การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในวิชากลศาสตร์และฟิสิกส์ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (อังกฤษ: simple harmonic motion : SHM) หมายถึง การเคลื่อนที่โดยที่วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดิมกลับมาเริ่มต้นที่เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ผ่านจุดสมดุล เป็นประเภทหนึ่ง โดยที่แรงดึงกลับแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัด

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่หลายอย่าง เช่น การสั่นของสปริง นอกจากนี้ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายยังประมาณปรากฏการณ์อื่นได้ ซึ่งรวมการเคลื่อนที่ของอย่างง่าย ตลอดจน การเคลื่อนที่ของมวลบนสปริงเมื่ออยู่ภายใต้แรงดึงกลับยืดหยุ่นเชิงเส้นตามกฎของฮุกเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเคลื่อนที่นี้มีความถี่พ้องเดียว ในการเกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย แรงลัพธ์ของวัตถุที่ปลายลูกตุ้มต้องเท่ากับการกระจัด

ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

1. แอมพลิจูด (Amplitude) คือ การกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่วัดจากจุดสมดุลไปยังจุดปลาย หรือบางครั้งเรียกว่า ช่วงกว้างของคลื่น
2. คาบ (Period) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ นับจากจุดปลายด้านหนึ่งไปยังจุดปลายอีกด้านหนึ่ง แล้วเคลื่อนที่กลับมายังจุดปลายเดิม โดยมีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ วินาที
3. ความถี่ (Frequency) คือ จำนวนรอบบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น รอบ / วินาที หรือ เฮิรตซ์ (Hz)
4. การกระจัด (Displacement) คือ ระยะทางการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่โดยนับจากจุดสมดุล
5. ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนแปลงไปในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วยเป็น เรเดียน / วินาที หรือ rad/s

พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ในกลศาสตร์นิวตัน สมการการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายอยู่ในรูปของอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว ซึงหาได้จากและกฎของฮุกสำหรับมวลติดสปริง

${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$

เมื่อ m คือมวลของวัตถุที่มีการสั่น x คือการกระจัดจากตำแหน่งสมดุล และ k คือค่าคงตัวหรือ (สำหรับมวลติดสปริง)

ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$

ผลเฉลยของสมการอนุพันธ์นี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ ()

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)}$

สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}$

เมื่อ

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}$

จากผลเฉลยข้างต้น c₁ และ c₂ คือค่าคงตัวซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น และกำหนดให้จุดกำเนิดอยู่ที่ตำแหน่งสมดุล A คือแอมพลิจูด ω = 2πf คือ ความถี่เชิงมุม และ φ คือเฟสเริ่มต้น

ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}$

ความเร็ว:

${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$

ความเร็วสูงสุด: v=ωA (ที่จุดสมดุล)

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}$

ความเร่งสูงสุด: Aω² (ที่จุดปลาย)

จากนิยามความเร่งและการกระจัด ถ้ามวล m เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ความเร่งของมวลนั้นจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัด

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x}$

เมื่อ

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$

เนื่องจาก ω = 2πf

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

และเนื่องจาก T = 1/f เมื่อ T คือคาบ จะได้ว่า

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและเฟสเริ่มต้นของการเคลื่อนที่

พลังงาน

แทนค่า ω² ด้วย k/m พลังงานจลน์ K ของระบบที่เวลา t มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$

และพลังงานศักย์ของระบบมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$

เมื่อไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีการสูญเสียพลังงาน ผลรวมของพลังงานกล (mechanical energy) จะมีค่าคงตัว

${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}}$

ตัวอย่าง

ระบบสปริง–มวลที่ไม่หน่วงมีการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ระบบทางฟิสิกส์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลติดสปริง

มวล m ก้อนหนึ่งติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง k อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายใน

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

สมการข้างบนนี้แสดงให้เห็นว่าคาบของการแกว่ง T ไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและ สมการข้างบนนี้ยังคงใช้ได้เมื่อมีแรงคงที่กระทำต่อมวล กล่าวคือ แรงคงที่ที่เพิ่มขึ้นไม่ได้ทำให้คาบของการแกว่งเปลี่ยนไป

อ้างอิง

• Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN .
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN .
• John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN .
• Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN .