างอิงถึงเอกสารดั้งเดิมอย่างละเอียด และเนื้อหาอาจมีความแตกต่างจากแหล่งอื่น
อนุกรมฟูรีเย และบทความปี ค.ศ. 1807
ทฤษฎีการแปลงฟูรีเย มีจุดเริ่มต้นจากบทความของ ฟูรีเย ที่เขียนในปี ค.ศ. 1807 (ถูกปฏิเสธ) กับ ค.ศ. 1811 (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826) และ หนังสือ ทฤษฎีการวิเคราะห์ความร้อน ในปีค.ศ. 1822
เริ่มต้นจาก ฟูรีเย ได้ส่งบทความวิชาการของเขาในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 ซึ่งในขณะนั้น เป็นเลขาธิการถาวร ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ และ คณิตศาสตร์ เดอลอมเบรอมอบหมายให้ลากรองจ์ ลาปลาส และ เป็นกรรมการตรวจสอบบทความ โดยที่มงจ์ให้การสนับสนุน ส่วนลาปลาสและลาครัวซ์ก็ให้ความเห็นชอบ แต่ลากรองจ์ไม่ยอมรับแนวความคิดของฟูรีเย เป็นผลให้บทความของฟูรีเยนั้นถูกปฏิเสธรับเพื่อตีพิมพ์ มีเพียงแต่บทวิจารณ์ในงานของฟูรีเยโดย เท่านั้นที่ตีพิมพ์ออกเผยแพร่ ซึ่งบทวิจารณ์ของปัวซงก็ไม่ได้ให้ความสำคัญกับแนวความคิดของฟูรีเยแต่อย่างใด
หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ฟูรีเยนั้นเคยเรียนกับ ลากรองจ์ ลาปลาส และมงจ์ ที่ เอกอล นอร์มาล (วิทยาลัยครู) ในปี ค.ศ. 1795 ซึ่งเปิดสอนได้ไม่กี่เดือนก็ต้องปิดไป ฟูรีเยย้ายไปที่ เอกอล โปลีเทคนีค (วิทยาลัยโปลีเทคนิค) ซึ่งมงจ์เป็นผู้อำนวยการ แต่ไม่สามารถเข้าเป็นนักเรียนได้เนื่องจากมีอายุมากกว่าเกณฑ์คือ 20 ปี มงจ์จึงช่วยเหลือให้ฟูรีเยได้เป็นผู้ช่วยสอน
อุปสรรคจากลากรองจ์
เหตุผลในการตอบปฏิเสธบทความของฟูรีเย นั้นมีหลายจุด แต่หลักๆ นั้นไม่เห็นด้วยกับ อนุกรมฟูรีเย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการลู่เข้า ของอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ หลังจากนั้นฟูรีเยได้ส่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติการลู่เข้าไปหาลากรองจ์ และ ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1809 ได้ส่งเอกสารเพิ่มเติม เกี่ยวกับข้อกังขาต่างๆของกรรมการที่มีต่อบทความในปีค.ศ. 1807 ไปยัง สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส แต่บทความปีค.ศ. 1807 ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์
เบิร์นฮาร์ด รีมันน์ ได้กล่าวว่า เมื่อฟูรีเย ได้นำเสนอแนวความคิดของเขาในบทความ ปี ค.ศ. 1807 นั้น ผลลัพธ์เป็นที่น่าประหลาดใจมาก จนลากรองจ์ได้แสดงความเห็นว่าเป็นไปไม่ได้อย่างเด็ดขาด
เหตุผลที่ลากรองจ์ ไม่เห็นด้วยกับบทความของฟูรีเย นั้นสามารถสืบย้อนกลับไปถึงปัญหาการสั่นของเชือก (wave equation) ดูบทความหลัก
ซึ่งผู้ที่ทำการศึกษาและหาคำตอบทั่วไปในยุคแรกๆ คือ ออยเลอร์ และ ดานีเอล แบร์นูลี
ในปี ค.ศ. 1747 ได้เสนอคำตอบในรูปฟังก์ชันนอล และพิจารณาเงื่อนไขขอบ ถึงแม้ว่าฟังก์ชันในรูปที่ พิจารณานั้นมีรูปแบบทั่วไป แต่เขาก็ยึดติดกับรูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มีอนุพันธ์ ในปีถัดมา ค.ศ. 1748 ออยเลอร์ ได้ยกปัญหาของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ เสนอแนวความคิดของการกำหนดฟังก์ชัน บนโดเมนที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ
การใช้อนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นรูปแบบคำตอบสมการคลื่น นั้นถูกนำเสนอเป็นครั้งแรกโดย ดานีเอล แบร์นูลี ในปี ค.ศ. 1753 ในรูป
แนวความคิดของดานีเอล แบร์นูลี ไม่ได้มาจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่มาจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เห็นได้ชัด ของการซ้อนทับกันของการสั่นที่หลายความถี่
ในปีค.ศ. 1754 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตั้งข้อโต้แย้งกับแนวความคิดการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าวของแบร์นูลี โดยได้บ่งชี้ถึงงานของเขา ในปี ค.ศ. 1748 ซึ่งได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่าง ออยเลอร์ได้ให้เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวความคิดของการใช้ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนฟังก์ชันใดๆ ไว้ว่า ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์จำนวนนับไม่ถ้วน ในอนุกรมจะให้ความยืดหยุ่น ในการใช้อนุกรมแทนฟังก์ชันทั่วไป แต่เนื่องจากคุณสมบัติ ความเป็นคาบ และ ความเป็นฟังก์ชันคี่ ของไซน์ นั้นทำให้การใช้อนุกรมนี้แทนฟังก์ชันใดๆ ที่ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวนั้นเป็นไปไม่ได้
ในปีค.ศ. 1859 ลากรองจ์ ได้เขียนบทความเกี่ยวกับปัญหาการสั่นของเชือกนี้ ลากรองจ์ยอมรับในหลักการทั่วไป และ รูปแบบคำตอบของออยเลอร์ แต่ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการทำให้ได้มาซึ่งคำตอบ จากมุมมองที่แตกต่างจากออยเลอร์ ลากรองจ์ได้เสนอแบบจำลองวัตถุ n ชิ้น (n-body model) และหาคำตอบที่จำนวนวัตถุ n มีค่าเข้าสู่ อินฟินิตี้ ได้คำตอบในรูป
โดยที่ Y (x) คือ ตำแหน่งเริ่มต้นของเชือก และ V (x) คือความเร็วเริ่มต้น
สังเกตว่า สมการของลากรองจ์นี้ หากแทนค่า เวลา t = 0 จะได้อนุกรมฟูรีเย ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุกรมฟูรีเยจากสมการของลากรองจ์ได้ แต่จุดประสงค์ของสมการนี้ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะนำไปสู่แนวความคิดนั้น โดยได้มีการตั้งข้อสังเกตการสลับตำแหน่งของ และ Σ โดยลากรองจ์นั้นสลับเอา Σไว้ภายในอินทิเกรต ซึ่งหากสมการอยู่ในรูปที่ขึ้นต้นด้วย ผลบวกจะทำให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ ซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เห็นด้วยถึงหลักการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนั้นแล้วยังมีข้อบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของลากรองจ์ในการหาคำตอบข้างต้น ซึ่งรูปคำตอบนั้นเป็นไปในแนวความคิดเดียวกับออยเลอร์ ผู้ซึ่งได้แสดงความไม่เห็นด้วยกับแนวความคิดของ ในการใช้อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยเหตุผลของ ความเป็นคาบ และความเป็นฟังก์ชันคี่ดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความไม่เห็นด้วยของลากรองจ์ต่อแนวความคิดของฟูรีเย ก็อาจจะมาจากพื้นฐานเดียวกัน
การแปลงฟูรีเย และ บทความปี ค.ศ. 1811
ต่อมาสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ได้ตั้งปัญหารางวัลกรังปรีซ์คณิตศาสตร์สำหรับปีค.ศ. 1812 ในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ซึ่งฟูรีเยได้ส่งบทความ บันทึกเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อน ซึ่งเป็นบทความที่พัฒนาจากบทความปีค.ศ. 1807 ของเขา เข้าชิงรางวัลในปลายปีค.ศ. 1811 โดยมี ลากรองจ์ ลาปลัส และ เป็นกรรมการตรวจสอบ ถึงแม้ว่าบทความของฟูรีเยจะชนะรางวัล แต่บทความของเขาก็โดนวิพากษ์วิจารณ์ ถึงวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์และพิสูจน์ และถูกเก็บดองไว้ไม่ได้ตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ในขณะนั้น
หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) ในวัยเยาว์ ฟูรีเยได้เข้าเรียนที่โรงเรียนการทหารในเมืองของเขา โดยมี เป็นผู้อำนวยการโรงเรียน (ผู้ตรวจสอบ) ต่อมาเขาได้สมัครเข้าเรียนต่อที่โรงเรียนการวิศวกรรม และ ปีนใหญ่ โดยได้รับการสนับสนุนจาก แต่เขาถูกตอบปฏิเสธการรับเข้า
บทความของฟูรีเยในปีค.ศ. 1811 นั้นได้ขยายความจากอนุกรมอนันต์ ออกไปครอบคลุมถึงรูปปริพันธ์ ดูบทความหลัก การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ถึงแม้ว่าจะไม่มีข้อมูลเด่นชัดถึงแรงบันดาลใจที่ฟูรีเยขยายความจากอนุกรมไปสู่รูปปริพันธ์ได้อย่างไร ได้มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลมาจากลาปลัส เนื่องจากในช่วงปีค.ศ. 1809 นั้นฟูรีเยได้มีการติดต่อกับลาปลัส ในเรื่องของปัญหาการแพร่ความร้อนที่เขาทำการศึกษา ซึ่งต่อมาลาปลัสได้นำเสนอคำตอบซึ่งอยู่ในรูปปริพันธ์ ถึงแม้ว่าจะมีแนวความคิดที่แตกต่างจากของฟูรีเย แต่ก็อาจจะเป็นจุดบันดาลใจให้ฟูรีเยได้คิด
ในปี ค.ศ. 1817 ได้ตีพิมพ์บทความ ซึ่งมีการแปลงรูปปริพันธ์ของฟูรีเย ในบทความนั้น ได้กล่าวว่าเขาได้ค้นพบรูปคำตอบใหม่ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ ฟูรีเยได้ทำการทักท้วง ซึ่งส่งผลให้ในบทความถัดมาของ ในปีค.ศ. 1818 มีข้อความแสดงการยอมรับถึงการค้นพบก่อนหน้าเขาโดยฟูรีเย มีการตั้งข้อสังเกตว่า เนื่องจากในปีค.ศ. 1816 นั้น ได้รับตำแหน่งที่ว่างลงใน ราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ ทำให้เขาอยู่ในตำแหน่งที่สามารถอ่านบทความในปีค.ศ. 1811 ของฟูรีเยซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ได้ นอกจากนั้นในปีเดียวกันคือค.ศ. 1816 ฟูรีเยได้พิมพ์บทคัดย่อของหนังสือที่เขาจะเขียนออกในปีค.ศ. 1822 ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้มากที่ ได้อ่านบทความของฟูรีเยมาแล้ว
หลังจากที่ ลากรองจ์เสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1813 เมื่อได้เสียชีวิตในปีค.ศ. 1824 ฟูรีเยได้รับเลือกให้ขึ้นดำรงตำแหน่งเลขาธิการถาวร ด้วยความคาใจฟูรีเยจึงได้ตีพิมพ์บทความในปีค.ศ. 1811 ของเขาซึ่งยังไม่ได้รับการตึพิมพ์ ในลักษณะดั้งเดิมโดยไม่มีการแก้ไข โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตีพิมพ์ใน บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์แห่งสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส ในปีค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826
หลังจากนั้นในปีค.ศ. 1829 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้แสดงบทพิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นที่รู้จักกว้างขวางในปัจจุบัน
ข้อโต้แย้งต่าง ๆ
- สมการของลากรองจ์: นักคณิตศาสตร์บางคน ได้แสดงความเห็นว่า ควรจะถือว่าลากรองจ์นั้นเป็นผู้ค้นพบแรกเนื่องจาก อนุกรมของฟูรีเย นั้นสามารถหาได้จากสมการของลากรองจ์ ดังแสดงข้างต้น
- วิธีการหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติ : ฟูรีเยนั้นไม่ได้เป็นคนแรกที่คิดค้นวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ ของอนุกรมฟังก์ชันตริโกณมิติ บทความซึ่งเขียนโดย ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1777 (ตีพิมพ์ ค.ศ. 1793) เขาได้ใช้วิธีในการหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวที่ n ของอนุกรม
- โดยวิธีคูณด้วย และอินทิเกรตทีละเทอม จาก 0 ถึง π ได้
ถึงแม้ว่าทั้งสองจะได้นำเสนอรูปสมการที่เหมือน หรือ สามารถปรับให้เหมือนอนุกรมฟูรีเย ได้ แต่วิธีของทั้ง ลากรองจ์ และ ออยเลอร์ นั้นไม่ได้นำไปสู่ แนวความคิดของการแทนฟังก์ชันใดๆ ด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังได้แสดงความคิดเห็นที่คัดค้านต่อแนวความคิดดังกล่าว สมการของลากรองจ์นั้นมีจุดประสงค์เพียงต้องการใช้ยืนยันผลคำตอบตามแนวความคิดของออยเลอร์ ส่วนวิธีการข้างต้นของออยเลอร์นั้นนำเสนอเพื่อใช้กับ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้แน่นอน ไม่ได้ใช้สำหรับการแทนฟังก์ชันทั่วไป ดังนั้นจึงตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ฟูรีเย ผู้ซึ่งให้กำเนิดแนวความคิด
- คุณสมบัติการลู่เข้า : โดยทั่วไปเรารับรู้ว่า ดีริชเลต์ เป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย อย่างแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ในปีค.ศ. 1829 จึงอาจถือว่า เขาเป็นบุคคลแรกที่ยืนยันความถูกต้องของแนวความคิดของฟูรีเย
(Jean Gaston Darboux) ในการรวบรวมผลงานของฟูรีเย ในปีค.ศ. 1888 เขาได้พบต้นฉบับบทความของฟูรีเยปีค.ศ. 1807 ซึ่งสาบสูญไปหลังจากที่ฟูรีเยเสียชีวิตลงในปีค.ศ. 1830 ที่ห้องสมุดของ École Nationale des Ponts et Chaussées ในกรุงปารีส ซึ่งดาบูซ์ได้ชี้ว่าในบทความนั้น ฟูรีเยได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม และวิธีการที่ฟูรีเยใช้จริงๆแล้วก็ไม่แตกต่างจากที่ ใช้ในการพิสูจน์ต่อมาในภายหลัง
อ้างอิง
- Ivor Grattan-Guinness, Joseph Fourier, 1768-1830 : A Survey of His Life and Work, The MIT Press (April 15, 1972)
- H.S. Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, 2nd, Macmillan and Co. (1921)
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisud karaeplngfuriey xngkvs Fourier transform tngchuxtam ochaesf furiey hmaythungkaraeplngechingpriphnth odyepnkarekhiynaethnfngkchnid inrupphlbwk hruxpriphnth khxngthan thiepnfngkchnrupkhlun isnhrux okhisnrupaebbtang thiekiywkhxngkbkaraeplngfurieykaraeplngfurieyaebbtxenuxng odypktiaelwkha karaeplngfuriey caichhmaythung karaeplngfurieytxenuxng sungepnkarekhiynaethn fngkchn f t thisamarthhapriphnthkhxngkalngsxngid dwyphlbwkkhxng fngkchn exksopennechiylechingsxn sungmi khwamthiechingmum w aela khnad hrux aexmplicud epncanwnechingsxn F w f t F 1 F t 12p F w eiwtdw displaystyle f t mathcal F 1 F t frac 1 sqrt 2 pi int limits infty infty F omega e i omega t d omega khwamsmphnthdanbnkhux karaeplngklbkhxng karaeplngfurieyaebbtxenuxng Inverse Fourier transform swnkaraeplngfurieynnpkticaekhiyn F w inrupkhxng f t khukhxng fngkchndngedim aela phlkhxngkaraeplngkhxngfngkchnnn bangkhrngkeriyk khukhxngkaraeplng transform pair dukhxmulephimetimthi karaeplngfurieytxenuxng phakhkhyaykhxngkaraeplngnikhux fractional Fourier transform sungkhaykkalngkhxngkaraeplng canwnkaraeplngsa nnimcaepncatxngepncanwnetm samarthepnkhacanwncringid emux f t epn fngkchnkhu fngkchnkhi ethxm isn okhisn caimprakt sungkhngehluxiwaet aela tamladb xikkrnihnungkhux emux f t epnfngkchnkhacring cathaih F w F w xnukrmfuriey karaeplngfurieytxenuxngnnepnphakhkhyay khxngaenwkhwamkhidthiekidkxnhnann khux xnukrmfuriey sungepnkarekhiynaethn fngkchnkhab hruxfngkchn inodemncakd f x mikhab 2p dwy xnukrm khxngfngkchnrupkhlun f x n Fneinx displaystyle f x sum n infty infty F n e inx sung Fn displaystyle F n epn khacanwnechingsxnkhxngkhnad hrux khacringkhxngkhnademux fngkchnepnfngkchnkhacring xnukrmfurieyyngxacekhiyninrup f x 12a0 n 1 ancos nx bnsin nx displaystyle f x frac 1 2 a 0 sum n 1 infty left a n cos nx b n sin nx right ody an aela bn epnkhacanwncringkhxngkhnad khxngxnukrmfuriey karaeplngfurieyimtxenuxng sahrbkarkhanwndwyekhruxngkhxmphiwetxr khasyyaninthngsxngodemncaepntxngmikhaepndicithl sungkhuxfngkchnkhaimtxenuxng x n displaystyle x n bnodemnimtxenuxng aethnthicaepnodemntxenuxng inchwngcakd hrux epnkhab inkrninieracaich discrete Fourier transform DFT sungekhiynaethn x n displaystyle x n dwyphlbwkkhxngfngkchnkhab x n 1N k 0N 1X k e2pink Nn 0 N 1 displaystyle x n frac 1 N sum k 0 N 1 X k e 2 pi ink N quad quad n 0 dots N 1 odythi X k displaystyle X k khux khakhnadbnodemnkaraeplng karkhanwncaksmkarkhangtncaichkhwamsbsxninkarkhanwn O N2 sungsamarthldlngehluxephiyng O N log N odykarichkhntxnwithi fast Fourier transform FFT rupaebbxun DFT epnkrnithiepnfngkchnimtxenuxngbnthngsxngodemn sungbangkhrngichinkarpramankhakhxng discrete time Fourier transform DTFT sung x n displaystyle x n epnkhaimtxenuxngbnodemnthiimcakd dngnncungmisepktrmepnkhatxenuxng aelaepnkhab DTFTepnkhwamsmphnthtrngkhamkb xnukrmfuriey karaeplngfuriey samarthkhyaykhwamkaraeplngbn id thi locally compact abelian topological group epnkaraeplngcakkruphnungipyngkhxngmn sungepnhwkhxin harmonic analysis phayitkarkhyaykhwamnithaihsamarth srangkhwamsmphnththwipkhxng en convolution theorem sungepnthvsdikhwamsmphnthrahwang karaeplngfuriey aela du en Pontryagin duality sahrbphunthanphakhkhyaykhwamkhxngkaraeplngfuriey nxkcaknnaelw yngmiphakhkhyayephuxkarwiekhraahkhxmulkhwamthi n cudewlaid khux Time frequency transform echn karaeplngfurieychwngewlasn short time Fourier transform wavelet transform chirplet transform aela fractional Fourier transform epnkaraeplngsungmicudmunghmayinkarkhanwn khxmulkhwamthi khxngsyyan inrupfngkchnkhxngewla khwamsamarthinkarkhanwnhakhxmulbnthngodemnewla aela khwamthiphrxm knnncathukcakdody uncertainty principle karaeplngintrakulkaraeplngfuriey tarangdanlangsrupkaraeplngthnghmdthixyuintrakulediywkbkaraeplngfuriey casngektehnwakhwamtxenuxnghruxkhwamimtxenuxnginodemnhnung casngphlihekidkhwamepnkhabhruxkhwamimepnkhabinxikodemnhnung nxkcaknnaelwkarmikhaepncanwncringinodemnhnung casngphlihekidkhwamsmmatrinxikodemn karaeplng ewla khwamthikaraeplngfurieytxenuxng txenuxng imepnkhab txenuxng imepnkhabxnukrmfuriey txenuxng epnkhab imtxenuxng imepnkhabimtxenuxng imepnkhab txenuxng epnkhabimtxenuxng epnkhab imtxenuxng epnkhabprawtisastr karphthna xupsrrkh aelakhwamkhdaeynghmayehtu enuxhaswnihyinswnnithuxtam sungmikarxangxingthungexksardngedimxyanglaexiyd aelaenuxhaxacmikhwamaetktangcakaehlngxun xnukrmfuriey aelabthkhwampi kh s 1807 thvsdikaraeplngfuriey micuderimtncakbthkhwamkhxng furiey thiekhiyninpi kh s 1807 thukptiesth kb kh s 1811 tiphimphinpi kh s 1824 aela kh s 1826 aela hnngsux thvsdikarwiekhraahkhwamrxn inpikh s 1822 erimtncak furiey idsngbthkhwamwichakarkhxngekhainhwkhxkaraephrkracaykhwamrxn ipyng sthabnaehngchatifrngess inwnthi 21 thnwakhm kh s 1807 sunginkhnann epnelkhathikarthawr insakhawithyasastrkayphaph aela khnitsastr edxlxmebrxmxbhmayihlakrxngc laplas aela epnkrrmkartrwcsxbbthkhwam odythimngcihkarsnbsnun swnlaplasaelalakhrwskihkhwamehnchxb aetlakrxngcimyxmrbaenwkhwamkhidkhxngfuriey epnphlihbthkhwamkhxngfurieynnthukptiesthrbephuxtiphimph miephiyngaetbthwicarninngankhxngfurieyody ethannthitiphimphxxkephyaephr sungbthwicarnkhxngpwsngkimidihkhwamsakhykbaenwkhwamkhidkhxngfurieyaetxyangid hmayehtu khwamsmphnthrahwangbukhkhl furieynnekhyeriynkb lakrxngc laplas aelamngc thi exkxl nxrmal withyalykhru inpi kh s 1795 sungepidsxnidimkieduxnktxngpidip furieyyayipthi exkxl opliethkhnikh withyalyopliethkhnikh sungmngcepnphuxanwykar aetimsamarthekhaepnnkeriynidenuxngcakmixayumakkwaeknthkhux 20 pi mngccungchwyehluxihfurieyidepnphuchwysxn xupsrrkhcaklakrxngc ehtuphlinkartxbptiesthbthkhwamkhxngfuriey nnmihlaycud aethlk nnimehndwykb xnukrmfuriey odyechphaaxyangying khunsmbtikarluekha khxngxnukrmfngkchntrioknmiti hlngcaknnfurieyidsng raylaexiydephimetimekiywkbkhunsmbtikarluekhaiphalakrxngc aela ineduxntulakhm kh s 1809 idsngexksarephimetim ekiywkbkhxkngkhatangkhxngkrrmkarthimitxbthkhwaminpikh s 1807 ipyng sthabnaehngchatifrngess aetbthkhwampikh s 1807 kimidrbkartiphimph ebirnhard rimnn idklawwa emuxfuriey idnaesnxaenwkhwamkhidkhxngekhainbthkhwam pi kh s 1807 nn phllphthepnthinaprahladicmak cnlakrxngcidaesdngkhwamehnwaepnipimidxyangeddkhad ehtuphlthilakrxngc imehndwykbbthkhwamkhxngfuriey nnsamarthsubyxnklbipthungpyhakarsnkhxngechuxk wave equation dubthkhwamhlk 2y t2 a2 2y x2 displaystyle partial 2 y over partial t 2 a 2 partial 2 y over partial x 2 sungphuthithakarsuksaaelahakhatxbthwipinyukhaerk khux xxyelxr aela daniexl aebrnuli inpi kh s 1747 idesnxkhatxbinrupfngkchnnxl y x t f x att g x at displaystyle y x t f x att g x at aelaphicarnaenguxnikhkhxb thungaemwafngkchninrupthi phicarnannmirupaebbthwip aetekhakyudtidkbrupaebbkhxngfngkchnphichkhnit thimixnuphnth inpithdma kh s 1748 xxyelxr idykpyhakhxngfngkchnthiimsamarthhaxnuphnthid aela esnxaenwkhwamkhidkhxngkarkahndfngkchn bnodemnthiaebngxxkepnswn karichxnukrmkhxngfngkchntrioknmiti epnrupaebbkhatxbsmkarkhlun nnthuknaesnxepnkhrngaerkody daniexl aebrnuli inpi kh s 1753 inrup f x asin pxl bsin pxl displaystyle f x alpha sin pi x over l beta sin pi x over l cdots aenwkhwamkhidkhxngdaniexl aebrnuli imidmacakkhunsmbtithangkhnitsastr aetmacakkhunsmbtithangkayphaphthiehnidchd khxngkarsxnthbknkhxngkarsnthihlaykhwamthi inpikh s 1754 elxxnhard xxyelxr idtngkhxotaeyngkbaenwkhwamkhidkarichfngkchntrioknmitidngklawkhxngaebrnuli odyidbngchithungngankhxngekha inpi kh s 1748 sungidphicarnafngkchntrioknmitiepntwxyang xxyelxridihehtuphlkhxngkarimyxmrbaenwkhwamkhidkhxngkarich xnukrmfngkchntrioknmiti aethnfngkchnid iwwa thungaemwasmprasiththicanwnnbimthwn inxnukrmcaihkhwamyudhyun inkarichxnukrmaethnfngkchnthwip aetenuxngcakkhunsmbti khwamepnkhab aela khwamepnfngkchnkhi khxngisn nnthaihkarichxnukrmniaethnfngkchnid thiimmikhunsmbtidngklawnnepnipimid inpikh s 1859 lakrxngc idekhiynbthkhwamekiywkbpyhakarsnkhxngechuxkni lakrxngcyxmrbinhlkkarthwip aela rupaebbkhatxbkhxngxxyelxr aetlakrxngcidnaesnxwithikarthaihidmasungkhatxb cakmummxngthiaetktangcakxxyelxr lakrxngcidesnxaebbcalxngwtthu n chin n body model aelahakhatxbthicanwnwtthu n mikhaekhasu xinfiniti idkhatxbinrup y 2l 0l r 1 sin rpXlsin rpxlcos rpctlY X dX 2pc 0l r 1 sin rpXlsin rpxlsin rpctlV X dX displaystyle y 2 over l int 0 l sum r 1 infty sin r pi X over l sin r pi x over l cos r pi ct over l Y X dX 2 over pi c int 0 l sum r 1 infty sin r pi X over l sin r pi x over l sin r pi ct over l V X dX odythi Y x khux taaehnngerimtnkhxngechuxk aela V x khuxkhwamerwerimtn sngektwa smkarkhxnglakrxngcni hakaethnkha ewla t 0 caidxnukrmfuriey thungaemwacasamarthhaxnukrmfurieycaksmkarkhxnglakrxngcid aetcudprasngkhkhxngsmkarniimidmicudmunghmaythicanaipsuaenwkhwamkhidnn odyidmikartngkhxsngektkarslbtaaehnngkhxng s displaystyle mathcal s aela S odylakrxngcnnslbexa Siwphayinxinthiekrt sunghaksmkarxyuinrupthikhuntndwy phlbwkcathaihxyuinrupkhxngxnukrmxnnt sungbngchithungkhwamimehndwythunghlkkarekhiynaethnfngkchnthwipdwyxnukrmfngkchntrioknmiti nxkcaknnaelwyngmikhxbngchithungkhwamsmphnthrahwangaenwkhidkhxnglakrxngcinkarhakhatxbkhangtn sungrupkhatxbnnepnipinaenwkhwamkhidediywkbxxyelxr phusungidaesdngkhwamimehndwykbaenwkhwamkhidkhxng inkarichxnukrmfngkchntrioknmitiinkaraethnfngkchnthwipdwyehtuphlkhxng khwamepnkhab aelakhwamepnfngkchnkhidngklawkhangtn dngnnkhwamimehndwykhxnglakrxngctxaenwkhwamkhidkhxngfuriey kxaccamacakphunthanediywkn karaeplngfuriey aela bthkhwampi kh s 1811 txmasthabnaehngchatifrngess idtngpyharangwlkrngpriskhnitsastrsahrbpikh s 1812 inhwkhxkaraephrkracaykhwamrxn sungfurieyidsngbthkhwam bnthukekiywkbkaraephrkracaykhxngkhwamrxn sungepnbthkhwamthiphthnacakbthkhwampikh s 1807 khxngekha ekhachingrangwlinplaypikh s 1811 odymi lakrxngc lapls aela epnkrrmkartrwcsxb thungaemwabthkhwamkhxngfurieycachnarangwl aetbthkhwamkhxngekhakodnwiphakswicarn thungwithikarthiichinkarwiekhraahaelaphisucn aelathukekbdxngiwimidtiphimphin bnthukkhxngrachbnthitysphawithyasastr inkhnann hmayehtu khwamsmphnthrahwangbukhkhl inwyeyaw furieyidekhaeriynthiorngeriynkarthharinemuxngkhxngekha odymi epnphuxanwykarorngeriyn phutrwcsxb txmaekhaidsmkhrekhaeriyntxthiorngeriynkarwiswkrrm aela pinihy odyidrbkarsnbsnuncak aetekhathuktxbptiesthkarrbekha bthkhwamkhxngfurieyinpikh s 1811 nnidkhyaykhwamcakxnukrmxnnt xxkipkhrxbkhlumthungruppriphnth dubthkhwamhlk karaeplngfurieytxenuxng thungaemwacaimmikhxmulednchdthungaerngbndalicthifurieykhyaykhwamcakxnukrmipsuruppriphnthidxyangir idmikartngkhxsnnisthanwaxacidrbxiththiphlmacaklapls enuxngcakinchwngpikh s 1809 nnfurieyidmikartidtxkblapls ineruxngkhxngpyhakaraephrkhwamrxnthiekhathakarsuksa sungtxmalaplsidnaesnxkhatxbsungxyuinruppriphnth thungaemwacamiaenwkhwamkhidthiaetktangcakkhxngfuriey aetkxaccaepncudbndalicihfurieyidkhid inpi kh s 1817 idtiphimphbthkhwam sungmikaraeplngruppriphnthkhxngfuriey inbthkhwamnn idklawwaekhaidkhnphbrupkhatxbihmkhxngsmkarechingxnuphnthyxyinruppriphnth furieyidthakarthkthwng sungsngphlihinbthkhwamthdmakhxng inpikh s 1818 mikhxkhwamaesdngkaryxmrbthungkarkhnphbkxnhnaekhaodyfuriey mikartngkhxsngektwa enuxngcakinpikh s 1816 nn idrbtaaehnngthiwanglngin rachbnthitysphawithyasastr thaihekhaxyuintaaehnngthisamarthxanbthkhwaminpikh s 1811 khxngfurieysungyngimidrbkartiphimphid nxkcaknninpiediywknkhuxkh s 1816 furieyidphimphbthkhdyxkhxnghnngsuxthiekhacaekhiynxxkinpikh s 1822 dngnncungmikhwamepnipidmakthi idxanbthkhwamkhxngfurieymaaelw hlngcakthi lakrxngcesiychiwitlnginpikh s 1813 emuxidesiychiwitinpikh s 1824 furieyidrbeluxkihkhundarngtaaehnngelkhathikarthawr dwykhwamkhaicfurieycungidtiphimphbthkhwaminpikh s 1811 khxngekhasungyngimidrbkartuphimph inlksnadngedimodyimmikaraekikh odyaebngxxkepn 2 swntiphimphin bnthukkhxngrachbnthitysphawithyasastraehngsthabnaehngchatifrngess inpikh s 1824 aela kh s 1826 hlngcaknninpikh s 1829 nkkhnitsastrchaweyxrmn idaesdngbthphisucnkhunsmbtikarluekhakhxngxnukrmfuriey sungepnthiruckkwangkhwanginpccubn khxotaeyngtang smkarkhxnglakrxngc nkkhnitsastrbangkhn idaesdngkhwamehnwa khwrcathuxwalakrxngcnnepnphukhnphbaerkenuxngcak xnukrmkhxngfuriey nnsamarthhaidcaksmkarkhxnglakrxngc dngaesdngkhangtn withikarhasmprasiththikhxngxnukrmtrioknmiti furieynnimidepnkhnaerkthikhidkhnwithikarhakhasmprasiththi khxngxnukrmfngkchntrioknmiti bthkhwamsungekhiynody xxyelxr inpi kh s 1777 tiphimph kh s 1793 ekhaidichwithiinkarhakhasmprasiththitwthi n khxngxnukrmf x a0 2a1cos x 2a2cos 2x 2ancos nx displaystyle f x a 0 2a 1 cos x 2a 2 cos 2x ldots 2a n cos nx ldots dd odywithikhundwy cos nx displaystyle cos nx aelaxinthiekrtthilaethxm cak 0 thung p idan 1p 0pf x cos nx dx displaystyle a n 1 over pi int 0 pi f x cos nx dx dd thungaemwathngsxngcaidnaesnxrupsmkarthiehmuxn hrux samarthprbihehmuxnxnukrmfuriey id aetwithikhxngthng lakrxngc aela xxyelxr nnimidnaipsu aenwkhwamkhidkhxngkaraethnfngkchnid dwyxnukrmfngkchntrioknmiti yingipkwannthngsxngyngidaesdngkhwamkhidehnthikhdkhantxaenwkhwamkhiddngklaw smkarkhxnglakrxngcnnmicudprasngkhephiyngtxngkarichyunynphlkhatxbtamaenwkhwamkhidkhxngxxyelxr swnwithikarkhangtnkhxngxxyelxrnnnaesnxephuxichkb xnukrmfngkchntrioknmitithiruaennxn imidichsahrbkaraethnfngkchnthwip dngnncungtngchuxepnekiyrtiaekfuriey phusungihkaenidaenwkhwamkhid khunsmbtikarluekha odythwiperarbruwa dirichelt epnbukhkhlaerkthiphisucnkhunsmbtikarluekhakhxngxnukrmfuriey xyangaemnyathangkhnitsastr inpikh s 1829 cungxacthuxwa ekhaepnbukhkhlaerkthiyunynkhwamthuktxngkhxngaenwkhwamkhidkhxngfuriey Jean Gaston Darboux inkarrwbrwmphlngankhxngfuriey inpikh s 1888 ekhaidphbtnchbbbthkhwamkhxngfurieypikh s 1807 sungsabsuyiphlngcakthifurieyesiychiwitlnginpikh s 1830 thihxngsmudkhxng Ecole Nationale des Ponts et Chaussees inkrungparis sungdabusidchiwainbthkhwamnn furieyidphisucnkhunsmbtikarluekhakhxngxnukrm aelawithikarthifurieyichcringaelwkimaetktangcakthi ichinkarphisucntxmainphayhlngxangxingIvor Grattan Guinness Joseph Fourier 1768 1830 A Survey of His Life and Work The MIT Press April 15 1972 ISBN 0262070413 H S Carslaw Introduction to the Theory of Fourier s Series and Integrals 2nd Macmillan and Co 1921