สมการแฟรแนล

สมการแฟรแนล (équations de Fresnel) หรือ สัมประสิทธิ์แฟรแนล (coefficient de Fresnel) เป็นชุดของสมการในทางทัศนศาสตร์ซึ่งค้นพบและอธิบายโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ออกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล เพื่ออธิบายการสะท้อน และ การหักเห ของแสงเมื่อแผ่ผ่านสองชนิดที่มีค่าดรรชนีหักเหต่างกัน การสะท้อนที่อธิบายโดยสมการนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า "การสะท้อนแบบแฟรแนล"

คลื่นที่เกิดการสะท้อนและการหักเหเมื่อแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำไปสูง

ภาพรวม

เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็น ${\displaystyle n_{1}\,}$ไปยังตัวกลางอีกตัวที่มีดรรชนีหักเหเป็น ${\displaystyle n_{2}\,}$จะเกิดการสะท้อนและหักเหของแสงขึ้นพร้อมกันที่จุดรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง สมการแฟรแนลสามารถอธิบายว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ของคลื่นแสงจะถูกหักเหและสะท้อนอย่างไร และยังอธิบายถึง เมื่อคลื่นสะท้อนกลับ

เงื่อนไขสำหรับสมการคือ: ผิวจุดเปลี่ยนเป็นระนาบเรียบ (ไม่ขรุขระ) และแสงที่ตกกระทบเป็น

โพลาไรเซชัน s และ p

ผลการคำนวณขึ้นอยู่กับสถานะโพลาไรเซชัน ของแสงที่ตกกระทบ โดยจะแบ่งออกเป็นสองกรณี คือ

1. เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น s" โดย s มาจากภาษาเยอรมัน "senkrecht " แปลว่า "ตั้งฉาก"
2. เมื่อองค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงตกกระทบโพลาไรซ์ขนานกับระนาบที่เกิดจากแสงตกกระทบและแสงสะท้อน สถานะของแสงที่ตกกระทบในที่นี้เรียกว่า "คลื่น p" โดย p มาจากคำว่า "parallel " ในภาษาเยอรมัน แปลว่า "ขนาน"

อนึ่ง ตั้งฉากและขนานในที่นี้กล่าวถึงทิศทางขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าเท่านั้น ส่วนองค์ประกอบสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดตามมาโดยกฎมือขวา

ภาพประกอบแสดงตัวแปรที่ใช้ในสมการแฟรแนล ผิวรอยต่อ (interface) แสดงในแนวตั้ง ส่วนแนวฉาก (normal) เป็นแนวนอน

สมการความเข้มแสง

ในภาพด้านขวา เมื่อแสงตกกระทบ PO มาถึงจุด O บนส่วนรอยต่อระหว่างตัวกลางทั้งสอง แสงส่วนหนึ่งจะสะท้อนไปทาง OQ ในขณะที่อีกส่วนหักเหไปทาง OS ให้มุมระหว่างเส้นแนวฉากกับรังสีตกกระทบ, รังสีสะท้อน และรังสีหักเหเป็น ${\displaystyle \theta _{i}\,}$, ${\displaystyle \theta _{r}\,}$ และ ${\displaystyle \theta _{t}\,}$ตามลำดับ

มุมของรังสีตกกระทบจะเท่ากับมุมของรังสีสะท้อนตามกฎการสะท้อน:

${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} }}$

และความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบกับมุมของรังสีหักเหเป็นไปตามกฎของสแน็ล คือ:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{\mathrm {i} }}{\sin \theta _{\mathrm {t} }}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

อัตราส่วนของความเข้มของแสงที่สะท้อนต่อแสงที่ตกกระทบบนพื้นผิวคือค่า ความสะท้อน ${\displaystyle R\,}$ ส่วนอัตราส่วนของการแสงที่หักเหคือค่า ความส่งผ่าน ${\displaystyle T\,}$ การคำนวณค่าความสะท้อนและความส่งผ่านต้องใช้ทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในวิชา รายละเอียดอาจอ่านได้ที่ "หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแผ่ของแสง การแทรกสอด และการเลี้ยวเบน" ของ มัคส์ บอร์น หรือ "กลศาสตร์ไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิก" ของแจ็กสัน

รูปแบบเฉพาะของการสะท้อนแสงและการส่งผ่านยังเกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันของแสงที่ตกกระทบ ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากกับระนาบของภาพ (คือคลื่น s) ความสะท้อนจะเป็น

${\displaystyle R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}}$

ในที่นี้มุมของรังสีหักเห ${\displaystyle \theta _{t}\,}$ ถูกแทนด้วยมุมของรังสีตกกระทบ ${\displaystyle \theta _{i}\,}$ โดยกฎของสแน็ล แล้วแปลงด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบขนานกับระนาบของภาพ (คือคลื่น p) ความสะท้อนจะเป็น

${\displaystyle R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right]^{2}}$

ไม่ว่าในกรณีใด ค่าความส่งผ่านจะได้เป็น ${\displaystyle T=1-R\,}$

หากแสงที่ตกกระทบเป็นแสงไม่โพลาไรซ์ (ประกอบด้วย ส่วน s และ ส่วน p ในปริมาณที่เท่ากัน) ค่าความสะท้อนโดยรวมคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสอง

${\displaystyle R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}\,}$

อัตราส่วนของแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่สะท้อนและหักเหต่อแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่ตกกระทบ จะหาได้จากสมการที่คล้ายกัน แอมพลิจูดการสะท้อนและแอมพลิจูดการส่งผ่านมักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็ก ${\displaystyle r\,}$ และ ${\displaystyle t\,}$ โดยมีความสัมพันธ์กับค่าความสะท้อน ${\displaystyle R\,}$ และความส่งผ่าน ${\displaystyle T\,}$ คือ:

${\displaystyle R=r^{2}}$

และ

${\displaystyle T=\left({\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}\right)t^{2}}$ 

สำหรับแสงตกกระทบที่เป็นคลื่น p ค่า ${\displaystyle R_{p}\,}$จะเป็นศูนย์ที่มุมตกกระทบเป็นค่าจำเพาะค่าหนึ่ง ในกรณีนี้คลื่น p จะถูกส่งผ่านอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการสะท้อนออกมา มุมนี้เรียกว่า มุมบริวสเตอร์ สำหรับกรณีที่ตัวกลางเป็นแก้วในอากาศหรือในสุญญากาศมุมนี้จะมีค่าประมาณ 56° อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ใช้ได้สำหรับตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็นจำนวนจริงเท่านั้น สำหรับวัสดุที่ดูดกลืนแสง เช่น โลหะ และ สารกึ่งตัวนำ ดรรชนีหักเหจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น ${\displaystyle R_{p}\,}$ โดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์

เมื่อแสงแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยังตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำกว่า (คือ ${\displaystyle n_{1}\ >n_{2}\,}$) จะมีค่ามีมุมตกกระทบวิกฤต ซึ่งแสงที่ตกกระทบมากกว่ามุมตกกระทบนี้จะถูกสะท้อนโดยพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ทั้งคลื่น s และ p นั่นคือ ${\displaystyle R_{s}=R_{p}=1\,}$ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การสะท้อนกลับทั้งหมด ค่ามุมวิกฤตนี้มีค่าประมาณ 41° สำหรับแก้วในอากาศ

เมื่อรังสีตกกระทบทำมุมเกือบตั้งฉาก (${\displaystyle \theta _{i}\approx \theta _{t}\approx 0\,}$) ความสะท้อนและความส่งผ่านจะเป็น:

${\displaystyle R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}}$

สำหรับแก้วธรรมดา ค่าความสะท้อนจะอยู่ที่ประมาณ 4% อย่างไรก็ตาม การสะท้อนของคลื่นแสงข้างหน้าต่างรวมถึงชั้นด้านหน้าและชั้นด้านหลัง ดังนั้นคลื่นแสงจำนวนเล็กน้อยจะสะท้อนไปมาระหว่างชั้นทั้งสองก่อให้เกิดการแทรกสอดขึ้น หากละเลยผลของการแทรกสอดนี้ ความสะท้อนรวมของทั้งสองชั้นคือ

${\displaystyle {\frac {2R}{1+R}}\,}$

หมายเหตุว่า คำอธิบายทั้งหมดในข้างต้นนี้ถือว่าค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลาง ${\displaystyle \mu \,}$ มีค่าเท่ากับสภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ ${\displaystyle \mu _{0}\,}$ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจริงสำหรับวัสดุไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับสสารโดยทั่วไป ดังนั้น รูปแบบของสมการแฟรแนลที่ใช้จริงจึงซับซ้อนยิ่งกว่านี้

อ้างอิง

1. Hecht (1987), p. 100.
2. Max Born (October 13, 1999). . Cambridge University Press. p. 334. ISBN . คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2021-02-20. สืบค้นเมื่อ 2010-01-13.
3. Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN .
4. Hecht (2002), p. 120.

ดูเพิ่ม

• Hecht, Eugene (1987). Optics (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN .
• Hecht, Eugene (2002). Optics (4th ed.). Addison Wesley. ISBN .