กระบวนการความร้อนคงที่

กระบวนการอะเดียแบติก ในทางอุณหพลศาสตร์คือกระบวนการที่ไม่มีการถ่ายเทความร้อนเข้าและออกจากระบบ กระบวนการอะเดียแบติกที่ผันกลับได้จะเรียกว่ากระบวนการ

กระบวนการที่จะเรียกว่าเป็นกระบวนการอะเดียแบติกนั้นจะเกิดขึ้นได้เมื่อการเปลี่ยนแปลงนั้นรวดเร็วจนความร้อนไม่สามารถถ่ายเทระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อมได้ทัน กระบวนการอะเดียแบติกกับกระบวนการ คือ กระบวนการไอโซเทอร์มอลจะเกิดขึ้นได้เมื่อการเปลี่ยนแปลงเกิดได้ช้ามากจนความร้อนเปลี่ยนแปลงไปเป็นพลังงานในรูปอื่นโดยการทำงานของระบบ

กระบวนการอะเดียแบติกของแก๊สอุดมคติ

กระบวนการอะเดีบแบติกของสามารถเขียนเป็นสมการได้คือ

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constant} \qquad }$

เมื่อ P คือความดัน V คือปริมาตรและ ${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\frac {\alpha +1}{\alpha }}}$
${\displaystyle C_{P}}$ คือของแก๊สเมื่อความดันคงที่ และ ${\displaystyle C_{V}}$ คือความจุความร้อนต่อโมลเมื่อปริมาตรคงที่ ${\displaystyle \alpha }$ คือจำนวนรูปแบบอิสระในการเคลื่อนที่ของโมเลกุล (Degrees of freedom) (${\displaystyle \alpha }$ เป็น 3/2 ในแก๊สอะตอมเดี่ยว 5/2 ในแก๊สอะตอมคู่ และ 3 ในแก๊สที่โมเลกุลซับซ้อน) ดังนั้น ในแก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยว ค่า γ จะเป็น 5/3 ส่วนแก๊สอะตอมคู่ เช่นออกซิเจนหรือไนโตรเจน จะมีค่า γ เป็น 7/5

นอกจากนี้ ในกระบวนการอะเดียแบติก ยังสามารถสรุปได้ว่า

${\displaystyle VT^{\alpha }=\operatorname {constant} }$

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constant} }$

เมื่อ T เป็นอุณหภูมิในหน่วยเคลวิน

พิสูจน์สมการ

จากความหมายของกระบวนการอะเดียแบติก คือ ความร้อนที่ถ่ายเทเป็น 0 จากกฎข้อที่หนึ่งของอุณหพลศาสตร์ จะได้ว่า

${\displaystyle dU+\delta W=\delta Q=0\qquad \qquad \qquad (1)}$

เมื่อ dU คือพลังงานภายในของระบบที่เปลี่ยนแปลง และ δW คืองานที่ระบบทำ งานทั้งหมดจะต้องถูกใช้เพื่อเป็นพลังงานภายใน ซึ่งานที่ระบบทำนั้นสามารถหาได้จากความดันและปริมาตร คือ

${\displaystyle \delta W=PdV.\qquad \qquad \qquad (2)}$

แต่จากสมการนี้ P ไม่ได้เป็นค่าคงที่ในระหว่างเกิดกระบวนการนี้ แต่จะขึ้นอยู่กับ V จึงจำเป็นต้องทราบความสัมพันธ์ของ dP และ dV

${\displaystyle C_{V}=\alpha R\,}$

เมื่อ R เป็นค่าคงที่ของแก๊ส มีค่าประมาณ 8.314 J/mol.K

${\displaystyle dU=\alpha nRdT=\alpha d(PV)=\alpha (PdV+VdP).\qquad (3)}$

แทนสมการ (2) และ (3) ในสมการ (1) จะได้

${\displaystyle -PdV=\alpha PdV+\alpha VdP\,}$

${\displaystyle -(\alpha +1)PdV=\alpha VdP\,}$

หารทั้งสองข้างด้วย PV

${\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}$

จากแคลคูลัส จะได้เป็น

${\displaystyle -(\alpha +1)d(\ln V)=\alpha d(\ln P)\,}$

${\displaystyle {\ln P-\ln P_{0} \over \ln V-\ln V_{0}}=-{\alpha +1 \over \alpha }}$

เมื่อ P0 และ V0 เป็นสถานะเริ่มต้นของระบบ

${\displaystyle {\ln(P/P_{0}) \over \ln(V/V_{0})}=-{\alpha +1 \over \alpha },}$

${\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)=\ln \left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }}.}$

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},}$

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.}$

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}$

${\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}$