โดเมน (ฟังก์ชัน)

โดเมน (อังกฤษ: domain) ของฟังก์ชัน คือเซตของอาร์กิวเมนต์ที่ป้อนลงในฟังก์ชันซึ่งได้นิยามไว้แล้ว ตัวอย่างเช่น โดเมนของฟังก์ชันโคไซน์คือจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะที่โดเมนของฟังก์ชันคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เท่านั้น (ซึ่งกรณีทั้งสองไม่รวมจำนวนเชิงซ้อน) สำหรับการนำเสนอฟังก์ชันด้วยกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน x-y โดเมนคือช่วงบนแกน x ที่กราฟครอบคลุม หรือเรียกว่า พิกัดที่หนึ่ง (abscissa)

โดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y คือเซต X (สีเขียว)

นิยาม

กำหนดให้ฟังก์ชัน f : X → Y หมายความว่าเซต X ซึ่งเป็นค่าป้อนเข้าคือโดเมนของ f และเซต Y ก็คือโคโดเมนของ f

ส่วนของ f คือเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่ออกมาจากฟังก์ชัน f นั่นคือเซต { f (x) : x ∈ X } เรนจ์จึงสามารถเป็นเซตเดียวกับโคโดเมน หรือเป็นเซตย่อยของโคโดเมนก็ได้ ซึ่งเรนจ์จะมีขนาดเล็กกว่าโคโดเมนถ้า f ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function)

ฟังก์ชันที่นิยามไว้อย่างดี จะจับคู่สมาชิกทุกตัวของโดเมนเข้ากับสมาชิกของโคโดเมน สมมติว่ามีฟังก์ชัน f ที่นิยามโดย

f (x) = 1 / x

ไม่มีผลลัพธ์สำหรับ f (0) (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์) ดังนั้นเซตของจำนวนจริง R จึงไม่สามารถเป็นโดเมนของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะต้องนิยามว่าโดเมนเป็น R \ {0} หรือเพิ่มเงื่อนไขเมื่อ x เป็น 0 อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าเราขยายบทนิยามของ f ให้เป็นดังนี้

f (x) = 1 / x ; เมื่อ x ≠ 0

f (0) = 0

ฟังก์ชันนี้จึงจะให้ผลสำหรับจำนวนจริงทุกค่าที่ป้อนเข้า และมีโดเมนเป็น R

ฟังก์ชันใด ๆ สามารถจำกัดลดทอนโดเมนลงไปเป็นเซตย่อยของมันได้ เช่นฟังก์ชัน g : A → B เราสามารถจำกัดเซต A ลงไปเป็นเซต S (โดยที่ S ⊆ A) จะได้ว่า g|_S : S → B

โดเมนของฟังก์ชันบางส่วน

การใช้งานทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ได้กำหนดความหมายของโดเมนของไว้แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ รวมทั้งผู้ที่ศึกษา ให้ความหมาย "โดเมนของ f" เป็นเซตของค่า x ทั้งหมดที่ f (x) ได้นิยามไว้ แต่นักคณิตศาสตร์บางท่าน และผู้ที่ศึกษา พิจารณาว่าโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y ก็ยังคงเป็น X โดยไม่คำนึงถึงว่า f (x) จะมีผลลัพธ์สำหรับทุกค่า x ใน X หรือไม่

อ้างอิง

1. Paley, H. Abstract Algebra, Holt, Rinehart and Winston, 1966 (p. 16).
2. Smith, William K. Inverse Functions, MacMillan, 1966 (p. 8).