ครึ่งแกนเอก

กึ่งแกนเอก (semi-major axis) เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

กึ่งแกนเอกของวงรี

วงรี

สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก ${\displaystyle a}$ คือ กึ่งแกนโท ${\displaystyle b}$, ความเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle e}$ และ กึ่งเลตัสเรกตัม ${\displaystyle \ell }$ เป็นดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}}\\\ell &=a(1-e^{2})\\a\ell &=b^{2}\end{aligned}}}$

ถ้าให้จุดโฟกัสและ ${\displaystyle \ell }$ คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ จะเข้าใกล้อนันต์ แต่ ${\displaystyle a}$ จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า ${\displaystyle b}$

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \theta }}}$

และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด ${\displaystyle r={\dfrac {\ell }{1+e}}}$ และค่าสูงสุด ${\displaystyle r={\dfrac {\ell }{1-e}}}$ จะเป็น

${\displaystyle r=a={\dfrac {\ell }{1-e^{2}}}}$

ไฮเพอร์โบลา

กึ่งแกนเอก (a), กึ่งแกนโท (b) และ เรตัสเรกตัม (p) ของไฮเพอร์โบลา

ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม ${\displaystyle \ell }$ และความเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle e}$ เป็น

${\displaystyle a={\frac {\ell }{e^{2}-1}}}$

ดาราศาสตร์

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร ${\displaystyle T}$ ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

ในที่นี้

• ${\displaystyle a}$ คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
• ${\displaystyle \mu }$ เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์

${\displaystyle T^{2}=a^{3}}$

โดยที่ ${\displaystyle T}$ คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ ${\displaystyle a}$ คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$

ในที่นี้

• ${\displaystyle G}$ คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
• ${\displaystyle M}$ คือมวลของดาวปฐมภูมิ
• ${\displaystyle m}$ คือมวลของดาวทุติยภูมิ

เนื่องจากโดยปกติแล้ว ${\displaystyle M}$ จะมีค่ามากกว่า ${\displaystyle m}$ มาก ผลกระทบจากค่า ${\displaystyle m}$ จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร ${\displaystyle a}$ สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\epsilon }}}$

ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\epsilon }}}$

โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {\,v^{2}}{2\,}}-{\frac {\mu }{\left|\mathbf {r} \right|}}\\\mu &=GM\end{aligned}}}$

ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้

• ${\displaystyle v}$ เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
• ${\displaystyle G}$ เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
• ${\displaystyle M}$ เป็นมวลของดาวหลัก

ตัวอย่าง

สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

ดูเพิ่ม

• กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท