รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ในวิชาคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจาก ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย

โคไซน์และไซน์รอบวงกลมหนึ่งหน่วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้เป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

สัญกรณ์

มุม

บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (α), บีตา (β), แกมมา (γ), และทีตา (θ) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

การแปลงมุมทั่วไป

รอบ	องศา	เรเดียน	แกรเดียน	ไซน์	โคไซน์	แทนเจนต์
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{g}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{12}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 33{\dfrac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{8}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{6}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 66{\dfrac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 133{\dfrac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {3}{8}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 150^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{12}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 166{\dfrac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{g}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\dfrac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\dfrac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\dfrac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 300^{g}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\dfrac {5}{6}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 333{\dfrac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {7}{8}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 350^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\dfrac {11}{12}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 366{\dfrac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 400^{g}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น sin(θ) และ cos(θ) ตามลำดับ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น sin θ และ cos θ

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tan) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (sec), โคเซแคนต์ (csc), และโคแทนเจนต์ (cot) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า อินเวอร์สไซน์ (sin⁻¹) หรือ อาร์กไซน์ (arcsin หรือ asin) โดยที่

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1}$

และ

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}}$

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชัน	sin	cos	tan	sec	csc	cot
ฟังก์ชันผกผัน	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เมื่อกำหนด ${\displaystyle A}$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

${\displaystyle \sin A\cdot \csc A=1}$

${\displaystyle \cos A\cdot \sec A=1}$

${\displaystyle \tan A\cdot \cot A=1}$

${\displaystyle \cos A\cdot \tan A=\sin A}$

${\displaystyle \sin A\cdot \cot A=\cos A}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\,}$

${\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\,}$

${\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\,}$

เมื่อกำหนด ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

${\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}$

${\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}$

${\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}$

${\displaystyle \tan \left(x+y\right)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}}$

${\displaystyle \tan \left(x-y\right)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}}$

${\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}$

${\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}$

${\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}$

${\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}$

${\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}$

${\displaystyle 2\sin x\cos y=\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right)}$

${\displaystyle 2\cos x\sin y=\sin \left(x+y\right)-\sin \left(x-y\right)}$

${\displaystyle 2\cos x\cos y=\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)}$

${\displaystyle 2\sin x\sin y=\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right)}$

${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}}$

${\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}}$

${\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}$

${\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}$

${\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x}$

${\displaystyle \tan 3x={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}}$