เส้นโค้งเชิงวงรี

ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี (อังกฤษ: elliptic curve) คือที่เป็นและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ O กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน K² ถ้าค่าของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ

แคตตาล็อกเส้นโค้งเชิงวงรี บริเวณของกราฟคือ x, y ∈ [−3,3].
(หมายเหตุ: เมื่อ (a, b) = (0, 0) ฟังก์ชันนี้ไม่เรียบ ฉะนั้นจึงไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี)

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

สำหรับบาง a และ b ใน K

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มี (cusp) และ (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า 4a³ + 27b² ≠ 0 นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร x โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนโดยมีจุด O ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า K มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ § เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป ด้านล่าง)

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็น นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป

ถ้า y² = P(x) เมื่อ P เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า P มีดีกรีเท่ากับ 4 และแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่าง (quadric surface) ในสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์

โดยใช้ทฤษฎีของ (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปใน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นทั้งสองด้วย

เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ใน (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่วงรี ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจาก (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง j ≥ 1 ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบน ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง

Graphs of curves y² = x³ − x and y² = x³ − x + 1

ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้

ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)

นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มี ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์ ${\displaystyle \Delta }$ ไม่เท่ากับศูนย์:

${\displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0}$

เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า คอมโพแนนต์ (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ y² = x³ − x มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ y² = x³ − x + 1 มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว

กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี

เมื่อเราทำงานใน (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีใน (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :

${\displaystyle {\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b}$

สมการข้างต้นไม่นิยามบน (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย ${\displaystyle Z^{3}}$ เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :

${\displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}}$

เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า ${\displaystyle Z=0}$ ซึ่งจะทำให้ได้ ${\displaystyle X^{3}=0}$ นั่นคือ ${\displaystyle X=0}$ ส่วนค่า ${\displaystyle Y}$ จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ ${\displaystyle (0,Y,0)}$ สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด ${\displaystyle O=[0:1:0]}$

เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป

เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x หากกำหนดจุด P บนเส้นโค้งมา เรานิยาม −P ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน x เราจะได้ ${\displaystyle -O=O}$ เพราะ ${\displaystyle O}$ อยู่บนระนาบ XZ ฉะนั้น ${\displaystyle -O}$ เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด ${\displaystyle O}$ เมื่อเทียบกับแกน x

ถ้า P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม P + Q ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง P และ Q เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด R แล้วจะนิยาม P + Q ให้เป็นจุด −R ที่อยู่ตรงข้ามกับ R

นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น O เราจะนิยามให้ P + O = P = O + P ส่งผลให้ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า P = Q เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น R และหา −R ได้ ในขณะที่หาก P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้ P + Q = O และสุดท้าย หาก P เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม R ให้เป็นจุด P เอง และ P + P คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด P เอง

ให้ K เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน K และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย E แล้วจุด K-rational points ของ E คือจุดบน E ที่ทุกพิกัดอยู่ใน K รวมถึงจุดที่อนันต์

เซตของจุด K-rational point กำหนดโดย E(K) จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก K เป็นฟีลด์ย่อยของ L แล้ว E(K) จะเป็นของ E(L)

มุมมองเชิงพีชคณิต

โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ y² = x³ + ax + b เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ K (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด P = (x_P, y_P) และ Q = (x_Q, y_Q) อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า x_P ≠ x_Q (ให้เป็นกรณีที่ 1) ให้ y = sx + d เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด P และ Q ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ

${\displaystyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$

เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด x_P, x_Q, และ x_R เมื่อแทนค่า y = sx + d ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า

${\displaystyle \left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+ax+b}$

ซึ่งสมมูลกับสมการ

${\displaystyle x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0}$

และเนื่องจาก x_P, x_Q, and x_R เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ

${\displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}}$

สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า x² จะได้ว่า

${\displaystyle -s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})}$

แก้หาตัวแปร x_R ได้ว่า

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$

y_R หาได้จากสมการเส้นตรง

${\displaystyle y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})}$

จะเห็นได้ว่า y_R เป็นสมาชิกใน K เพราะ s เป็นสมาชิกใน K ด้วย

ถ้า x_P = x_Q แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ y_P = −y_Q (กรณีที่ 3) ซึ่งรวมกรณี y_P = y_Q = 0 (กรณีที่ 4) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก P + Q คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน x

และถ้า y_P = y_Q ≠ 0 แล้ว Q = P และ R = (x_R, y_R) = −(P + P) = −2P = −2Q (กรณีที่สอง 2) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x_P, y_P):

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}}$

เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส

สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ O ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด P นิยามให้ −P เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน O และ P แล้วสำหรับแต่ละ P และ Q ให้ P + Q นิยามเป็น −R เมื่อ R คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ

เส้นโค้งเชิงวงรี E นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน E เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด P และ Q ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด P และ Q มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน E เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน E และเป็นกรุปอาบีเลียน

จุดจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด

ตัวอย่างเช่นสมการ y² = x³ + 17 มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ y > 0:

(x, y) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661)

อีกตัวอย่างหนึ่ง คือ (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ y² = x³ − 2x มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ y ≥ 0 :

(x, y) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, 6214)

โครงสร้างของจุดตรรกยะ

จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้จำกัดจุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดย (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ E(Q) เป็น (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดย เราจะได้ว่า E(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m > 1 E(Q)/mE(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ h บนจุดตรรกยะของ E(Q) นิยามโดย h(P₀) = 0 และ h(P) = log max(|p|, |q|) ถ้า P (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ P₀) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป x = p/q (เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน h มีสมบัติว่า h(mP) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ m ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน E: ให้ P ∈ E(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน P ในรูปผลบวก 2P₁ + Q₁ เมื่อ Q₁ เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ P ใน E(Q)/2E(Q) แล้ว height ของ P₁ จะมีค่าประมาณ 1/4 ของ height ของ P (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย m > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน 1/4 ให้เป็น 1/m²) แล้วทำเช่นนี้กับ P₁ นั่นคือให้ P₁ = 2P₂ + Q₂ และ P₂ = 2P₃ + Q₃,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด P ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด Q_i ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า P เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ E(Q)/mE(Q).

ของกรุป E(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน E(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี E (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

y² + xy + y = x³ − x² − 244537673336319601463803487168961769270757573821859853707x + 961710182053183034546222979258806817743270682028964434238957830989898438151121499931

ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน

สำหรับกรุปที่เป็น (torsion subgroup) ของ E(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ E(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อ (Mazur's torsion theorem) โดย ): Z/NZ สำหรับ N = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2NZ โดย N = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี

จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน L ที่เรียกว่า (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็น (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ p

สำหรับแต่ละเส้นโค้ง E เหนือ Q กำหนดโดยสมการในรูป

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

เมื่อ ${\displaystyle a_{i}}$ เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปใน p จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ F_p ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ p จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า E มี ที่ p (E is of bad reduction at p)

เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด F_p เป็น (generating function) ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ E ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด F_pⁿ ของ F_p ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))=\exp \left(\sum \#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}$

ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็น:

${\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},}$

เมื่อเทอม ${\displaystyle a_{p}}$ (เรียกเทอมนี้ว่า trace of Frobenius) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ ${\displaystyle p+1}$ และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี ${\displaystyle E}$ เหนือ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ เขียนได้เป็น

${\displaystyle a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})}$

จัดรูปจะได้

${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{p})=1-a_{p}+p}$

เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก ${\displaystyle p}$ โดยที่ ${\displaystyle q=p^{n}}$ ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่ ${\displaystyle p}$ ปรากฎ

แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ E เหนือ Q จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p โดยเรานิยามดังต่อไปนี้

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}}$

เมื่อ N คือ ของ E ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ E โดยในกรณีดังกล่าว a_p จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))

ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re(s) > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมี (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับที่เชื่อมโยงระหว่าง L(E, s) และ L(E, 2 − s) สำหรับทุก s มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ Q เป็น (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของ ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ L(E, s) สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน s

เมื่อ s=1 (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด) แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ

${\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}}$

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่s = 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ s = 1 เท่ากับแรงก์ของ E และทำนายเทอมแรกของของของ L(E, s) ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี

หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้

• (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง n ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$ มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ s = 1 ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (x, y, z) ที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n}$ มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n}$ ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย
• ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หาก (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ จะไม่เกิน 2

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟีลด์จำกัด F₆₁

ให้ K = F_q เป็นที่มีสมาชิก q ตัว และ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ K ถึงแม้ว่า E เหนือ K โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง

${\displaystyle |\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น และ

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟีลด์จำกัด F₈₉

เซตของจุด E(F_q) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ q ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

เหนือ F₇₁ มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 รวมถึง (0,0) และหนึ่ง) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วย

เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y² = x³ − x เหนือฟิลด์จำกัด F₇₁

การศึกษาเส้นโค้งเหนือของ F_q ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ E เหนือ F_q, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด

${\displaystyle Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}$

เมื่อฟิลด์ K_n เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ K = F_q ที่มีดีกรีเท่ากับ n (ซึ่งก็คือ F_qⁿ).

ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร T ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม ${\displaystyle a_{n}}$ ที่ทำให้

${\displaystyle \#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}}$

จะมีจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \alpha }$ ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้

${\displaystyle 1-a_{n}+q^{n}=1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}}$

เมื่อ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ ${\displaystyle \alpha }$ เราเลือก ${\displaystyle \alpha }$ เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ ดังนั้น ${\displaystyle \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }}$ และ ${\displaystyle \cos n\theta ={\frac {a_{n}}{2{\sqrt {q}}}}}$ ฉะนั้นเราจะได้ว่า ${\displaystyle \alpha ^{n}{\bar {\alpha }}^{n}=q^{n}}$ และ ${\displaystyle \alpha ^{n}+{\bar {\alpha }}^{n}=a_{n}}$ หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า ${\displaystyle (1-\alpha ^{n})(1-{\bar {\alpha }}^{n})=1-a_{n}+q^{n}}$.

แล้ว ${\displaystyle \alpha }$ สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Z_{E}(T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}}$

เนื่องจาก ${\displaystyle (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}}$ ทำให้ได้ว่า

${\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ E : y² + y = x³ เหนือฟีลด์ F₂ กำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}$

ซึ่งได้มากจาก:

${\displaystyle \left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}$

สมการเชิงฟังก์ชันคือ

${\displaystyle Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}$

เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ ${\displaystyle a_{n}}$ เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(a,T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)\\\end{aligned}}}$

และจะได้ว่า

${\displaystyle Z_{a}(T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)}$

ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)

${\displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}$

(Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน ${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$ ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ q ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน E ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*_q จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป

เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ K ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ K เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ K

ถ้าของ K ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ K สามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

ในที่นี้ p และ q เป็นสมาชิกของ K ที่ทำให้พหุนาม x³ − px − q ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

สำหรับค่าคงที่ b₂, b₄, b₆ ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน

โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (x,y) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ x และ y เป็นสมาชิกในของ K จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน K เรียกว่า K-rational points

ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี E เป็น (number field) K นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ Q โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป E(K) ของจุด K-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือ K จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์ ทฤษฎีบทหนึ่งของ แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม d จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ E(K) สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน K ดีกรี d ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก d > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ p โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}}$

สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน K โดยที่ x และ y เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน E(K) ที่พิกัด x ของมันอยู่ใน O_K

สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน

An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice Λ, here spanned by two fundamental periods ω₁ and ω₂. The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice 1/4Λ containing Λ.

เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในโดยอาศัยสมบัติพิเศษของ โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

ในที่นี้ g₂ และ g₃ เป็นค่าคงที่ และ ℘(z) เป็น (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่ (doubly periodic) นั่นคือเป็นเทียบกับ Λ ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส T = C/Λ โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง

${\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]}$

การส่งนี้เป็นบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของจากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ Λ สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน c ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ cΛ แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า

ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว g₂ และ g₃ ซึ่งเรียกว่า (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

เราจะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}}$

และ

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}}$

โดยที่ ${\displaystyle j(\tau )}$ เป็น และ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ เรียกว่า (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ ${\displaystyle \tau =2i}$ แล้ว ${\displaystyle \lambda (2i)=(-1+{\sqrt {2}})^{4}}$ ซึ่งส่งผลให้ ${\displaystyle g'_{2}}$, ${\displaystyle g'_{3}}$ และ ${\displaystyle {g'}_{2}^{3}-27{g'}_{3}^{2}}$ ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก ${\displaystyle \tau }$ เกี่ยวข้องกับ (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม j(2i) = 66³ = 287496 ด้วยซ้ำ

ในทางกลับกัน (modular discriminant)

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$

มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของ (Dedekind eta function) η(2i) คือ

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}}$

สังเกตว่า (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ Λ ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน ω₁ and ω₂ แล้วจุด n-ทอร์ชัน (n-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป

${\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}}$

สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ในช่วง 0 ≤ (a, b) < n

ถ้า

${\displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})}$

เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ

${\displaystyle a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},}$

แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ E สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}}$

เมื่อ M(w, z) คือ (Arithmetic-geometric mean) ของ w และ z ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ z_n ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้ |w_n − z_n| ≤ |w_n + z_n| เมื่อ w_n และ z_n คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่ n ของ w และ z ตามลำดับ โดยเมื่อ |w_n − z_n| = |w_n + z_n| แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า Im(z_n/w_n) > 0

เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมี (inflection point) เก้าจุด เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ

ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี

• (Elliptic curve cryptography)
• การแลกเปลี่ยนกุญแจ (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
• ขั้นตอนวิธี
• ขั้นตอนวิธี digital signature
• ระบบสุ่มตัวเลข
• (Lenstra elliptic-curve factorization)
• (Elliptic curve primality proving)

ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี

• (Hessian curve)
• (Edwards curve)

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

1. Sarli, J. (2012). "Conics in the hyperbolic plane intrinsic to the collineation group". J. Geom. 103: 131–148. doi:10.1007/s00022-012-0115-5. S2CID 119588289.
2. Sarli, John (2021-10-22). "The Elliptic Curve Decomposition of Central Conics in the Real Hyperbolic Plane". doi:10.21203/rs.3.rs-936116/v1.
3. Silverman 1986, III.1 Weierstrass Equations (p.45)
4. T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.
5. OEIS: https://oeis.org/A029728
6. Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus 1 (Ph.D. thesis), University of Exeter, pp. 16–17, :10871/8323.
7. Silverman 1986, pp. 199–205
8. ดูเพิ่มใน J. W. S. Cassels, 's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 และข้อคิดเห็นของ A. Weil ในจุดกำเนิดของงานของเขา: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520–521.
9. . "History of elliptic curves rank records". University of Zagreb.
10. Silverman 1986, Theorem 7.5
11. Silverman 1986, Remark 7.8 in Ch. VIII
12. The definition is formal, the exponential of this without constant term denotes the usual development.
13. see for example Silverman, Joseph H. (2006). "An Introduction to the Theory of Elliptic Curves" (PDF). Summer School on Computational Number Theory and Applications to Cryptography. University of Wyoming.
14. Koblitz 1993
15. Heath-Brown, D. R. (2004). "The Average Analytic Rank of Elliptic Curves". Duke Mathematical Journal. 122 (3): 591–623. :math/0305114. doi:10.1215/S0012-7094-04-12235-3. S2CID 15216987.
16. See Koblitz 1994, p. 158
17. Koblitz 1994, p. 160
18. Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). "A family of Calabi–Yau varieties and potential automorphy". . 171 (2): 779–813. doi:10.4007/annals.2010.171.779.
19. (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres". (ภาษาฝรั่งเศส). 124 (1–3): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. S2CID 3590991.  0936.11037.
20. Wing Tat Chow, Rudolf (2018). "The Arithmetic-Geometric Mean and Periods of Curves of Genus 1 and 2" (PDF). White Rose eTheses Online. p. 12.

บรรณานุกรม

เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี

• I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN .
• Brown, Ezra (2000). "Three Fermat Trails to Elliptic Curves". The College Mathematics Journal. 31 (3): 162–172. doi:10.1080/07468342.2000.11974137. S2CID 5591395., winner of the MAA writing prize the
• ; (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". Prime Numbers: A Computational Perspective (1st ed.). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN .
• Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN .
• Darrel Hankerson, and (2004). Guide to Elliptic Curve Cryptography. . ISBN .
• ; (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by and . Foreword by . (6th ed.). Oxford: . ISBN .  2445243.  1159.11001. Chapter XXV
• Hellegouarch, Yves (2001). Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles. Paris: Dunod. ISBN .
• (2004). Elliptic Curves. . Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN .
• ; (1998). "Chapters 18 and 19". A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 84 (2nd revised ed.). Springer. ISBN .
• (2018) [1992]. Elliptic Curves. Mathematical Notes. Vol. 40. Princeton University Press. ISBN .
• (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN .
• (1994). "Chapter 6". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 114 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN .
• (1978). Elliptic curves: Diophantine analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 231. Springer-Verlag. ISBN .
• Henry McKean; (1999). Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic. Cambridge University Press. ISBN .
• Ivan Niven; Herbert S. Zuckerman; (1991). "Section 5.7". An introduction to the theory of numbers (5th ed.). John Wiley. ISBN .
• (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN .
• (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN .
• ; (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag. ISBN .
• (1974). "The arithmetic of elliptic curves". . 23 (3–4): 179–206. Bibcode:1974InMat..23..179T. doi:10.1007/BF01389745. S2CID 120008651.
• Lawrence Washington (2003). Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. ISBN .

แหล่งข้อมูลอื่น

Wikiquote

วิกิคำคมภาษาอังกฤษ มีคำคมที่กล่าวโดย หรือเกี่ยวกับ: Elliptic curve

• วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ เส้นโค้งเชิงวงรี
• LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q
• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Elliptic curve", , , ISBN 
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Elliptic Curves" จากแมทเวิลด์.
• The Arithmetic of elliptic curves จาก PlanetMath
• Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser